6.2反比例函数的图像与性质同步练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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6.2反比例函数的图像与性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点在函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
2．若点A，B，C都在反比例函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
3．反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
4．反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图像经过点
C．图像关于直线对称 D．图像位于第二、四象限
5．反比例函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中有一个5×2的矩形DEFG网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过格点A（小正方形的顶点），同时还经过矩形DEFG的边FG上的点C，反比例函数y＝（k≠0，x＜0）的图象经过格点B，且，则k的值是（ ）
A． B．3 C． D．2
7．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．如图，过函数 的图像上两点 做轴的垂线，垂足分别为，与相交与，若图中三角形的面积记为 ，图中梯形形的面积记为，则和的大小关系是（ ）（图中阴影的面积）
A． B． C． D．不能确定
9．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
11．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，则矩形的面积等于（ ）
A． B．6 C．4 D．2
二、填空题
13．已知反比例函数 如果 那么k 0．（填“”或“” ）
14．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，边与x轴交于点D，且，反比例函数的图象经过点A，若，则反比例函数表达式为 ．
15．如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，C为x轴上的一点，连接，，则的面积为 ．
16．若反比例函数，当时，y随x增大而增大，则函数的图象不经过第 象限．
17．（1）已知反比例函数，当时，的取值范围是 ．
（2）已知反比例函数，当时，的取值范围是 ．
三、解答题
18．画出反比例函数的大致图象，结合图象回答：
(1)当时，y的值；
(2)当时，y的取值范围；
(3)当且时，x的取值范围．
19．已知反比例函数
(1)如果这个函数的图象经过点，求k的值；
(2)如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围．
20．已知一次的图象与反比例函数的图象相交．
(1)判断是否经过点．
(2)若的图象过点，且．
①求的函数表达式．
②当时，比较，的大小．
21．已知反比例函数的图象经过第一、三象限．
(1)求的取值范围．
(2)若，此函数的图象经过，两点，且，求的取值范围．
22．在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的取值范围；
(3)当，且时，求的取值范围．
23．请用学过的方法研究一类新函数（为常数，且不等于0）的图象和性质．
(1)请完成表格并在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象：
x … 1 2 3 6 …
y … 6 3 2 1 …
(2)对于函数，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
24．如图，已知反比例函数的图像的一个分支，补画它的另一个分支．
《6.2反比例函数的图像与性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D A D C B C A A
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】根据反比例函数解析式可知反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，由此求解即可
【详解】解：∵反比例函数解析式为，，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵点在函数的图象上，，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，正确根据函数解析式得到反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】解：对于，
，
当时， 随的增大而减小，
点A，B，C都在反比例函数的图象上，，
∴；
故选：A．
3．D
【分析】根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、四象限．
【详解】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，该函数的图象位于第二、四象限．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质（1）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
4．A
【分析】考查反比例函数的性质，当时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．通过反比例图象上的点的坐标特征，可对B选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
【详解】解：由反比例函数的性质，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故A是不正确的，符合题意；
由点的坐标满足反比例函数，故B是正确的，不符合题意；
由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数的图象关于对称是正确的，故C是正确的，不符合题意；
由，双曲线位于二、四象限，故D是正确的，不符合题意；
故选：A．
5．D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的图象性质进行判断解答即可．
【详解】解：反比例函数中，，
∴反比例函数的图象在一、三象限，
故选：D．
6．C
【分析】根据反比例函数的对称性可得点A的横坐标为，点C的横坐标为，进而表示点A、C的纵坐标，由，可求出CH，即点A、C纵坐标的差，可求出k的值．
【详解】解： 如图，反比例函数y=（k≠0，x＞0）与反比例函数y= （k≠0，x＜0）的图象关于y轴对称，延长GF交x轴于M，设AB交y轴于N．
∴，NH=OM=，
∵点A、C在反比例函数y=的图象上，
∴A，C，
又∵，
∴AB CH=1，
∵AB=3，
∴CH=，
∵点A、C纵坐标的差是CH，
即，
解得k=，
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数的图象和性质是解决问题的前提．
7．B
【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，用反比例函数比例系数k的代数式分别表示的面积，利用求解即可．
【详解】解：如图设与y轴交于点C，
