人教A版高中数学必修第二册 第七章 复数检测试卷（含答案）

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人教A版高中数学必修第二册第七章检测卷
考试时间：100分钟 满分：150分
一、单选题（共8题，共40分）
(5分) 已知，则等于( )
A.
B.
C.
D.
(5分) 在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
(5分) 若，为复数，则“是实数”是“，互为共轭复数”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
(5分) 设是虚数单位，是实数，若复数的虚部是2，则等于( )
A. 4
B. 2
C.
D.
(5分) 若，则等于( )
A.
B.
C. 1
D. 5
(5分) 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，则等于( )
A.
B.
C.
D.
(5分) 复数为纯虚数，则等于( )
A.
B.
C.
D.
(5分) 已知复数满足，的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（共3题，共18分）
(6分) 若复数满足，则( )
A. 为纯虚数
B.
C. 的实部不存在
D. 复数在复平面内对应的点在第二象限
(6分) 已知为虚数单位，下列说法中正确的是( )
A. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上
B. 若复数满足，则复数
C. 若复数，满足，则
D. 若复数，满足，则
(6分) 已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题（共3题，共15分）
(5分) (2023天津)已知是虚数单位，化简的结果为______。
(5分) 若复数与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则______。
(5分) 如果是关于的实系数方程的一个根，其中是虚数单位，则
______。
四、解答题（共5题，共77分）
(13分) 已知复数，。
(1)当为纯虚数时，求复数；
(2)当时，复数在复平面内对应的点为点，将点绕着原点顺时针旋转到达点，求所对应的复数的共轭复数。
(15分) 已知，复数。
(1)若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；
(2)若的共轭复数与复数相等，求的值。
(15分) 在下列条件下，求的值。
(1)已知方程有一个根为，求实数的值；
(2)已知方程有一个根为，求复数的值。
(17分) 已知复数满足，，其中为虚数单位，，若，求的取值范围。
(17分) 已知复数满足，的虚部为2。
(1)求复数；
(2)设，，在复平面内对应的点分别为，，，求的面积。
一、单选题
答案：A
解析：因为，所以，即。
答案：A
解析：因为，则所求复数在复平面内对应的点为，位于第一象限。
答案：B
解析：由题意，不妨设，，若是实数，则，故，即，由于，不一定相等，故，不一定互为共轭复数，故充分性不成立；若，互为共轭复数，则，故，故必要性成立。因此“是实数”是“，互为共轭复数”的必要不充分条件。
答案：D
解析：复数，复数的虚部为2，，。
答案：A
解析：由，得，所以。
答案：D
解析：由题意得，，，。
答案：B
解析：因为为纯虚数，所以设，即，则，因此，从而，即，所以。
答案：A
解析：因为，所以在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆，且表示圆上的点到原点的距离，则，，所以的取值范围为。
二、多选题
答案：AB
解析：由，解得或，故为纯虚数，A正确；，的实部为，B正确，C错误；，则复数在复平面内对应的点在第二象限或第三象限，D错误。
答案：BC
解析：满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上，故A错误；设，则，由，得，故，解得，，故B正确；设，，，若，则，即，，故C正确；若，，则，而，，故D错误。
答案：BC
解析：根据题意，，当时，；当时，；当时，；当时，，。选项A中，；选项B中，；选项C中，；选项D中，。
三、填空题
答案：
解析：由题意可得。
答案：
解析：，因为复数与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，所以，所以。
答案：
解析：因为是关于的实系数方程的一个根，所以，即，所以，解得，所以。
四、解答题
答案：
(1)由题意得，解得，所以，则。
(2)当时，，则，则，所以，所对应的复数，所以。
答案：
(1)由题意得，解得，所以的取值范围是。
(2)因为，所以，因为与复数相等，所以，解得。
答案：
(1)把代入方程，得，整理得，解得。
(2)设，则方程化为。把代入方程，得，整理得，所以，解得，所以复数。
答案：由题意，得，因为，所以，所以，，又因为，所以，所以，解得，所以的取值范围是。
答案：
(1)设，由已知条件得，因为，所以，所以或，即或。
(2)当时，，，所以点，，，所以；当时，，，所以点，，，所以。综上，的面积为。