第六章反比例函数同步练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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第六章反比例函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．反比例函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，是函数在第一象限的图象上任意一点，点关于原点的对称点为，过作平行于轴，过作平行于轴，与交于点点，则的面积（ ）
A．随点的变化而变化 B．等于8
C．等于4 D．等于6
4．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若水温为30时接通电源，水温y（）和时间x（min）的关系如图所示，则水温从100降到35所用的时间是（ 　）
A．27min B．20min C．13min D．12min
5．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上，且，则的面积是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
6．若点和点均在反比例函数的图象上，且，则（ ）
A． B． C． D．的大小无法确定
7．点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知反比例函数的图象上有两点，，则m与n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点在（）的图象上，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交（）的图象于点，连接．若，四边形的面积为7，则，的值正确的是（　　）
A．， B．， C．， D．，
11．如图是三个反比例函数在x轴上方的图像，由此观察得到的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：
（1）点的坐标为
（2）作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为 ．
14．如图，已知一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象在第一象限交于点，若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 .
15．如图，在同一平面直角坐标系中，直线（t为常数）与反比例函数，的图象分别交于点A，B，点O为坐标原点，连接，，则的面积为 ．

16．如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转，交y轴于C点，则△ABC面积为 ．
17．反比例函数的图象，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ）
三、解答题
18．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，一次函数与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)求的面积；
(3)若，是反比例函数图象上的两点，且，指出点，分别位于哪个象限，并比较，的大小．
19．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如表：
镜片焦距x（米） 1．00 0．50 0．25 0．20 0．10
近视眼镜的度数y（度） 100 200 400 500 1000
(1)请写出适当的函数表达式描述近视眼镜的度数y与镜片焦距x的关系；
(2)小张同学通过科学的视力矫正和良好的用眼习惯，有效抑制近视度数增长．一年来他的近视眼镜的度数从原来的150度变化到现在的175度，则他所佩戴眼镜的镜片焦距增加还是减少了？增加或减少多少（结果精确到百分位）？
20．如图，矩形的顶点、分别落在轴、轴的正半轴上，点，反比例函数的图象与、分别交于、两点，，点是线段上一动点．
(1)求反比例函数关系式和点的坐标；
(2)如图，连接、，求的最小值；
(3)如图，当时，求线段的长．
21．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E．
(1)求线段的长；
(2)在线段OD在存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标．
(3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O，D，E，N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．反比例函数和一次函数的图象如图所示，化简：
23．一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，求这两点的坐标．
24．阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”，例如三个实数，3，4，因为的倒数为，而3与4的倒数和为，所以三个实数，3，4构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程的两根分别为，，则有，．
问题解决：
(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 　 　；
(2)若，是关于x的方程（a，b，c均不为0）的两根，是关于x的方程（b，c均不为0）的解．求证：，，可以构成“和谐三数组”；
(3)若A(m，)，B(m+1，)，C(m+3，)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
《第六章反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C A D C B A D
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的解析式可得反比例函数的图象在第二、四象限，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，如图：
，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可．
【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示：
∴，
∴，
∵点A在双曲线上，点B在，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、关于原点对称的点的坐标，设，则，根据题意得，再根据函数解析式即可求解，解决本题的关键把所求的三角形的面积整理为和反比例函数的比例系数有关的式子．
【详解】解：设，则，
那么的面积，
，
∴的面积为8，
故选B．
4．C
