4.2平行线分线段成比例同步练习 北师大版数学九年级上册

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4.2平行线分线段成比例
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知，，，线段的长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
2．如图，已知直线，分别交直线m，n于，则下列各式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图， 点是平行四边形内部一点， 过分别作和的平行线交平行四边 形的四边于． 连结分别交于和． 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍． 下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在平行四边形中E为的中点，F为上一点，与交于点H， ，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，则BD的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，已知，，，线段的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
9．如图，是的中线，点在上，，连接并延长交于点，则：的值是（ ）
A．： B．： C．： D．：
10．在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图，在中，D、E分别为边的中点，连接，点F为边上一点，，连接交于点N，则下列结论中错误的是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．

14．如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ．
15．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DEBC交AC于点E，若，AE=6，则EC= ．
16．如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为 ．
17．如图，已知直线，，，，那么 ．
三、解答题
18．【探究与应用】
问题：如图①所示，是的角平分线．求证：．

(1)【解决问题的方法】善于思考的小安发现：过点作交的延长线于点，如图②，通过两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例的推论，可以解决问题．请证明：．
(2)【应用提升】请你利用上述结论，解决下列问题：如图③，在四边形中，，，，平分，，与相交于点．求和的值．
19．如图，已知，，，，求和的长．
20．请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．
21．如图，在中，平分交于点，为边上一点，．

(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
22．如图，，．
(1)若，，求的长；
(2)若，求的长．
23．如下图，已知交于点，且．若，求的长．
24．如图，是的中线．
(1)若为的中点，射线交于点，求；
(2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ．
《4.2平行线分线段成比例》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D C C C A A B
题号 11 12
答案 B C
1．B
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，求出，即可求解．
【详解】解：∵,
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
2．C
【分析】根据平行线的性质逐项判断即可．
【详解】A． ，选项正确，故不符合题意；
B． ，选项正确，故不符合题意；
C． ，选项不正确，故符合题意；
D． ，选项正确，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟悉平行线的性质．
3．C
【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵、两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴点的纵坐标为6，故C正确．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键．
4．D
【分析】设，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用已知条件求得，据此即可求解．
【详解】解：∵点是平行四边形内部一点， 过分别作和的平行线交平行四边形的四边于．四边形四边形，
∴四边形都是平行四边形，且相似，
设，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，
∵四边形的面积是四边形的3倍．
∴，
∴，
∴、、都不成立，
成立，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．C
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
，故②错误；
，故③正确；
，故④正确，
正确的个数3个，
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可．
【详解】解：延长交的延长线于点G，如图所示：

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，经检验符合题意．
故选：C．
7．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：，
，
即，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到即可求解．
【详解】解：∵,
∴，
∵，，
∴，
解得，
故选：A．
9．A
【分析】过点D作与BF交于点G，于是FC=2DG，AF=3DG，∴AF:FC=3DG:2DG=3:2
【详解】过点D作与BF交于点G，如图：
是的中线
即
即
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉概念是解题关键．
10．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可．
【详解】解：如图：
A、当时，不能判定，故不符合题意；
B、当时，能判定，故符合题意；
C、当时，不能判定，故不符合题意；
D、当时，不能判定，故不符合题意；
故选：B．
11．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得的长，再根据线段和差求解即可得．
【详解】解：∵图中两条直线被三条平行线所截，且，，
∴，即，
∴，
∴，
故选：B．
12．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可推出,根据中位线定理分析求解．
【详解】解：∵D、E分别为边的中点，
∴.
∴
∴, .
∴.
∵，
∴.
∴.
所以，正确，错误；
故选：C
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线定理；由平行线的位置关系得到线段间数量关系是解题的关键．
13．
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
14．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．9
【分析】由平行线分线段成比例定理得出=，然后将EC代入计算即可．
【详解】解：∵DEBC，
∴=，
∴，即，解得EC=9．
故答案为9．
【点睛】本题主要考查了平行线等分线段定理等知识点，根据DEBC得到=是解答本题的关键．
16．
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键．
根据可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入得出，继而即可得．
【详解】∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：定理（一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例）中的对应成比例．
18．(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再根据平行线分线段成比例定理可得，由此可得．
（2）利用（1）中结论的可得，则，根据平行线分线段成比例定理可得．根据角平分线的定义和平行线的性质可得，．过点A作于点E，则可得，，由勾股定理可得的长，由此得的长，进而得出的长．
【详解】（1）证明：交的延长线于点E，

∴，．
又是的平分线，
，
，
，
．
（2）（2）平分，，
，，
．
，
，，
，
．
过点A作于点E，如图③
，
，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，平行线分线段成比例定理．熟练掌握以上知识，并且会用转化的方法是解题的关键．
19．，
【分析】根据平行线分线段成比例得到，代值求解得到，进而有．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，数形结合，准确根据平行线分线段成比例定理得到线段比是解决问题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有；
（2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到△ABD的周长．
【详解】（1）证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E，
∵，
∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴．
（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴，即，
∴，
∴，
∴△ABD的周长．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握相关性质定理．
（1）先根据角平分线的定义得出，再根据等边对等角得出，则，即可求证；
（2）根据平行线分线段成比例得出，进而求出，即可解答．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴．

22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．
（1）由平行分线段成比例得出，再代入数值计算；
（2）由平行线分线段成比例的性质得出，再代入计算．
【详解】（1），
，
，，，
，
解得；
（2），，
.
，
，
解得．
23．的长为20cm．
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据该定理列出比例式成为解题的关键．
根据和可以得到，进而求解即可．
【详解】解：， ，
．
又cm ，
cm．
故答案为：的长为cm．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解；
（2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点作，交于点．
，，
，
又是的中线，
，
．
，
，
又为的中点，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，交于点．
，，
，
，
，即，
由（1）知，
，
，
．
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