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第3章 勾股定理（单元测试培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．（24-25八年级·江西新余·期末）把能够围成直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．下列不是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．（24-25八年级·安徽合肥·期中）如图，图中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上，则其三边的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级·山东济宁·期中）设a，b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为9，斜边长为4，则的值是（ ）
A．5.5 B．5 C．4.5 D．6
4．（24-25八年级·云南文山·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级·广西南宁·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级上·江西吉安·期末）在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
8．（24-25九年级上·广西玉林·期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（ ）
A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里
9．（24-25八年级·四川凉山·期末）如图，以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，设，，，，则它们之间的关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．代数式最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
二．填空题（共8小题）
11．（18-19八年级·山东济宁·期中）已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为 ．
12．（24-25八年级·福建厦门·期中）满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ．
13．已知a、b、c是的三边（c为斜边），若，则 ， ．
14．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米．
15．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ．
16．（24-25八年级·山西吕梁·期末）如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是 ．
17．（24-25八年级·河北张家口·期中）如图甲是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的有 个．
18．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为 ；的长为 ．
三．解答题（共8小题）
19．（24-25八年级·新疆喀什·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点．
(1)在网格中画一个长为的线段；
(2)证明你画的线段为．
20．我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题： “问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？ ”问题大意：如图，在中， 里，里，里， 求 的面积． 请你解决该问题．
21．（24-25八年级上·上海·期末）本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种．
(1)请写出勾股定理的内容_____．
(2)请写出一种勾股定理的证明方法．
22．（22-23八年级上·贵州毕节·期中）已知a，b，c满足．
(1)求a，b，c的值．
(2)试问以a，b，c的长度能否构成一个直角三角形？若能，求三角形的面积；若不能，请说明理由．
23．（24-25八年级上·河南郑州·期末）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为．
(1)请利用图①证明：；
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积．
24．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．
(1)若，，，，请求出，，，的值．
(2)若，，求的值．
(3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
25．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题．
(2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数．
(3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”．
26．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践
背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
(1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理．
(2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）；
(3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离．
(4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．中小学教育资源及组卷应用平台
第3章 勾股定理（单元测试培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．（24-25八年级·江西新余·期末）把能够围成直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．下列不是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数．对于三个正整数，先找出最大的数，若较小的两个数的平方和等于最大的数的平方，则这组数为“勾股数”，计算即可．
【详解】解：∵，∴，，是“勾股数”，∴选项A不符合题意；
∵，∴，，是“勾股数”，∴选项B不符合题意；
∵，∴，，是“勾股数”，∴选项C不符合题意；
∵，∴，，不是“勾股数”，∴选项D符合题意；
故选：D．
2．（24-25八年级·安徽合肥·期中）如图，图中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上，则其三边的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，无理数的大小比较．根据勾股定理分别求出三边的大小，再比较，即可．
【详解】解：，
∵，
∴．
故选：A
3．（24-25八年级·山东济宁·期中）设a，b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为9，斜边长为4，则的值是（ ）
A．5.5 B．5 C．4.5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，由直角三角形的周长和斜边长可得两直角边之和，结合勾股定理和完全平方公式即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．（24-25八年级·云南文山·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键．
先在中由勾股定理求出，再利用翻折的性质求出，再求的长．
【详解】在中，，，，
，
由翻折的性质知，，
．
故选：B．
