6.3反比例函数的应用同步练习 北师大版数学九年级上册

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6.3反比例函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒内每立方米的含药量（毫克）与时间（分）成正比例；药物燃烧结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（ ）
A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小
B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米
C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克
D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟
2．在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（提示：）( )

A．5V B．10V C．15V D．20V
3．某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（　　）
A． B． C． D．
4．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．与的函数关系式是
B．当时，
C．当时，
D．当时，的取值范围是
5．如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、于E，F两点，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于（ ）
A．24 B．18 C．16 D．12
6．在经济学上，通常可以用反比例函数来描述商品需求量与价格之间的关系．假设市场上某商品的需求量D与价格P之间的关系可以用（k是常数）来表示，当该商品价格为50元时，需求量为100件．若该商品价格控制在的范围内，那么需求量D的范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正比例函数中，的值随的值的增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像可能是( )
A． B． C． D．
8．如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
9．已知圆柱的侧面积是，若圆柱底面半径为，高为，则关于的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．与的函数表达式是
C．当时，
D．当时，则
11．某列高铁从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系如图所示．若该高铁行驶完全程的时间是，则该高铁的平均速度为（ ）

A． B． C． D．
12．物理实验课上，某小组的同学通过移动滑动变阻器控制小灯泡电流的变化．如图是该小灯泡的电流与电阻的关系图象，该图象经过点，根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．与的函数关系式是 B．当时，
C．当时， D．当时，
二、填空题
13．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况．实验数据记录如下：

x/cm … 10 15 20 25 30 …
y/N … 30 20 15 12 10 …
则y与x之间的函数关系式为 ．
14．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是 ．
15．电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为10Ω，通电2s时间导线产生90J的热量，则电流I为 A．
16．某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流与可变电阻之间的函数关系如图所示，当某种使用这种蓄电池的用电器的安全电流最大为时，原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个 的电阻才可以保证电路安全（已知：串联电路的总电阻等于各电阻之和）．
17．如图，点P是反比例函数图像上一点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，交反比例函数的图像于C、D两点，的面积是，则k的值是 ．
三、解答题
18．如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数（天）是每天完成的工程量（米/天）的反比例函数，其图象经过点．
(1)求与的函数关系式．
(2)当每天完成米时，求该工程队完成工程所需的时间．
(3)若完成工程的天数小于天，则该工程队每天完成的工程量的取值范围是______．
19．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示
(1)写出这一函数表达式
(2)当气体体积为时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
20．如图，一次函数的图像交反比例函数图像于，两点．