【分析】先求出水温开始下降时，水温y（）与开机后用时x（min）的反比例函数解析式，再求出水温为35时的时间，计算即可．
【详解】解：设水温开始下降时，水温y（）与开机后用时x（min）的反比例解析式为，
代入（7，100）得：，即，
当y＝35时，即，
解得：，
∵20－7＝13，
∴水温从100降到35所用的时间是13 min，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
5．A
【分析】根据等腰三角形的性质和反比例函数系数的几何意义即可求得．本题考查等腰三角形的性质以及反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义是正确解答问题的关键．
【详解】解：过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查反比例图象性质．根据反比例函数的性质，结合点A、B的横坐标大小关系及符号不确定，判断m与n的大小无法确定．
【详解】解：∵点和点在反比例函数图象上，得，，
∴分情况讨论：
①当同号时：
当且，则，即，
当且，则，即，
②当异号时：
当，则，即，
∴题目未明确的符号，两种可能性均存在，
∴与的大小无法确定，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是反比例函数的图象和性质，根据题意，则，根据，得到反比例函数在第一，三象限，在每个象限内反比例函数随着的增大而减小，进行解答，即可．
【详解】解：∵反比例函数，
∴，
∴反比例函数在第一，三象限，在每个象限内反比例函数随着的增大而减小，
∵，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确在反比例函数中，当时，在每个象限内y随x的增大而减小．
根据在反比例函数中，当时，在每个象限内y随ェ的增大而减小，由反比例函数的图象上有两点，，可以判断出m、n的大小关系，从而本题得以解决．
【详解】解：反比例函数，，
反比例函数中，在每个象限内y随x的增大而减小，
反比例函数的图象上有两点，，
故选：B
9．A
【分析】根据反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，得到，利用整体思想代入，求值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴
；
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值．熟练掌握交点坐标同时满足反比例函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据，得到，进而得到，根据四边形的面积等于，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，
∵轴，轴，点在（）的图象上，点在的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
而
∴，
∵四边形的面积等于，
∴，
∴；
故选：D．
11．B
【分析】根据图像得反比例函数在第一象限则，，根据当x的值相同时，的函数值比的函数值大得，根据图像得反比例函数在第二象限则，即可得．
【详解】解：∵反比例函数在第一象限，
∴，，
∵当x的值相同时，的函数值比的函数值大，
∴，
∵反比例函数在第二象限，
∴，
综上，，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．
12．D
【分析】本题考查了反比例函数图象与平行四边形综合，利用反比例函数的几何意义或利用设元法解决是关键．设，可表示出点坐标，便得和的长，即可得平行四边形的面积．
【详解】解：设，
∵轴，点在双曲线上，点在双曲线上，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴平行四边形的面积，
故选：D．
13．
【分析】（1）先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3，P4的坐标，找出规律可得出的坐标；
（2）根据（1）中的规律可得答案．
【详解】解：（1）∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴P1（1，1），
∴k=1，
∴反比例函数的解析式为：，
∵B1是P1A的中点，
∴P2A1=AB1=，
∴OA1=2，
∴．
故答案为：．
（2）由（1）的解同理，得…
∴，
当时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解题的关键是找出规律．
14．
【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
如图，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点，先确定点与点坐标，由于一次函数的值随值的增大而增大，则一次函数图像必过第一、三象限，所以点只能在点与点之间，于是可确定的取值范围．理解反比例函数图像与一次函数的交点确定方法及一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点，
∵，反比例函数，
∴，
∵一次函数y的值随x值的增大而增大，
∴点在A，B之间，
∴，
故答案为．
15．3
【分析】由反比例函数中的k的几何意义直接可得特定的三角形的面积，从而可得答案．
【详解】解：如图，记直线与y轴交于点M，

由反比例函数的系数k的几何意义可得：
，，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义，掌握反比例函数的系数k与特定的图形的面积之间的关系是解题的关键．
16．20
【分析】过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，证明△AEF≌△FDB（AAS），设BD＝a，则EF＝a，由点A（4，4）和点B（0，2）可得AE+OD＝4，求得，可得F（3，1），进而求得直线AC的解析式为y＝3x﹣8，令x＝0，得出C（0，﹣8），即可求解．
【详解】解：∵点A在反比例函数y的图象上，且点A的横坐标与纵坐标相等，
∴A（4，4），
过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，
∵，则△ABF为等腰直角三角形，
∴
在△AEF与△FDB中
∴△AEF≌△FDB（AAS），
设BD＝a，则EF＝a，
∵点A（4，4）和点B（0，2），
∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝4，
∴4﹣a+2﹣a＝4，
解得a＝1，
∴F（3，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴y＝3x﹣8，
令x＝0，则y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
∴BC＝10，