5．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【详解】解：A、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（24-25八年级·广西南宁·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．
由题意可知：，，再根据勾股定理求出，从而求出，然后设点表示的数为，根据两点间的距离公式，列出关于的方程，解方程即可．
【详解】解：由题意可知：，
直线，
，
由勾股定理得：，
设点表示的数为，
，
或不合题意舍去，
点C表示的数是，
故选：．
7．（24-25八年级上·江西吉安·期末）在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，根据边之间的等量关系，结合勾股定理逆定理来判断各个选项是否符合题意．
【详解】解：A．∵，，
∴，
∴能判定为直角三角形；
B．∵，
∴，
∴能判定为直角三角形；
C．∵，
∴，
∴能判定为直角三角形；
D．∵，
∴，
∴不能判定为直角三角形．
故选：D．
8．（24-25九年级上·广西玉林·期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（ ）
A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里
【答案】D
【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，理解方位角的意义，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
根据方位角可得，由勾股定理即可求解．
【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行，
∴，
∴，
∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时，
∴（海里），（海里），
∴（海里），
故选：D ．
9．（24-25八年级·四川凉山·期末）如图，以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，设，，，，则它们之间的关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理可得，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式进行分析即可求解．
【详解】解：∵中，，
故；
∵是等腰直角三角形，是斜边，
∴，
则，
∴，
故，
同理，，
∵，
则，
即，
故选：A．
10．代数式最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．作，过点A作，过点D作，使，，连接，设，，当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值，然后构造，利用勾股定理可求得的值．
【详解】解：如图，作，过点A作，过点D作，使，，连接，过点作，交延长线与点F，
设，，
当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值，
，
，
，
，
（平行线间距离相等），
同理得：，
中，，，
，
代数式最小值为5，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．（18-19八年级·山东济宁·期中）已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键．
根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴以1，3，，为三角形三边的三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积为，
故答案为：．
12．（24-25八年级·福建厦门·期中）满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ．
【答案】6，8，10（答案不唯一）
【分析】本题考查勾股数问题．根据题意写出符合的式子即可．
【详解】解：∵，
∴勾股数可以是：6，8，10（答案不唯一），
故答案为：6，8，10（答案不唯一）．
13．已知a、b、c是的三边（c为斜边），若，则 ， ．
【答案】 6 8
【分析】本题考查了勾股定理，根据，可列出方程，解出方程即可得出答案．
【详解】解：在中，，
设，则，
解得：或（舍去），
故．
故答案为：6，8．
14．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米．
【答案】13
【分析】本题考查了勾股定理，过C作平行地面，连接，由题意得米，米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离．
【详解】解：过C作平行地面，连接，
由题意得，米，米，米，
由勾股定理得，米，
故答案为：13．
15．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得，，
则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是；
故答案为：
16．（24-25八年级·山西吕梁·期末）如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是 ．
【答案】/105度
【分析】根据，可知为直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可知，利用等边对等角，可求得，，接着利用外角，推出，最后利用求得答案．
【详解】解： 中，，不妨设，，，
，，，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的定义，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
17．（24-25八年级·河北张家口·期中）如图甲是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键．
利用勾股定理可求出，得到，即可得到，再根据是整数及，由此可求出n的值的个数．
【详解】解：由题意得
；
；
；
∵，
∴的值是整数，
∴·的值可以是，，，是整数的有3个．
故答案为：3．
18．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为 ；的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，先证明，由全等三角形的性质得到，，进而证明，根据勾股定理得，建立方程解方程，即可求解．
【详解】解：为中点，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
三．解答题（共8小题）
19．（24-25八年级·新疆喀什·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点．
(1)在网格中画一个长为的线段；
(2)证明你画的线段为．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查利用勾股定理画图．
（1）借助格点，根据勾股定理构长为的线段即可；
（2）利用勾股定理进行证明即可．
【详解】（1）解：线段即为边长为的线段；
（2）解：∵为直角三角形，，，
∴．
20．我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题： “问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？ ”问题大意：如图，在中， 里，里，里， 求 的面积． 请你解决该问题．
【答案】平方里
【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点，主要利用了勾股定理进行解答．过点作于，设里，则里，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可．
【详解】解：如图，过点作于，
设里，则里，
在中，，即，
在中，，即，
，
解得：，
在中，，
（平方里）．
21．（24-25八年级上·上海·期末）本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种．
(1)请写出勾股定理的内容_____．
(2)请写出一种勾股定理的证明方法．
【答案】(1)一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理及其证明：
（1）直接写出勾股定理即可；
（2）利用赵爽弦图进行证明即可．
