5.1投影同步练习（含解析）北师大版数学九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
5.1投影
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为（ ）

A． B． C．5 D．6
2．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（）
A． B． C． D．
3．在下列光源的光线照射下，所形成的投影不能称为中心投影的是（ ）
A．探照灯 B．台灯 C．路灯 D．太阳
4．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由处径直走到处这一过程中，他在地上的影子（ ）

A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长
5．把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（ ）
A． B． C． D．
7．把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（　　）
A． B．
C． D．
8．正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
9．三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ）
A． B．
C． D．
10．一个平行四边形的中心投影是（ ）
A．与原来相似的平行四边形 B．与原来不相似的四边形
C．一条线段 D．以上均有可能
11．在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的长，那么晚上在同一路灯下（ ）
A．小刚的影子比小红长 B．小红的影子比小刚长
C．小刚和小红的影子一样长 D．无法确定
12．物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（ ）
A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形
C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形
二、填空题
13．宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图“手影戏”中的手影属于 （填“中心”或“平行 ”投影）
14．作一物体在路灯下的影子时，连接点光源和物体的顶端的点并延长，与地面相交，则与地面的交点和物体的底端之间的线段即为该物体的 ．点光源下两个物体的 可能在同一个方向，也可能不在同一个方向．
15．物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是 现象，影子所在的平面称为 ．
16．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则 米．
17．太阳光发出的光线所形成的投影是 投影．
三、解答题
18．如图，路灯下一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它在这个路灯下的影子是．
(1)在图中画出路灯的位置并用点P表示；
(2)在图中画出表示大树的线段．
19．如图，晚上，小亮在广场上乘凉，图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
(1)请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子BC；
(2)如果灯杆高PO=11.6m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离OB=10m，请求出小亮影子的长度．
20．大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑以紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范，如图（1）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量紫云楼的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究，决定进行如下操作：如图（2），首先在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C点处竖立一根2米的标杆，此时，小花测标杆的影长米；然后，小风从C点沿方向走了米，到达点G，在G处树立一根2米的标杆，接着沿方向走到点M处时，恰好看见紫云楼顶端A与点F在一条直线上（即A，F，H在一条直线上），此时，小花测得米，小风的眼睛到地面距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高．
21．操作与研究∶如图，被平行于的光线照射，于，在投影面上．
(1)指出图中的投影是什么，与的投影呢？
(2)探究∶ 如图1，中，，，我们可以利用与相似证明， 这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理．
(3)【结论运用】如图2，正方形的边长为，点是对角线的交点，点在上，过点作，垂足为，连接，
①试利用射影定理证明；
②若，求的长．
22．智慧学习小组的同学约好下午放学后去完成项目式学习的室外测量，他们带了两根2米长的标杆及卷尺来到路灯下，将标杆，直立在地上，灯泡所在位置为点O，此时A，B，C，D，O恰好在同一平面内，但点O到地面的距离不能直接测量，他们准备借助标杆在路灯下的影子解决问题．
(1)请画出标杆，在灯泡O下的影子，分别记为，；
(2)尺规作图：作出灯泡O到地面的距离（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)若他们测得米，米，米，请求出灯泡O到地面的距离．（精确到0.1米）
23．一个正方体框架上面嵌有一根黑色的金属丝，如图所示．若正方体的面平行于投影面，且垂直于投影面，画出这个物体在两个投影面上的正投影．
24．【基础解答】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息，求立柱的长．

【拓展拔高】如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高．

《5.1投影》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B B B B B D D
题号 11 12
答案 D D
1．D
【分析】延长、分别交轴于、，作轴于，交于，证明，得到，即可求解．
【详解】解：延长、分别交轴于、，作轴于，交于，如图，
，，．
，，，
，
，
，即，
，
故选：D．