(1)求m，n的值；
(2)请你根据图像直接写出不等式的解集．
(3)求的面积．
21．如图，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P在线段AB上，且，直接写出点P的坐标；
(3)设直线AB交y轴于点C，点是x轴正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图像于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，直接写出t的取值范围．
22．给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点在反比例函数上，若点绕着点旋转度后得到点，我们称是关于的“伴随点”．
(1)若的横坐标为，则点关于的“伴随点”的所表示的点是______；
(2)若的横坐标为，一次函数与该反比例函数的交点记为，则点关于的“伴随点”的所表示的点是______；
(3)若关于的“伴随点”为，由、和坐标原点构成的三角形为等腰直角三角形，且为直角边，求的值．
23．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：h）的函数关系如图所示．其中．
(1)求平均速度关于所用时间的函数表达式，并写出的取值范围．
(2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时24分至11时（含10时24分与11时）之间到达乙地，求客车平均速度的取值范围．
24．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于点，已知为线段的中点．
(1)求的值；
(2)若点是反比例函数的图象上一个动点，轴于点设四边形的面积为，探究随的变化情况．
《6.3反比例函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C C A B C A D
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获得所需信息是解题关键．根据图像可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小，即可判断选项A；利用待定系数法解得当时和时，关于的函数解析式，再将代入并求值，即可确定第12分钟时，教室内的含药量，即可判断选项B；将代入并求值，可知第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，即可判断选项C；若，分别求得和阶段的值，可求得教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间，即可判断选项D．
【详解】解：根据图像可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小，
故选项A正确，不符合题意；
当时，设直线解析式为，
将点代入，可得，解得，
所以此阶段关于的函数解析式为，
当时，设此阶段关于的函数解析式为，
将点代入，可得，解得，
所以此阶段关于的函数解析式为，
故当时，可有（毫克/立方米），
即第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米，故选项B正确，不符合题意；
当时，可有（毫克/立方米），
即第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，故选项C错误，符合题意；
当时，若，可得，解得（分钟），
当时，若，可得，解得（分钟），
则教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为分钟，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
2．B
【分析】将点带入即可得到答案．
【详解】解：将带入得，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数的解析式，将点的坐标带入到解析式中是解题的关键．
3．D
【分析】利用后期每个月付相同的数额，进而得到y与x的关系式．
【详解】由题意得：，
即，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
4．C
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案．
【详解】解：设与的函数关系式为：，
该图像经过点，
，
，
与的函数关系式是，故选项A不符合题意；
当时，，解得，故选项B不符合题意；
，随的增大而减小，
当时，，故选项C符合题意；
当时，的取值范围是，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
5．C
【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，一元二次方程的解法，如图，延长交轴于，求解反比例函数为：，证明，设正方形的边长为，可得，再解方程可得答案．熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键．
【详解】解：如图，延长交轴于，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数为：，
∴，
∴，
设正方形的边长为，，
∴，，
∴，
整理得，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴正方形的面积为．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，先求出反比例函数解析式，根据条件列出关于的不等式组，解出不等式组的解集即可．
【详解】解：当该商品价格为50元时，需求量为100件．
．
反比例函数解析式为，
当商品价格控制在的范围内时则有，
解得：，
故选：A．
7．B
【分析】首先由“中y随x的增大而增大”判定，然后根据k的符号来判断函数所在的象限．
【详解】解：∵函数中y随x的增大而增大，
∴，该函数图象经过第一、三象限；
∴函数的图象经过第一、三象限；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点：①反比例函数的图象是双曲线；②当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；③当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
8．C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先求出，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵函数和函数的图象相交于点，
，
，
，
由图象可得：若，则的取值范围是或，
故选：C．
9．A
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意有：；
故与之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义r、h应大于0，则其图象在第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查的是函数图象，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
10．D
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求反比例函数的表达式是解决问题的关键，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象逐个分析选项即可完成求解．
【详解】设反比例函数的解析式为，
把点坐标代入得：，解得：，
即函数解析式为：，故B不正确；
当时，即，解得：；故A不正确；
当时，，
由图象知，当时，，故C不正确；
当时，，当时，，
图象表明当时，则，故D正确；
故选：D．
11．B
【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键．由设再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把h代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案．
【详解】解：由题意设 ，
把代入得： ，
，
当h时，，
所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到，
故选B．
12．D
【分析】本题考查了反比例函数的应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象和性质，是解题的关键．
根据图象设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式，再根据函数的增性对各选项即可判断是否正确，进而得到答案．
【详解】解：A、设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，
故A不正确；
B、∵，
∴I随R增大而减小，
∴当时，，
故B不正确；
C、当时，，
故C不正确；
D、当时，，
故D正确．
故选：D．
13．
【分析】由表格中每对x与y的值的乘积相等，故知，猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，利用待定系数法求，将其余各点代入验证均适合即可．
【详解】解：由表格中每对x与y的值的乘积相等，故知，猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设，
把，代入得：，
∴，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的关系判断，与待定系数法求反比例函数解析式，掌握反比例函数中，是判断反比例函数的关键．
14．
【分析】过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．
【详解】解：如图，过作轴于，交于．
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
设，则，，
，在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．
15．/
【分析】根据题中所给公式可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意．
16．2
【分析】本题考查了反比例函数的应用，由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系，可先设出，代入已知点求解系数，再求解电流为时用电器的电阻，从而可得答案．
【详解】解：由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系，
设，代入，
∴，
∴解析式为；
当时，，
∴原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个的电阻才可以保证电路安全；
故答案为：2
17．
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，理解面积与k的关系是解题的关键；
设，可求，，根据的面积是，可得，结合，求出符合题意的k即可．
【详解】解：设，
则，
作轴，交反比例函数的图像于C，
，
，
作轴，交反比例函数的图像于D，
，
的面积是，
，
，
，
，
，或
，
．
18．(1)
(2)天
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量取值求函数值，解不等式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时的值即可；
（3）根据反比例函数图象即可求解．
【详解】（1）解：设，
点在其图象上，
，
，
与的函数关系式为；
（2）解：当时，，
答：该工程队完成工程所需的时间为天；
（3）解：根据反比例函数图象知：若完成工程的天数小于天，则，
故答案为：．
19．(1)
(2)气压是
(3)为了安全起见，气体的体积应不小于
【分析】（1）设，将点代入，得，进行计算即可得；
（2）当时，代入解析式即可求解；
（3）当时，代入解析式即可求解．
【详解】（1）解：设，
将点代入，得，
，
即这个函数的解析式为；
（2）解：当时，，
即当气体体积为时，气压是；
（3）解：当时，，
所以为了安全起见，气体的体积应不少于．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比函数的图像和性质．
20．(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象交点问题，待定系数法求解析式，根据交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键．
（1）将点代入反比例函数解析式求得，进而将代入反比例函数解析式求得；
（2）根据交点的横坐标，直接写出直线在双曲线上方的部分即可求解．
（3）根据（1）可得的坐标，进而待定系数法求解析式，再结合图象即可求解；
【详解】（1）解：∵一次函数的图像交反比例函数图像于，，
∴，
∴，
将代入，
得．
（2）解：∵，，
根据图像可得，不等式的解集为：或．
（3）解：将，代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为；
直线交x轴于D，
令，则，解得：，
∴．
∴的面积为．

