第二章一元二次方程同步练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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第二章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的一次项系数和常数项分别为（　　）
A． B． C． D．5，1
3．从正方形的铁皮上，截去宽的一条长方形，余下的面积是，则原来的正方形铁皮的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．已知a和b是方程的两个解，则的值为（　　）
A．2020 B．2024 C．2026 D．2028
5．一元二次方程的解是（ ）
A．2 B．0 C．2或0 D．2或
6．如图，要为一幅长，宽的照片外部配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度应是多少厘米？设相框边的宽度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．若关于的一元二次方程有两个不相等实根，则的取值范围是（　　　）
A． B． C．且 D．且
8．求方程 的根的情况是（　　）
A．没有实根 B．两个不相等的实数根
C．两个相等的实数根 D．无法确定
9．若方程的根是2和3，那么代数式可分解因式为（ ）
A． B． C． D．
10．用配方法解一元二次方程时，方程两边应同时加上（ ）
A．3 B．9 C．6 D．36
11．如图，将边长为的正方形沿对角线剪开，再把沿着方向平移得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
A． B． C．或 D．
12．有理数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于一元二次方程的根的说法正确的是（ ）
A．两根都是正数
B．两根都是负数
C．两根一正一负，正根的绝对值较大
D．两根一正一负，负根的绝对值较大
二、填空题
13．把一元二次方程化成的形式，则的值为 ．
14．若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是 ．
15．若是方程的一个根，则的值为 ．
16．方程的解为
17．配方法解一元二次方程，应在方程两边同时加上
三、解答题
18．解方程：．
19．（配方法）
20．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程有一个根是，求的值及方程的另一个根．
21．解方程∶
(1)；（用配方法）
(2)．（用因式分解法）
22．解方程：．
23．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
(1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
24．解下列方程
(1)
(2)
《第二章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D C C C B B B
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】根据配方法进行运算，即可求解．
【详解】解：由原方程得，
得，
得，
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握和运用配方法是解决本题的关键．
2．C
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
根据二次项系数，一次项系数及常数项的定义得到结果即可．
【详解】解：，
整理得，，
所以一元二次方程的一次项系数和常数项分别为．
故选：C．
3．C
【分析】设原来的正方形铁皮的边长为，则截去宽的一条长方形的长为，根据长方形面积公式列方程求出正方形的边长，再用正方形面积公式求解．
【详解】解：原来的正方形铁皮的边长为，则截去宽的一条长方形的长为，根据题意，得
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
∴原来的正方形铁皮的面积，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解是的关键．
4．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，将所求式子变形为，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵a和b是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了解一元二次方程．根据方程的形式选择合适的解法是解题的关键．
先移项，再利用因式分解法求解即可．
【详解】∵，
移项得，
分解因式得，
∴，
∴，
∴一元二次方程的解是2或0．
故选：C．
6．C
【分析】设相框边的宽度为，根据等量关系式：相框与照片的总面积照片面积列出方程即可．
【详解】解：设相框边的宽度为，根据题意得：
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出题目中的等量关系式，是解题的关键．
7．C
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实根，
∴，
∴且，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和判别式，熟知一元二次方程有两个不相等的实数根时，是解题的关键．
8．B
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
9．B
【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法得到，进而可求解．
【详解】∵关于的方程的根是2和3，
∴原方程为，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
10．B
【分析】根据配方法的步骤，利用完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：进行配方，方程两边应同时加上一次项系数的一半的平方，即，即，
故选B．
【点睛】本题主要考查了配方法，熟知配方法的步骤是解题的关键．
11．D
【分析】本题考查正方形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，设与交于点，与交于点，先证明阴影部分为平行四边形，为等腰直角三角形，设，得到，，根据阴影部分的面积为，列出一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：设与交于点，与交于点，
∵正方形，
∴，，，
∵平移，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，，
由题意，得：，
解得：，
∴；
故选D．
12．C
【详解】由题图可知，
．
设方程的两根为．
由根与系数的关系，得，
两根一正一负，正根的绝对值较大．
13．
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，求代数式的值，先将化成，得出、的值，再代入计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】由于的不确定性，需要先分类讨论确定方程的类型，再利用根的判别式确定参数的取值范围
【详解】分两种情况讨论：
①当时，原方程为，解得，符合题意；
②当时，原方程为一元二次方程．
关于x的方程有实数根，
，解得，则，．
综上所述，m的取值范围是．
15．2
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义.
由题意可知：，然后将整体代入原式即可求出答案．
【详解】解：由题意，得，
.
．
故答案为：2．
16．2或3
【分析】本题主要考查了利用因式分解解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解解一元二次方程的步骤．
先对方程进行因式分解，再求方程的解即可．
【详解】解：
∴，
故答案为：2或3．
17．9
【分析】本题考查配方法，将方程的二次项系数化为1，常数项移到等式的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，进行配方，求解即可．
【详解】解：∵，
配方，得：，即：；
故答案为：9．
18．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：
或，
解得：或，
∴原方程的根为：，．
19．
【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的配方法解法是解答本题的关键．
把25移项，两边配上36，左边化成完全平方，两边开平方即得．
【详解】∵，
移项，得，
配方，得，
∴，
开平方，得，
∴．
20．(1)且
(2)，方程的另一个根是
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根的意义．
（1）方程有实数根，则，建立关于的不等式，求出的取值范围；
（2）把代入方程求得的数值，进而求出原方程，最后解方程即可求方程的另一个根．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，，
且；
（2）当时，，
解 得：，
原方程为，
解得：，，
方程的另一个根是．
21．(1)，
(2)，
【分析】（1）方程两边都加4得：，再化为，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）先移项，再把方程左边分解因式，化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】（1）解： ，
方程两边都加4得：，
∴
∴
解得：，
（2），
移项得：，
∴，
∴或，
解得：，
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与因式分解的方法解一元二次方程”是关键．
22．，．
【分析】用直接开平方法解方程即可．
【详解】∵
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，根据方程的特点选择最简便的求解方法是解题关键．
23．(1)每轮传染中平均一个人传染8个人
(2)经过三轮传染后共有729人会患流感
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
（1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人；
（2）解：（人．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
24．(1)，
(2)，
【分析】（1）采用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）采用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：开平方的或，
解得：，，
一元二次方程的解为：，；
（2）解：因式分解得：，
或，
解得：，，
一元二次方程的解为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．
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