第三章概率的进一步认识同步练习（含解析）北师大版数学九年级上册

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第三章概率的进一步认识
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（ ）
A．若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大
B．小明获胜的概率是
C．小凡获胜的概率是
D．这个游戏是公平的
2．一个不透明的布袋里装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球（ ）
A．2个 B．8个 C．6个 D．4个
3．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下表．根据统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（ ）
身高
人数 60 260 550 130
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
4．明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（ ）
A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断
5．在一个不透明的布袋中装有白球和黑球共150个，它们除颜色外其他都相同．小红每次摸出1个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能是（ ）
A．24 B．36 C．40 D．90
6．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1000
射中九环以上次数 18 68 86 168 332 831
射中九环以上频率（保留两位小数）
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　）
A． B． C． D．
7．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和不小于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．某同学将分别印有“美”“丽”“东”“湖”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中一次性随机抽取两张，则抽取的两张卡片刚好能组成“东湖”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．在“石头、剪子、布”的游戏中，当你出“石头”时，对手与你打平的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，随机闭合开关中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（　　）

A． B． C． D．
11．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在右图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在黑色方格中的概率是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
13．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒．
14．甲、乙两所医院分别派出一男一女共4名医护人员外出学习，若从4名医护人员中随机选2名，则这2名医护人员来自同一所医院的概率是 ．
15．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是 ．
16．4张相同的卡片上分别写有数字0，，，2022，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来，再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来，则两次抽取的卡片上的数字之积是0的概率为 ．
17．在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在左右，那么摸出黑球的概率约为
三、解答题
18．某校利用“阳光体育大课间”对学校足球队全员进行定点射门训练，每人踢五次，训练结束后，把结果制成了如图1，2所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
(1)学校足球队总人数______人，“进球3次”所在扇形的圆心角是______；
(2)请补充完整折线统计图；
(3)在此次定点射门训练中进球5次的队员中有1名女生．学校想从进球5次的队员中选2人参加比赛，请通过列表或画树形图的方法求参加比赛的队员是一男一女的概率．
19．在一个不透明的盒子里装有大小、形状一样的黑、白两种球共40个，小颖与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的摸球结果，记录的数据如下表所示：
试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599
摸到白球的频率
(1)把表中的数据补充完整（精确到），并根据统计表画出折线统计图；
(2)估计任意摸出一个球是白球的频率是____________（精确到）．
20．林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
移植的棵数 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000
成活的棵数 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430
成活的频率 （精确到）
(1)________，________；
(2)估计该种幼树在此条件下移植成活的概率的估计值是多少？（精确到）
(3)若要成活26400棵树苗，需要移植多少棵树苗？
21．有A、B两个口袋，A口袋中装有两个分别标有数字2，3的小球；B口袋中装有三个分别标有数字，4，的小球．小明先从A口袋中随机取出一个小球，用m表示所取球上的数字，再从B口袋中随机取出两个小球，用n表示所取球上的数字之和．
(1)用画树状图法或列表法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果；
(2)求的值是整数的概率．
22．在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色不放回搅匀，下表是试验得到的一组数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800
摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200
摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 0.25
(1)估算口袋中白球的个数为______．
(2)用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率．
23．如图，在三个正方形的中心各有一个可以自由转动的指针，请回答下列问题：

(1)在图①中，随机地转动指针，指针指向直角三角形的概率是多大？
(2)有人说，图①中的直角三角形比图②中的直角三角形大，所以转动图①的指针使之指向直角三角形的概率，要比转动图②中的指针使之指向直角三角形的概率大．请判断这种说法是否正确，并说明理由．
(3)如果将对角线分正方形所成的四个直角三角形中的三个涂黑，如图③，有人说，在图③中，指针不是指向黑色就是指向白色，所以指向白色三角形的概率为．请判断这种说法是否正确，并说明理由．
24．南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
(1)甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______；
(2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
《第三章概率的进一步认识》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C D A D A B C
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本题考查画树状图求概率．根据题意画出树状图，再分别求出概率逐一对选项进行分析即可．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中：
小明获胜概率：，
小颖获胜概率：，
小凡获胜概率：即，
这个游戏不公平，故选项C说法正确，符合题意，
故选：C．
2．B
【分析】设红球有x个，根据多次试验频率稳定在概率附近得，再求出解即可．
【详解】解：设红球有x个，根据题意，得
，
解得．
估计袋中约有红球8个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，掌握多次试验的频率可估计概率是解题的关键．
3．C
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【详解】解：估计他的身高不低于170cm的概率是，
故选：C．
【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
4．C
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图可得：
由数轴图可得，共有种等可能出现的结果，其中四面体与地面接触的数字之和为奇数的情况有种，和为偶数的情况有，
∴明明胜的概率为，亮亮胜的概率为，
∵，
∴对亮亮有利，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到黑球的频率稳定在0.6左右，得到摸到黑球的概率为0.6，再利用概率求数量即可．
【详解】解：∵根据摸到黑球的频率稳定在0.6左右，
∴摸到黑球的概率为0.6，
∴布袋中黑球的个数可能是（个）；
故选D．
6．A
【分析】根据大量的试验结果稳定在左右即可得出结论．
【详解】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近，
这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
7．D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：画树状图如图所示：
共有20种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和不小于5的有种结果，
两次摸出的小球的标号之和不小于5的概率为；
故选：D．
8．A
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：把““美”、“丽”、“东”、“湖”分别记为、、、，
列表得：
共有12种等可能出现的结果，其中抽取的两张卡片刚好能组成“东湖”的情况有2种，
抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“朤”的概率为，
故选：A．
9．B
【分析】运用列举法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的公式即可求解．
【详解】解：用列举法把所有等可能结果表示出来为，对手可能出现的结果有：石头，剪刀，布种等可能结果，平手的结果是，
∴当你出“石头”时，对手与你打平的概率为，
故选：．
【点睛】本题主要考查概率的计算，理解并掌握概率的计算方法是解题的关键．
10．C
【分析】画树状图找出随机闭合开关中的两个的情况数以及能让两盏灯泡同时发光的情况数，即可求出所求概率．
【详解】解：画树状图，如图所示：

一共有6种等可能的情况，其中能让两盏灯泡同时发光的情况有2种，
则P（能让两盏灯泡同时发光）．
故选：C．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键．
11．C
【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，
共六种可能，
只有是“平稳数”
∴恰好是“平稳数”的概率为
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
12．C
【分析】确定黑色方格的面积在整个方格中占的比例，根据这个比例即可求出小鸟停在黑色方格中的概率．
【详解】解：图上共有个方格，黑色方格为个，
小鸟最终停在黑色方格上的概率是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了几何概率，用到的知识点为概率相应的面积与总面积之比，掌握几何概率的公式是解决问题的关键．
13．120
【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键．
由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答．
【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为，
所以瓶子中豆子的总数为粒．
故答案为：120．
14．
【分析】本题考查了列表法与树状图法画树状图（a、b表示甲医院的男女医护人员，c、d表示乙医院的男女医护人员）展示所有12种等可能的结果数，找出这两名医护人员来自同一所医院的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：画树状图为：（a、b表示甲医院的男女医护人员，c、d表示乙医院的男女医护人员），