【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
2．C
【分析】本题考查平行投影的意义，根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提．
【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项C中的图形符合题意，
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查了中兴投影，解题的关键是掌握中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，据此逐个判断即可．
【详解】解：在探照灯，台灯，路灯的光线照射下，所形成的投影是中心投影，故A、B、C不符合题意；
在太阳光线照射下，所形成的投影是平行投影，故D符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长．
【详解】解：在小亮由远处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再远离路灯时，他在地上的影子逐渐变长，
∴小亮在地上的影子先变短后边长，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了平行投影，当投射线由正前方射到后方时，它们在该投影面上的投影积聚成一直线，结合正六棱柱的特点即可得到答案．
【详解】解：根据投影的性质可得，该物体为正六棱柱，则正投影与主视图一致．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了平行投影，勾股定理，矩形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，，则易知四边形是矩形，故，然后根据勾股定理，角所对直角边是斜边的一半即可求解，画出示意图，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】如图，是皮球直径，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵太阳光线与地面成的角，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故选：．
7．B
【分析】根据正投影的特点及图中正六棱柱的摆放位置即可直接得出答案．
【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是矩形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正投影的性质，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形．
8．B
【分析】本题主要考查了平行投影特点，根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解，熟练掌握投影随着物体不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定是解决此题的关键．
【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是
图形，
故选：B．
9．D
【分析】三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等且平行，据此判断即可．
【详解】解：A．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度相同，故本选项不符合题意；
B．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子方向应该相同，故本选项不符合题意；
C．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子方向应该相同，故本选项不符合题意；
D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
10．D
【分析】本题考查平行投影问题，根据中心投影得出平行四边形的投影图形解答即可．
【详解】解： 一个平行四边形的中心投影可能是与原来相似的平行四边形，也有可能是与原来不相似的四边形或一条线段，
故选：D．
11．D
【分析】本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
【详解】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
故选：D．
12．D
【分析】本题考查了投影，根据投影的含义进行判断即可；
【详解】解：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；正方形纸板所在平面与光线垂直时，得到一个与原正方形全等的正方形；正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，得到一个平行四边形；正投影不可能得到等腰梯形；
故选：D．
13．中心投影
【分析】本题考查中心投影和平行投影的识别，解题的关键是掌握两者的定义：中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影．根据中心投影和平行投影的定义即可判断．
【详解】解：由图可知，“手影戏”中的投影是光由一点向外散射形成的投影，属于中心投影，
故答案为：中心投影．
14． 影子 影子
【解析】略
15． 投影 投影面
【解析】略
16．12
【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，平行线的性质，证明是解题的关键．根据平行投影得，可得，易证，最后根据相似三角行的性质可知即可求解．
【详解】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上，
，
，
，，
，
，
，
，，，
，
米
故答案为：12．
17．平行
【分析】本题考查平行投影，中心投影的定义，解决本题的关键是要熟练掌握平行投影和中心投影的定义．
【详解】解：∵光线所形成的投影称为平行投影，
∴太阳光形成的投影是平行投影，
故答案为：平行．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接并延长与的延长线交于点P，点P即路灯的位置；
（2）连接，作垂直于与交于点Q，线段即为表示大树的线段．
此题考查了中心投影，解题的关键是熟练掌握中心投影的性质．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求，
（2）如图，线段即为所求．
19．(1)见解析
(2)小亮影子的长度为1.6m
【分析】（1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端；
（2）根据中心投影的特点可知△CAB∽△CPO，利用相似比即可求解．
【详解】（1）连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子，
（2）在△CAB和△CPO中，
∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°
∴△CAB∽△CPO
∴，
∴
∴BC＝1.6m，
∴小亮影子的长度为1.6m．
【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两个三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．
20．紫云楼的高为39米．
【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用，平行投影的含义，先证明可得，如图，过点H作于点N，交于点P，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：由题意可知，则，
∵，
∴，
∴．
如图，过点H作于点N，交于点P，
设，则，
，
∵，
∴．
∴，即
解得．
∴紫云楼的高为39米．
21．(1)的投影是，的投影是点，的投影是
(2)证明过程见详解
(3)①证明过程见详解；②
【分析】（1）根据投影的定义，即可求解；
（2）根据中，，，可得，是公共角，由三角形相似的判定及性质即可求证；
（3）①根据射影定理可得，，且，根据三角形相似的判定方法即可求解；②先计算，，，的长度，在根据①中的结论即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，的投影是，的投影是点，的投影是．
（2）证明：∵中，，，
∴，，
∴，且是公共角，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
中，
∵，，
∴，
∴，即，且（公共角），
∴；
②∵，且，
∴，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查正方形，直角三角形，相似三角形的综合，掌握正方形的性质，直角三角形中判定三角形的相似，以及相似三角形的性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)5.3米
【分析】（1）连接并延长交于点E，即为标杆的影子，同理可作出；
（2）利用尺规作图作点O到的垂线即可；
（3）根据可得，，利用相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】（1）解：如图，线段，线段即为所求；
（2）解：如图，线段即为所求；
（3）解：设米，米，则米，
，
，，
，，
即：，，
解得：，，
灯泡O到地面的距离大约为5.3米．
【点睛】本题考查投影、利用尺规作图作垂线，相似三角形的判定与性质，解题的关键是牢记相似三角形的对应边成比例．
23．见解析
【分析】根据正投影的概念，画出这个物体在两个投影面上的正投影，即可求解．
【详解】解：画出的正投影如图所示．这个物体在投影面上的正投影是正方形及线段；在投影面上的正投影是正方形．
【点睛】本题考查了画正投影，掌握正投影的概念是解题的关键．当物体的某个面(或某条边)与投影面平行时，这个面(或这条边)的正投影和这个面(或这条边)相同；当物体的某个面(或某条边)与投影面垂直时，这个面(或这条边)的正投影是一条线段(或一个点)．
24．立柱，古树．
【分析】本题主要考查了投影的性质，相似三角形的判定与性质，
基础解答：根据太阳光投影中，光线都是平行的，即可得，据此判定，问题随之得解；
拓展拔高：画出图形，根据光线都是平行的，根据“基础解答”的方法，同理可得：，，问题随之得解．
【详解】基础解答
如图，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴
解得：；
拓展拔高
如图，

根据题意有：，，，，
根据【基础解答】，同理可得：，，
∴，，
即有：，，
解得：，
即有（），
即古树．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)