∴20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一次函数与几何图形，数形结合是解题的关键．
17．
【分析】根据反比例函数的图象与性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵当时，随的增大而减小，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，图象位于第一、三象限内，当时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，在每一象限内，y随x的增大而减小是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)点在第三象限，点在第一象限，
【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是灵活运用反比例函数和一次函数的图象与性质解决问题．
（1）先求出点，，再利用待定系数法即可求解；
（2）先求得，再利用铅锤法求面积即可；
（3）结合图象即可判断．
【详解】（1）解：把点代入，得：，
∴，
再把点代入，得：，
∴，
∴点，，
∵点，在的图象上，
∴，解得．
（2）解：由（1）可知：，，
∴一次函数解析式为：，
当时，，
∴点，
∴，
∴．
（3）解：由图像可知，点在第三象限，点在第一象限，．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据表格中两个变量的对应值，可得出其乘积为100，进而可得出y与x成反比例关系，得出其关系式；
（2）分别将和代入，求出对应的x的值，比较作差即可．
【详解】（1）根据表格可知，
∴y与x成反比例关系，
∴与的函数关系式为；
（2）当时，即，
解得：．
当时，即，
解得：．
（米）
答：他所佩戴眼镜的镜片焦距减少了米．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．根据表格判断出y与x成反比例关系是解题关键．
20．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意求出点的坐标，进而求出反比例函数关系式，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点的坐标；
（2）根据轴对称最短路径确定点的位置，根据勾股定理计算，得到答案；
（3）过点作于，根据勾股定理求出，设，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）点的坐标为，，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
反比例函数的解析式为：，
由题意得：当的纵坐标为，
点的横坐标为，
点的坐标为；
（2）如图，作点关于轴的对称点，连接，交于点，连接，
则的值最小，
由（1）可知，
由勾股定理得：，
的最小值为；
（3）如图，过点作于，
则为等腰直角三角形，
，，
，
设，
则
，
，
在中，，
即
整理得：
解得（舍去）
【点睛】本题考查的是矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路径以及勾股定理的应用，作出的最小时，点的位置是解题的关键．
21．(1)
(2)
(3)存在，，，
【分析】（1）根据矩形的性质结合点B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出的长；
（2）根据D坐标确定出直线与直线解析式，过点M作轴交于点N，设， ，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标；
（3）根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出N的坐标即可．
【详解】（1）∵
∴
∵D是的中点
∴
∴
∴把代入得
∴反比例函数解析式为
∵在矩形中，
∴轴
∴E的横坐标为3
当时，
∴
∴
（2）如图，过点M作，交于点N
设的解析式为．
把代入得，，
∴
∴
∴设
设的解析式为．
把代入得，，
∴，
∴
∴设
∴
∴
∴，
∴
（3）存在，
由题意得：O（0，0），D（1，4），E（2，2），设，如图，
分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时，可得
解得：，即；
当四边形为平行四边形时，可得
解得：，即；
当四边形为平行四边形时，可得
解得：，即，
综上，N的坐标为，，．
【点睛】此题主要考查了反比侀函数，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，以及三角形，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
22．
【分析】先由反比例和一次函数图像确定a和b的取值范围，把化为，利用再根据范围去绝对值号完成化简即可．
【详解】解：由图像可得：，
∴，
，
∴
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图像与系数的关系，去绝对值号去二次根号，注意符号变化是解决问题的关键．
23．，
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，先求出方程组的解，然后得出两个交点的坐标即可．
【详解】解：解方程组得：
，，
∴函数的图象与反比例函数的图象的交点坐标为，．
24．(1)（答案不唯一）；
(2)证明见解析
(3)m的值为-4或-2或2
【分析】（1）根据题意“和谐三数组”的定义直接写出即可；
（2）根据材料2可得出，，从而可求出．再解出一元一次方程的解，即得出，从而得出，即证明，，可以构成“和谐三数组”；
（3）先用m表示出，，，再根据“和谐三数组”的定义分类讨论①当时，②当时和③当时，分别解出m即可．
【详解】（1）根据题意得，能够成“和谐三数组”的实数为：和．
理由：实数的倒数为2，实数的倒数为3，实数的倒数为5．
∵5=3+2，
∴和能构成“和谐三数组”．
故答案为：（答案不唯一）；
（2）证明：∵，是关于x的方程（a，b，c均不为0）的两根，
∴，．
∵是关于x的方程（b，c均不为0）的解，
∴．
∵，，的倒数分别为，，，
又∵，，
∴，
∴，，可以构成“和谐三数组”；
（3）∵A(m，)，B(m+1，)，C(m+3，)三个点均在反比例函数的图象上，
∴，，．
∵A，B，C三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，
∴可分类讨论：①当 时，即
∴解得，经检验符合题意；
②当 时，即
∴解得，经检验符合题意；
③当 时，即
∴解得，经检验符合题意．
综上可知当m的值为-4或-2或2时A，B，C三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”．
【点睛】本题主要考查新定义的理解与运用，反比例函数图象上的点的坐标特征．读懂题意，理解“和谐三数组”的定义是解题关键．
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