【详解】（1）解：勾股定理内容为：一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）如图，大正方形由4个全等的直角三角形（直角边为，斜边为）和一个小正方形组成，则：大正方形的面积的等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，
∴，
∴．
22．（22-23八年级上·贵州毕节·期中）已知a，b，c满足．
(1)求a，b，c的值．
(2)试问以a，b，c的长度能否构成一个直角三角形？若能，求三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，，；(2)能，面积为
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理，二次根式的加法，解题的关键是掌握绝对值、偶次幂、算术平方根都具有非负性．
（1）根据偶次方，算术平方根以及绝对值的非负性进行求解即可；
（2）根据勾股定理的逆定理进行判断，并计算面积即可．
【详解】（1）解：∵，
且，，，
∴，，，
∴，，；
（2）解：∵，
即，
故以，，为三边的三角形是直角三角形；
则三角形的面积为：．
23．（24-25八年级上·河南郑州·期末）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为．
(1)请利用图①证明：；
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积．
【答案】(1)见解析(2)120
【分析】本题考查了几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，利用数形结合的思想，准确找出图中各个线段长度及面积关系是解题关键．
（1）由图形可知，中间小正方形面积大正方形面积等于四个完全相同的直角三角形的面积，列出等式化简即可得到结论；
（2）根据周长得到，设，则，结合勾股定理求出，利用三角形面积公式，进而求出该图形的面积．
【详解】（1）证明：由图可知，
，
．
；
（2）解：由题意得，，
设，则，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
所以，该图形的面积是．
24．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．
(1)若，，，，请求出，，，的值．
(2)若，，求的值．
(3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
【答案】(1)，，，(2)(3)“垂美”四边形对边的平方和相等
【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
（1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解；
（3）由（1）（2）得到，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点，
，
，，，，
，，，，
，，，；
（2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点，
，
，，
，，
；
（3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等．
25．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题．
(2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数．
(3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”．
【答案】(1)假(2)(3)见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识．
（1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的概念判断即可；
（2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出；
（3）在线段上取一点，使，连，过作交于，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到，根据“类勾股三角形”的定义证明结论．
【详解】（1）解：在类勾股中，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形，
命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题，
故答案为：假；
（2）解：，，
，，
是类勾股三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）证明：在线段上取一点，使，连，过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
∵， ，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
整理得，
是“类勾股三角形”．
26．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践
背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
(1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理．
(2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）；
(3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离．
(4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．
【答案】(1)(2)(3)千米(4)
【分析】（1）根据可得四边形为直角梯形，则，根据，可得，则，由，可得，，进而可得，再根据可得，据此即可得出答案；
（2）连接，过点作于点，根据，可得四边形是矩形，进而可得千米，千米，于是可得千米，然后利用勾股定理即可求得、两个村庄之间的距离；
（3）由题意可知，点在的垂直平分线上，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；设千米，则千米，在和中，分别利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可求出的距离；
（4）根据轴对称—最短路线的求法即可求出：先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则就是代数式的最小值；然后利用轴对称的性质、矩形的判定与性质及勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：依题意得：，，，，
，
，
四边形为直角梯形，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
整理，得：，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，，
四边形是矩形，
千米，千米，
千米，
千米，
两个村庄的距离为千米，
故答案为：；
（3）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，
如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，
设千米，则千米，
在中，根据勾股定理可得：
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
解得：，
即：千米；
（4）解：如图，，
先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，
设，
则就是代数式的最小值，
代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点，
由轴对称的性质可得：，
，，，
四边形是矩形，
，，
从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值，
代数式的最小值为：
．
【点睛】本题是四边形—三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用（包括：选址使到两地距离相等、求最短路径等），轴对称—最短路线问题，线段的垂直平分线，矩形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，这是解本题的关键，而构造出直角三角形则是解本题的难点．
