4.5相似三角形判定定理的证明同步练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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4.5相似三角形判定定理的证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一动点（与B，C不重合）连接AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E，设BP=，△PCE的面积为，则与的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
2．有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（ ）
A．全等 B．相似 C．既不全等与也不相似 D．无法确定
3．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(　 　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（　　）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD
C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB
6．在△ABC与△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝30°，则以下条件，不能说明△ABC与△A′B′C′相似的是( )
A．∠A′＝30° B．∠C′＝60° C．∠C＝60° D．∠A′＝2∠C′
7．如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD=16，则DE的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．10
8．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC边，CD边的中点，AE、AF分别交BD于点G，H，设△AGH的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，则S1：S2的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，是斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
10．如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连接，交于点，交于点，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
11．如图中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点若，，，，则BN的长度为　　
A． B． C． D．
12．如图，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，已知，点，作，使与相似，以、点必须要格点上 ．（不写作法）

14．如图，在△ ABC中， DE∥ BC， AD＝3cm， BD＝2cm，则△ ADE与△ ABC相似比是 ；若 DE＝4cm，则 BC＝ ．
15．如图，E为 ABCD的DC边延长线上一点，连AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有 个．
16．如图，当∠AED＝ 时，以A，D，E为顶点的三角形与相似．
17．如图，∠A＝∠D＝80°，∠B＝40°，∠F＝60°，则 ∽ ．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，
（1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）在（1）条件下，求证：AB2=BD BC．
19．如图在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°,CD⊥AB于D．
（1）请直接写出图中所有的相似三角形 （2）你能得出CD2=AD·DB吗？为什么
20．底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．
21．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．
（1）求AO的长；
（2）求PQ的长；
（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．
22．如图，已知：BC是BD、AB的比例中项．求证：∽．
23．如图 ， D 、 E分别为 AB 、 AC边上两点，且 AD=5, BD=3, AE=4, CE=6．试说明：①△ ADE∽△ ACB;②∠ ADE=∠ C．
24．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的正方形的顶点上．
(1)填空：∠ABC＝__________度，BC＝_________；
(2)求证：∠C＝∠E.
《4.5相似三角形判定定理的证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B D C D A D B
题号 11 12
答案 D D
1．C
【详解】过点E作EH⊥BC的延长线于点H,因为∠APB+∠EPC=90°, ∠BAP+∠APB=90°,
所以∠BAP=∠EPH,因为∠B=∠H,所以△ABP∽△PHE,设EH=a,因为∠ECH=45°, ∠H=90°,所以CH=EH=a,因为BP=x,所以CP=4-x,根据相似三角形的性质,可知,即
,整理得:,解得,所以y与x的函数关系式为:,故选C.
2．B
【分析】根据“两角对应相等，两三角形相似”即可判定.
【详解】两角均为直角三角形，又因另一个锐角也对应相等，故依据“两角对应相等，两三角形相似”，判定这两个直角三角形相似.
故选择B.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法.
3．D
【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论．
【详解】解：如图①，，时，．
如图②，，，则，故；
如图③，，，则，故△；
如图④，，，则△．
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟知有两组角对应相等的两个三角形相似．
4．B
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出DF∥BC，则△EFD∽△EBC，AD∥BC，得△EFD∽△BFA，从而得出△BFA∽△EBC．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥CB，AB∥DC，
∴△EFD∽△EBC，△EFD∽△BFA，
∴△BFA∽△EBC．
共3对．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．
5．D
【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，
又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；
∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、C，错误的判断是D；
故选D．
【点睛】考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键．
6．C
【分析】根据A、B、C、D选项中给出的条件，分别证明△ABC与△A′B′C′相似，不能证明△ABC与△A′B′C′相似的条件即为答案，即可解题．
【详解】A、∵∠A′=30°，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，
∴△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；
B、∵∠C′=60°，
∴∠A′=30°，
∵∠B=∠B′=90°，∠A=30°，
∴△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；
C、∠C=60°，无法确定△A′B′C′中各角的度数，故无法证明△ABC∽△A′B′C′，
故本选项正确；
D、∵∠A′=2∠C′，∠A′+∠C′=90°，
∴∠A′=30°，
∵∠B=∠B′=90°，∠A=30°，
∴△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，本题中根据题目中给出的条件求证△ABC∽△A′B′C′是解题的关键．
7．D
【分析】由AD∥BC可得△CBE∽△AED，根据相似三角形的对应边成比例可得BE：AE=CE：ED=3：5，由此即可求出答案.
