4.1成比例线段同步练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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4.1成比例线段
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列选项中，四条线段a，b，c，d是成比例线段的为（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
4．美术专家认为：如果人的下身长与自己的身高之比是黄金分割数，那么就非常美丽，已知一个女孩身高为，下半身为，请你们替她选一个高度最理想的高跟鞋，则高度应为（ ）
A． B． C． D．
5．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是（ ）
A．：： B．：： C．：： D．：：
7．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．、、、 B．、、、
C．、、、 D．、、、
8．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
9．设，，均为非负实数，并且，则（ ）
A． B． C． D．
10．我们把宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（）的边BC上取一点E，使得，连接AE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高 165，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若，且，则 ．
14．如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，，各部分长度的比满足，已知，则的长为 ．（结果保留根号）
15．已知线段，，则a，b的比例中项线段长是 .
16．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 .
17．等比性质：如果（ ），那么
三、解答题
18．已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点.
19．（1）如果，，，四个数成比例，即，那么，其变形根据是______；反过来，如果（都不等于），可以得出比例式，那么还可以得出其它哪些不同的比例式（直接写出其中三个正确的比例式即可）．
（2）如果，那么成立吗？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由．
20．已知三条长度分别为、、的线段，若再添一条线段，使这四条线段成比例．求所添线段的长度．
21．已知线段满足，且．
(1)求 a 、b 、c 的值；
(2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值；
(3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度；
22．（1）我们把邻边之比为的矩形叫做黄金矩形．如图，已知正方形，请用无刻度直尺和圆规作出黄金矩形，使得点、分别在线段、上．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（）的基础上，若以为边作正方形，使得点、分别在线段、上，则矩形是黄金矩形吗？为什么？
23．综合与实践．实践主题：黄金分割数．
(1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．
若设线段，的长为x，则可表示为，
∵， ∴，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）．
(2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．
24．已知线段a、b、c满足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
《4.1成比例线段》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C D C D A B B
题号 11 12
答案 C C
1．A
【分析】根据比例线段的定义，注意成比例的线段有顺序性，如a，b，c，d是成比例线段，那么只能写成或，不能随便更改位置，列出比例式（方程）求解即可．
【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，
∴，即，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例线段的定义，列出比例式（方程）求解是解题的关键．
2．C
【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】解：∵，
∴设，（），
∴，
故选：．
3．B
【分析】本题主要考查了比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断．
【详解】解：A．，这四条线段不成比例，故不符合题意；
B．，这四条线段成比例，符合题意；
C．，这四条线段不成比例，故不符合题意；
D．，这四条线段不成比例，故不符合题意．
故选：B．
4．C
【分析】设高跟鞋的高度为，则根据下身长与自己的身高之比是黄金分割数，解出即可得出答案．
【详解】解：设高跟鞋的高度是，
则，
解得：，即高跟鞋的高度应为．
故选：C．
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值，进一步根据黄金比的值求解．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．
5．D
【分析】本题考查黄金分割的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．由黄金分割且知：，，由此可求得的长．
【详解】解：为的黄金分割点，且，
，
即，
，
故选：D
6．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可．
【详解】解：如图，
∵,
∴,
即．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．
7．D
【分析】本题考查成比例线段．根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
【详解】解：A、，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
C、，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、，所以四条线段成比例，故本选项符合题意．
故选：D．
8．A
【分析】根据题中黄金分割点定义，在图（1）中令，设，，即，解得，从而，得到黄金分割比由点分别是线段的黄金分割点，可知，，，则，，，根据，代入求解即可得到，，．
【详解】解：如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点，
令，设，则，则由，代值得，解得，
，
，