21．(1)反比例函数的解析式为，一次函数解析式为
(2)点P的坐标为（，）
(3)t＞
【分析】（1）将点B，点A坐标代入反比例函数的解析式，可求a和k的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
（2）连接OA，OB，OP，求得OC的长，根据，，求得进而求得点P的坐标；
（3）先求出点C坐标，由面积关系可求解．
【详解】（1）∵反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，
∴，
∴，
∴点，
∴反比例函数的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）连接OA，OB，OP，
令代入，
解得，
∴一次函数与轴的交点C坐标为，
∴，
∵点P在线段AB上，
∴设点P为，
∵点A，点B，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为；
（3）∵直线AB交轴于点C，
∴点C，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．
22．(1)(0，-1)
(2)(5，2)或
(3)
【分析】（1）根据“伴随点”的定义可知，点为的中点，利用中点坐标公式可得答案；
（2）首先联立方程得，求出点的坐标，再利用中点坐标公式可得答案；
（3）分点在第三象限和第一象限，作于，利用∽，得，表示出点的坐标，从而得出答案．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，且的横坐标为，
，
点为的中点，
，
即，
故答案为：；
（2）解：的横坐标为，
，
当时，
解得或，
或，
当时，根据中点坐标公式得，
当时，根据中点坐标公式得，
故答案为：或；
（3）解：当点在第三象限时，如图，作于，
则，
，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
解得正值舍去，
∴；
当点在第一象限时，如图，
则，
，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
解得负值舍去，
∴
综上，由、和坐标原点构成的三角形为等腰直角三角形，且为直角边，．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，中点坐标公式，相似三角形的判定与性质等知识，理解定义，并利用相似三角形的性质表示出点的坐标是解题的关键．
23．(1)与的函数表达式为
(2)客车平均速度的范围为
【分析】本题主要考查了反比例函数性质的应用，熟练利用待定系数法求出反比例函数关系式是解决此题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）分别求出与时的值即可求解．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，将代入中，
∴，
解得：，
与的函数表达式为；
∵，
∴将和分别代入中，
得和，
∴，
与的函数表达式为；
（2）解：当时，(千米/小时)，
当时，(千米/小时)，
客车平均速度的范围为．
24．(1)
(2)随的增大而增大
【分析】（1）求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，进而求出点的坐标，待定系数法求出值即可；
（2）利用梯形的面积公式求出与的关系式，再进行分析即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，
当时，；当时，，
，．
为线段的中点，
，
反比例函数的图象过点，
；
（2）点是反比例函数的图象上一个动点，
设，
，
设，则，
随的增大而增大，
在中，，
时，随的增大而增大，
随的增大而增大．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，是解题的关键．
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