由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，，
∵，
∴，
∴
故选：B．
8．C
【分析】此题主要考查了反比例函数中比例系数的几何意义，根据比例系数几何意义得，则，即有，从而求解，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键．
【详解】解：∵是函数的图象上两点，
∴根据比例系数几何意义得：，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9．A
【分析】把各点分别代入反比例函数，求出，，的值，再比较出其大小即可．
【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上，，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
10．A
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义进行解答即可．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
故选：A．
11．C
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限，
∴，，，
当时，由图象可得，
∴，
∴，
故选：．
12．B
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．
直接根据矩形的顶点A在反比例函数的图象上作答即可．
【详解】解：∵矩形的顶点A在反比例函数的图象上，
∴矩形的面积等于6
故选：B．
13．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可确定的符号．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和图象与的关系，先根据题意判断出函数的图象所在的象限是解题的关键．
【详解】解：，，
点，和点，在第二象限，
．
故答案为：．
14．
【分析】过点A作x轴的垂线与x轴交于点C，证明，推出，由此即可求得答案．
【详解】解：设 ，如图，过点A作x轴的垂线与x轴交于点C，
则：，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在的图象上，
∴，
∴反比例函数表达式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线构造．
15．
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，即可得到结果．
【详解】解：如图，连接，
轴，
轴，
．
故答案为：．
16．三
【分析】由反比例函数的增减性可判断的符号，由此即可判断一次函数的图象所经过的象限．
【详解】∵反比例函数，当时，随增大而增大，
∴，
∴的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合．根据反比例函数的性质判断出其比例系数的符号是解题关键．
17．
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．
（1）根据反比例解析式可知图象在第一象限内，随的增大而减小，求出时函数值的最大值和最小值，即可得到答案；
（2）根据反比例解析式可知图象在第三象限内，随的增大而减小，求出时自变量的最大值和最小值，即可得到答案．
【详解】解：（1）反比例函数的图象在第一象限内，随的增大而减小，
在时取得最大值，在时取得最小值．
的取值范围是，
故答案为：；
（2）反比例函数的图象在第三象限内，随的增大而减小，
当时，；当时，，
自变量的取值范围是，
故答案为：．
18．(1)；
(2)
(3)或
【分析】作出反比例函数图象，如图所示，
（1）把代入反比例解析式求出y的值即可；
（2）分别求出与时y的值，结合图象确定出y的范围即可；
（3）分别求出与时x的值，结合图象确定出x的范围即可．
【详解】（1）解：作出反比例函数的图象，

把代入得：；
（2）解：当时，；当时，，
根据图象得：当时，y的取值范围为；
（3）解：当时，；当时，，
根据题意得：当且时，x的取值范围为或．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画反比例函数的图象，熟练掌握反函数的图象是解本题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）将点代入反比例函数解析式即可求出k值；
（2）由这个函数图象所在的每个象限内y的值随x的值增大而减小，可确定，进而可得k的取值范围．
【详解】（1）1）把点（k，—1）代入，得，
∴．
（2）∵在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，
∴
解得：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式以及图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
20．(1)过
(2)①；②当时，，当时，，当时，
【分析】（1）根据，把点代入反比例函数，即可；
（2）把点代入，得，根据，解出和的值，即可得到的表达式；
根据函数图象，即可比较，的大小．
【详解】（1）∵
∴把点代入反比例函数，得
∴经过点．
（2）∵的图象过点
∴把点代入，得
又∵
∴解得，
∴
∴的函数表达式为：
如图所示：
由函数图象得，当时，；当时，；当时，．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的知识，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数图象的性质，交点的综合问题．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键；
（1）由反比例函数的图象经过第一、三象限可得，再解不等式即可；
（2）由反比例函数的增减性可得，从而可得答案．
【详解】（1）解： 反比例函数的图象经过第一、三象限，
，解得，
的取值范围是．
（2），
，，
反比例函数的图象经过，两点，且，
，
解得，
∴的取值范围是．
22．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将代入，即可求解；
（2）根据函数图象，直接可得结论；
（3）根据函数图象，直接可得结论；
【详解】（1）解：当时，
（2）如图所示，当时，
（3）当，且时，或
【点睛】此题主要考查了画反比例函数图象，以及根据图象解不等式，关键是正确画出图象，能从图象中得到正确信息．
23．(1)见解析
(2)时，当，y随x增大而增大，时，y随x增大而减小
【分析】本题主要考查用反比例函数的图象和性质研究新函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）求出函数值，填表后，利用描点法画出函数图象即可；
（2）分两种情况时，时，分别写出函数的增减性，即可．
【详解】（1）解：当时：，
当时：，
当时：，
当时，
填表如下：
x … 1 2 3 6 …
y … 1 2 3 6 6 3 2 1 …
∴函数的图象，如图所示：
（2）解：∵时，函数的图象是在第一，二象限的双曲线，且关于y轴对称，
∴时，当，y随x增大而增大，时，y随x增大而减小．
24．见解析
【分析】根据反比例函数的图像的两个分支是关于原点对称的中心对称图形，进而得解．
【详解】解：另一分支如图所示．
【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，中心对称等知识点，熟知反比例函数的图像的两个分支是关于原点对称的中心对称图形是解本题的关键．
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