4.7相似三角形的性质同步练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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4.7相似三角形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在等腰中，，点D是上一点，且，连接，将沿翻折，得到，与交于点F．若，的面积分别为1和16，则（　　）

A． B．3 C． D．
2．如图，平行四边形，是边延长线上一点，连结交于点，若，设面积为，则平行四边形面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，，，以BC边上一点O为圆心作，分别与AB，AC相切于点D，E，则AD的长为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
5．如图，已知零件的外径为，现用个交叉卡钳（两条尺长和相等，）测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
6．如图，已知点D是△ABC的重心，若△ABC面积是8，则△ABE的面积为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．16
7．如图，在四边形中，，，，，P是上的动点，连接，若，则这样的点P共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．已知，和是它们的对应边上的高，若，，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
9．若，其相似比为，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（ ）米．

A．5 B．6 C．7 D．8
11．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦的高度，如图，点处放一水平的平面镜．光线从点出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该大厦的高度约为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
12．两个相似三角形的相似比是，其中较小的三角形的面积是，则较大三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm．
14．如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为 米．

15．如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，当以点、、为顶点的三角形与相似时，所需时间为 ．
16．如图，在中，E是线段上一点，，过点C作，交BE的延长线于点D．若的面积等于16，则的面积等于 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ．
三、解答题
18．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
直杆高度 直杆影长 的长
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
(2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米．
19．如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且．
(1)证明：．
(2)若，，求的长度．
20．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点．分别在，的延长线上取点，，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．
21．如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，且，，．
(1)求证：；
(2)已知，求．
22．如图：在中，，点D、E、F分别在上，．求证：．
23．如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米）
(1)标出王琳站在P处在路灯B下的影子；
(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长；
(3)计算路灯A的高度．
24．如图，在中，已知，，且，求的长．
《4.7相似三角形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A A A A C B C D
题号 11 12
答案 A B
1．C
【分析】根据已知易证，从而求出对应边的比，然后设，表示出与的长，再根据，求出，最后进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
由折叠得：，
，
，
，
的面积分别为1和16，
，
，
∴设，
，
，
设，
则，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，翻折变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
根据平行四边形易得，，由得，，所以，即可得出答案．
【详解】解：平行四边形，
，，，
，，
，
，，
，，
面积为，
，，
，
，
故答案为：A．
3．A
【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、相似三角形的判定和性质．首先根据，可得，根据相似三角形对应边成比例可得，所以可得，根据，，可证，根据相似三角形对应边成比例可求的长度．
【详解】解：由题意可得，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
．
故选： A．
4．A
【分析】连接，根据切线性质可得，证明，再证明相似即可解得．
【详解】连接
∵AB，AC相切于点D，E，
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴，
根据勾股定理得
∵
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】此题考查了切线性质、三角形全等和相似、勾股定理，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
5．A
【分析】先根据题意证明△AOB∽△COD，再根据相似三角形对应边成比例求出AB，问题得解．
【详解】解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，
∴OA＝OB，
∵OC：OA＝1：2，
∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，
∵∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△COD，
∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，
∵CD＝12mm，
∴AB＝24mm，
∴零件的厚度为mm．
故选：A．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，求出零件的内孔直径AB是解答本题的关键．
6．A
【分析】根据三角形重心的定义得到BE为△ABC的中线，即可得到
【详解】解：∵点D是△ABC的重心，
∴BE为△ABC的中线，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了三角形的面积．
7．C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键．设，则，则由相似三角形性质得到，化简得到，再根据根的判别式判断即可．
【详解】解：设，则
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根，故这样的点P共有2个，
故选：C．
8．B
【分析】根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出相似比是，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案．
【详解】解：∵，和是它们的对应边上的高，且，
∴与的相似比是，
∴与的面积比是
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．
9．C
【分析】相似三角形的对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
【详解】解：且相似比为
故选：C
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决本题的关键．
10．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用等角的余角相等得到，则可判断，然后利用相似比可计算出．
【详解】解：如图，，，，

∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∴ ，
即，
∴，
即旗杆的高度为．
故选：D
11．A
【分析】因为同学和宝安区海淀广场均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
【详解】解：根据题意，可得到．
即，
故米；，
那么该大厦的高度是32米．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
12．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方．设较大三角形的面积是，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得，求解即可获得答案．
【详解】解：设较大三角形的面积是，
根据题意，两个相似三角形的相似比是，
则两个相似三角形的面积比是，
所以可有，解得，
经检验：是方程的解，
即较大三角形的面积是．
故选：B．
13．24
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
设与交点为E，正方形的边长为x，得到，根据正方形性质得到，得到，推出，解得．
【详解】解：设与交点为E，正方形的边长为x，
则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
∴这个正方形零件的边长是．
故答案为：24．
14．
【分析】由，可得，，解得，，，则，由，代入可求．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握：．
15．或
【分析】本题考查了相似三角形的性质．分时， 时两种情况计算即可求解．
【详解】解；根据题意，，
在矩形中，，则
①当时，，有：，解得，
即当时，；
②当时，，有：，解得，
即当时，；
所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似．
故答案为：或．
16．12
【分析】先根据得出，根据相似三角形的性质得出，从而求出，再根据求出，最后求出的面积即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于16，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定和性质．
17．、、
【分析】根据是直角三角形，构造K字形相似即可得出以、、为顶点的三角形与相似的点C坐标．或直接作出全等三角形．
【详解】解：以为共同的斜边时，，得坐标为，
过点作的垂线，当时，，得，
过点作的垂线，当时，，得．
故答案为：、、
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论．
18．(1)，
(2)43
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键．
（1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程；
（2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度．
【详解】（1）由同一时刻测量，可得，
第一次测量：，化简得，，
第二次测量：，化简得，，
故答案为：，；
（2）对于，代入，
得，，
解得：，
钟楼米，
故答案为：43．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．
（1）等边对等角结合平角的定义，得到，即可得出，结合，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，，，
∴，
∴（负值舍去）．
20．米
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，两直线平行同位角相等，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
过点作于点，可证得，于是可得，即，进而可证得，于是可得，即，据此即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴桥的长度为米．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得出，对顶角，即可判断；
（2）根据（1）的结论得出，进而得出，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：，，，
，，，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．见解析
【分析】本题考查的是等腰三角形性质及相似三角形判定与性质，先证明，，得出，即可证明结论．
【详解】证明：∵中，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
23．(1)见解析
(2)米
(3)12米
【分析】本题考查相似三角形的应用，
（1）影子为光线与物高相交得到的阴影部分；
（2）证明，利用对应边成比例可得长；
（3）证明，利用对应边成比例可得长，也就是路灯的高度；
解题的关键是掌握：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
【详解】（1）解：线段为王琳在站在处路灯下的影子；
（2）根据题意知：，，，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：王琳站在处在路灯下的影长为米；
（3）由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：路灯的高度为米．
24．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．证明，得出，即可求出的长．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
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