【详解】∵AD∥BC，
∴△CBE∽△AED，
∴BE：AE=CE：ED=3：5，
∵CD=16．CE+ED=CD，
∴DE==10，
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
8．A
【分析】由平行可得，，从而得到对应线段成比例，推得BG=GH=DH，最后利用等底等高的三角形面积相等推理得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∴ , ,
,
同理，,
∵DF=CF，BE=CE，
∴ ,
∴ ,
∴BG=GH=DH，
∵△AGH的面积为S1，
∴S△ABG=S△AGH=S△ADH=S1，
∴S平行四边形ABCD=6S1，
∴S1：S2，=1：6，
故选A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活转移线段的条件是解题的关键．
9．D
【分析】直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的两个三角形与原三角形相似，由此即可解答.
【详解】由题意得：△ADC∽△ACB；△ADC∽△CDB；△CDB∽△ACB．
故选D．
【点睛】本题解决的关键是熟知直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的了两个三角形与原三角形相似这一定理．
10．B
【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠EBF=∠EAD，∠EFB=∠EDA，
∴△EFB∽△EAD；
同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF．
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质等知识点，能运用相似三角形的判定定理进行证明是解此题的关键．
11．D
【分析】在Rt△ABC中,根据勾股定理可得:AB=,
由于四边形DEFG为正方形,根据正方形的性质可得DE=EF=GF=DG=1,
∠DEG=∠GFE=90°,而∠B=90°,∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,根据相似三角形的判定定理可得:△ADE∽△ACB,根据相似三角形的性质可得;,即,可AE=,AF=AE+EF=,
再根据∠GFA=∠B,∠GAF=∠NAB,利用相似三角形的判定定理可得△AGF∽△ANB,根据相似性质可得:,,即可求出BN=,
【详解】在Rt△ABC中,AB=,
∵四边形DEFG为正方形,
∴DE=EF=GF=DG=1,∠DEG=∠GFE=90°,而∠B=90°,
∴∠AED=∠B,
∵∠DAE=∠CAB,
∴△ADE∽△ACB,
∴,
即,
∴AE=,
∴AF=AE+EF=,
∵∠GFA=∠B,∠GAF=∠NAB,
∴△AGF∽△ANB,
∴,,
∴BN=,
故选D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质,解决本题的关键是要根据题目已知条件证明两三角形相似,再根据相似三角形的性质进行求解.
12．D
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABD∽△CDB，△GFC∽△GAB，△DEF∽△BEA，△AED∽△GEB，△ADF∽△GCF，△ADF∽△GBA.
即图中有6对相似三角形.
故选D.
13．详见解析
【分析】根据相似三角形的性质，利用平行，连接AP作PR∥AC，且PR=2AC，同理作PQ∥AB，PQ=2AB,连接QR．三角形就画成了．
【详解】如图所示：

故答案为
【点睛】考查相似三角形的性质和作图，利用相似三角形的性质来完成此图.
14． 3：5 cm；
【详解】∵AD=3cm，BD=2cm，
∴AB=AD+DB=5cm.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，且相似比为：；
∴，即，
∴BC=.
故答案为（1）；（2）.
点睛：本题解题的要点是根据“平行于三角形一边的直线截另外两边（或两边的延长线），所得新三角形与原三角形相似”由DE∥BC得到△ADE∽△ABC，这样利用相似三角形的性质即可求得所求量了.
15．2
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得对边分别平行；根据平行于三角形的一边的直线截三角形的另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可得△ABF∽△ECF，△ECF∽△EDA，根据相似三角形的传递性即可求得．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴△ABF∽△ECF，△ECF∽△EDA，
∴△ABF∽△EDA，
∴与△ABF相似的三角形共有2个.
故答案为2.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定.相似三角形的判定方法有：①对应角相等、对应边成比例；②平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似；③两角对应相等，两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；⑤三边对应成比例，两个三角形相似.
16．∠B或∠C
【分析】由两个角对应相等的两个三角形相似，从而可得结论．
【详解】解： ∠BAC＝∠EAD(公共角)，
再由∠AED＝∠C或∠AED＝∠B，
即可证明与相似．
故答案为：或
【点睛】本题考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
17． △ABC △DEF
【分析】由三角形内角和可求出∠E=40°，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得解.
【详解】在△DEF中，∠D=80°，∠F=60°,
∴∠E=180°-∠D-∠F=180°-80°-60°=40°.
在△ABC和△DEF中，
∠A＝∠D＝80°，
∠B＝∠E=40°
∴△ABC和△DEF
故答案为△ABC；△DEF
【点睛】本题考查了运用：两角分别相等的两个三角形相似，进行证明.