点分别是线段的黄金分割点，
，，，
，，，
将，代入求解即可得到，，，
故选：A．
【点睛】本题查处黄金分割点定义，涉及黄金分割比求解及利用黄金分割比求线段长，读懂题意，理解黄金分割点定义得到比例是解决问题的关键．
9．B
【分析】根据已知等式变形，分别求得的值，进而即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴
∴
∴，，
∴
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，分式求值，根据已知等式变形是解题的关键．
10．B
【分析】设BC=a，根据黄金矩形的概念求出AB，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：设BC=a，
∵矩形ABCD为黄金矩形，
∴AB=a，
∴BE=a-a=a，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
11．C
【分析】本题考查了黄金分割的应用．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解即可．
【详解】根据已知条件得下半身长是，
设需要穿的高跟鞋是，
根据黄金分割的定义得：，
解得：．
故选：C．
12．C
【分析】此题考查了比例线段，若在四条线段中，存在其中两条线段长度的比，等于另外两条线段长度的比，则称这四条线段是成比例线段，逐一判断即可．
【详解】解：A、，故四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、，故四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
C、，故四条线段成比例，故本选项符合题意；
D、，故四条线段不成比例，故本选项不符合题意．
故选：C．
13．4
【分析】根据得，代入中，解得a，b，解答即可．
本题考查了比的应用，解方程，熟练掌握比的意义是解题的关键．
【详解】解：根据得，代入中，
解得，
故，
故答案为：4．
14．
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．依据黄金分割的定义进行计算即可．
【详解】解：∵，，各部分长度的比满足，，
∴，
故答案为：．
15．4
【分析】设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可知，，求得c的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【详解】解：设线段a，b的比例中项为c，
∵c是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
∴，
即，
∴（负数舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了比例线段．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果，即，那么b叫做a与c的比例中项．
16．
【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到，即可得到答案．
【详解】解：由于线段，，，是成比例线段，
故，
即
解得
故答案为：．
17． b+d+…+n≠0
【解析】略
18．见解析
【分析】先求得，即可得到，结论得证．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴点A是的黄金分割点．
【点睛】解答本题的关键是应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．
19．（1）比例的基本性质；还可以得到，，；（2）成立，推理见解析
【分析】（1）根据比例的基本性质即可得到．反过来，则同除以，即可得到结果；
（2）由（1）得，根据等式的性质，两边都减，得，即，所以．
【详解】解：（1），
根据比例的基本性质，，
由，还可以得到，，；
故答案为：比例的基本性质；
（2）成立，理由如下：
由（1）得，
，
即，
．
【点睛】本题考查了比例的性质，会正确变形和能够说明其变形的依据是关键．
20．1或4或36
【分析】根据成比例线段的性质求解即可．
【详解】解：设添加的线段长度为x，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：．
∴所添线段的长度为1或4或36．
【点睛】此题考查了线段成比例，解题的关键是熟练掌握线段成比例性质并分类讨论．
21．(1)9，6，12
(2)
(3)
【分析】（1）设比值为，然后用表示出再代入等式进行计算即可得；
（2）根据比例中项的定义列式求解即可得
（3）根据黄金分割比的结论列式求解即可得
【详解】（1）解：设，
则，
解得：，
则：；
（2）∵线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，
∴，
∴，
∴；
（3）∵线段b按黄金分割比例分为两条线段，
∴长边长度为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，黄金分割比，熟记比例中项的概念、黄金分割比的比值结论是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出可以使计算更加简便．
22．（1）见解析；（2）矩形是黄金矩形，理由见解析．
【分析】本题考查作图复杂作图，尺规作图，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（）作的垂直平分线交于点，连接，在上取，然后在上取，过作垂线交于点，四边形即为所求；
（）由正方形的性质，，由（）得，从而，即可得解．
【详解】（1）如图，四边形即为所求．
（2）解：矩形是黄金矩形，理由如下：
如下图，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，
由（）得，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴矩形是黄金矩形，．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键．
（1）根据比例的性质得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案．
（2）则令“千斤”下面一截琴弦长为，利用黄金分割数的定义，得出，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
24．(1)，，
(2)
【分析】（1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值；
（2）由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可．
【详解】（1）解：设，则，，
∵，所以，解得，
∴，，．
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴，所以（舍负）．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
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