共有12个等可能的结果数，其中这两名医护人员来自同一所医院的结果数为4个，
所以这两名医护人员来自同一所医院的概率，
故答案为：．
15．
【分析】本是考查的是简单事件的概率问题，掌握概率的计算方法是解决此类问题的关键．白色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在白色区域的概率．
【详解】解：指针落在白色区域内的概率，
故答案为：．
16．/0.5
【分析】根据题意，列出表格，数出所有的结果个数和乘积为0的情况个数，用概率公式进行计算即可．
【详解】解：列表如下：
0 2022
0 0 0 0
0
0
2022 0
由表知，共有12种等可能结果，其中两次抽取的卡片上的数字之积是0的有6种等可能结果，
所以两次抽取的卡片上的数字之积是0的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，熟练掌握用列表格或画树状图的方法求概率是解题的关键．
17．
【分析】根据大量重复试验频率等于概率及概率之和等于1直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在左右，
∴，
故答案为；
【点睛】本题主要考查大量重复试验频率等于概率及概率之和等于1．
18．(1)40，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查折线统计图、扇形统计图，利用列表法或画树状图法求概率，难度不大，能够找出折线统计图与扇形统计图的关联信息是解题的关键．
（1）用“进球4次”的人数除以所占百分比可得总人数，“进球3次”人数与总人数之比乘以360度可得对应的圆心角的度数；
（2）求出“进球5次”的人数，即可补全折线统计图；
（3）利用列表法求出所有等可能的情况，再利用概率公式求解．
【详解】（1）解：由题意可得，学校足球队总人数为（人），
“进球3次”所在扇形的圆心角是，
故答案为：40，；
（2）解：由题意可得，“进球5次”的人数为：（人），
补全统计图如图；
（3）解：进球5次的人数有3人，其中女队员有1人，所以男队员有2人．列表如下：
男1 男2 女
男1 （男2，男1） （女，男1）
男2 （男1，男2） （女，男2）
女 （男1，女） （男2，女）
由表可知，选2人参加比赛的所有结果一共有6种，并且每种结果出现的可能性相等，
其中参加比赛的队员是一男一女的结果有：（女，男1），（女，男2），（男1，女），（男2，女），共4种．
．
19．(1)填报见解析；折线统计图见解析
(2)
【分析】本题主要考查了求概率，画折线统计图，解题的关键是理解频率定义．
（1）根据表格中的数据求出频率，然后描点画出折线统计图即可；
（2）根据折线统计图进行解答即可．
【详解】（1）解：，，；；；
，，；，，
试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599
摸到白球的频率
（2）解：根据折线统计图，估计任意摸出一个球是白球的频率是．
20．(1)
(2)
(3)30000
【分析】（1）根据成活的频率成活的棵树移植的棵树进行求解即可；
（2）根据概率是大量反复试验下频率的稳定值进行求解即可；
（3）用成活的树苗数除以成活的概率即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
这种幼树移植成活率的概率约为；
（3）解：（棵）
答：若要成活26400棵树苗，需要移植30000棵树苗．
【点睛】本题主要考查了频率的计算，用频率估计概率，已知概率求数量等等，熟知概率是大量反复试验下频率的稳定值是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）采用树状图法列出所有结果．要注意不重不漏的表示出所有可能情况．列举出符合题意的各种情况的个数，
（2）根据概率公式解答即可．
【详解】（1）解：用树状图表示取出的三个小球上的数字所有可能结果如下：
∴共有12种等可能的情况．
（2）解：由树状图可知，所有可能的值分别为，，，，，，1，，1，，，，共有12种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中的值是整数的情况有6种，
∴的值是整数的概率．
22．(1)口袋中白球的个数为3个
(2)
【分析】（1）先利用表格中数据估算出得到白球的频率，然后再求白球的个数即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：由表格中数据可得到，摸到黑球的频率稳定在0.25，
故1÷0.25﹣1＝3（个）．
答：口袋中白球的个数为3个．
（2）解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，
∴两次都摸到白球的概率为：．
【点睛】本题主要考查了频率与概率、树状图法与列表法求概率等知识点，解题关键在于掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
23．(1)
(2)不正确，见解析
(3)不正确，见解析
【分析】（1）图①中四个三角形的面积相等，再结合几何概率进行计算即可；
（2）图①和图②中，和所占的比例式相等的，据此即可得出答案；
（3）根据图形分别求出白色部分和黑色部分分别占整个图形的几分之几，进而求得结果．
【详解】（1）解：由正方形的性质可得，四个小三角形的面积是相等的，因此指针指向每一个三角形的概率都是一样的，
在题图①中，随机转动指针，指针指向直角的概率为；
（2）解：不正确，
理由如图：
由正方形的性质可得，四个小三角形的面积是相等的，因此指针指向每一个三角形的概率都是一样的，
在题图②中，指针指向直角的概率为，与题图①中的概率一样；
（3）解：不正确，
理由如下：
在题图③中，由于白色部分、黑色部分分别占正方形的，，
指针指向这两部分的概率分别是，．
【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的求法是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率．
（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．
【详解】（1）解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口，
∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果，
∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为．
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