18．（1）作图见解析；（2）证明见解析；
【分析】（1）①以C为圆心，任意长为半径画弧，交CB、CA于E、F；②以A为圆心，CE长为半径画弧，交AB于G；③以G为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于H；④连接AH并延长交BC于D，则∠BAD=∠C；（2）证明△ABD∽△CBA，然后根据相似三角形的性质得到结论．
【详解】（1）如图，∠BAD为所作；
（2）∵∠BAD=∠C，∠B=∠B
∴△ABD∽△CBA，
∴AB：BC=BD：AB，
∴AB2=BD BC．
【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线； 过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．
19．详见解析.
【详解】试题分析：
（1）由已知条件易证：∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°，∠B=∠ACD，∠A=∠BCD，因此可得：△ABC∽△ACD， △ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；
（2）由△ACD∽△CBD可得：AD:CD=CD:BD，即CD2=ADBD.
试题解析：
（1）∵Rt△ABC中, ∠ACB＝90°,CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，∠A=∠BCD，
∴△ABC∽△ACD， △ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；
（2）能得出CD2=AD·DB，理由如下：
∵△ACD∽△CBD，
∴AD:CD=CD:BD，
∴CD2=ADBD.
点睛：（1）由直角三角形斜边上的高把这个直角三角形分成的两个小直角三角形都和原直角三角形相似；（2）直角三角形斜边上的高是高把斜边分成的两条线段的比例中项.
20．底角相等的两个等腰三角形相似，顶角相等的两个等腰三角形也是相似的．证明见解析．
【分析】由等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：底角相等的两个等腰三角形相似；理由如下：∵AB=AC，DE=EF，
∴∠B=∠C，∠E=∠F，
∵∠B=∠E，
∴∠B=∠C=∠E=∠F，
∴△ABC∽△DEF；
顶角相等的两个等腰三角形相似；理由如下：
∵AB=AC，DE=EF，
∴∠B=∠C= (180°-∠A)，∠E=∠F= (180°-∠D)，
∵∠A=∠D，
∴∠B=∠C=∠E=∠F，
∴△ABC∽△DEF；
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定定理，熟记两角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
21．（1） (2) (3)
【详解】试题分析: （1）由△ABC∽△ACO，得=，由此即可求出OA．
（2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，在Rt△PFQ中，求出PF，QF即可解决问题．
（3）如图3中，取AD中点G，连接GQ，由PF∥GQ，推出△PMF∽△QMG，推出==，由PM+QM=，可以求出PM，QM，即可解决问题．
试题解析:
解：（1）如图1中，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACO，
∴=，
∵AB===13，
∴OA==．
（2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，
则PF∥ED，FQ∥BC，PF⊥FQ，且PF=ED=1，FQ=BC=6，
在Rt△PFQ中，PQ===．
（3）如图3中，取AD中点G，连接GQ，
∵GQ∥AC，ED∥AC，PF∥ED，
∴PF∥GQ，
∴△PMF∽△QMG，
∴==，
∵PM+QM=，
∴PM=，MQ=，
∴|PM﹣QM|=．
22．见解析
【分析】由比例中项可知BD:BC=BC:AB，而∠B是△CDB和△ACB的公共角，故可证明两三角形相似.
【详解】，
∴
∵，
∴∽．
【点睛】本题由比例中项定义得两三角形对应边成比例，再由公共角即可证明两三角形相似.
23．①见解析；②见解析
【详解】试题分析：由条件可得，且∠A为公共角，则可证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质即可得到结论．
试题解析：①在△ ADE和△ ACB中，
∵ AC=AE+CE=10, AB=AD+BD=8
∴．
又∵∠ DAE=∠ CAB,
∴△ ADE∽△ ACB．
②由①△ ADE∽△ ACB可得∠ ADE=∠ C．
24．（1） 135°，2；（2）证明见解析.
【分析】(1)根据正方形的对角线可得∠ABC的补角等于45°,即可求出∠ABC=135°,根据BC是正方形的对角线,利用勾股定理进行计算即可.
(2)先根据勾股定理计算出网格中三角形的各个边长,然后求出各边比值,根据三边对应成比例两三角形相似可得△ABD∽△DCB,然后再可得
【详解】(1) 135° 2
(2) 由图知,AB＝2,BC＝2,AC＝2,DF＝,EF＝2,DE＝,
∴,,,
∴,
∴△DEF∽△ACB,
∴∠C＝∠E.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质.
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