4.1 圆的标准方程 学案（含部分答案）

4.1.1圆的标准方程
一、考纲要求
1.学习目标
知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方
程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
2.学习重点、难点：
学习重点:
圆的标准方程
学习难点:
会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
二、自主学习
阅读教材P118-120完成下面问题并填空
知识点一：圆的标准方程
【提出问题】
“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩
( http: / / www.21cnjy.com )天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑。该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，比位于英国泰晤士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高。
问题1:
游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？
问题2:
若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点的坐标满足什么关系？
问题3:以为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标满足什麽关系？
【导入新知】
圆的标准方程
⑴圆的定义：平面内到
的距离等于
的点的集合叫做圆，定点称
为圆心，定长称为圆的半径。
⑵确定圆的要素是
和
，
⑶圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是
。
当时，方程为，表示以
为圆心、半径为的圆。
知识点二、点与圆的位置关系
【提出问题】
爱好运动的小华，小强，小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定
谁的飞镖离靶心越近，谁获胜，回答下列问题：
问题1：点与圆的位置关系有几种？
问题2：如何判断他们的胜负？
【导入新知】
点与圆的位置关系
圆的标准方程为，圆心，半径为。设所给点为则
位置关系
几何法
代数法
点在圆上
点在圆上
点在圆上
点在圆内
点在圆内
点在圆内
点在圆外
点在圆外
点在圆外
三、考点突破
例1
过点，且圆心在直线上的圆的方程是（
）
A.
B.
C.
D.
变式训练
1、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)
(x-1)2
+
y2
=
6
(2)
(x+1)2+(y-2)2=
9
(3)
2、写出下列各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3；
(2)
圆心在C(3,4)，半径是
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
例2：已知两点
⑴求以为直径的圆的方程；
⑵试判断点是在圆上、在圆内、还是圆外.
变式训练
3．点在圆的内部，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
例3
已知某圆圆心在轴上，半径长为5，且截轴所得线段长为8，求该圆的标准方程。
变式训练
4.圆心在直线上的圆与轴交于两点，求圆的标准方程？
四、考点巩固
1.圆的圆心坐标是（
）
A.
B.
C.
D.
2.点与圆的位置关系是（
）
A.
在圆外
B.
在圆内
C.在圆上
D.
不确定
3.圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程为（
）
A.
B.
C.
D.
4.当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（
）
A.
B.
C.
D.
5.若点在圆上，则实数
。
6.经过原点，圆心在轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是
。
7.求以为顶点的三角形的外接圆的方程。
8.求经过两点且圆心在轴上的圆的方程。
4.1.2圆的一般方程
一、考纲要求
1、学习目标:
知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础
( http: / / www.21cnjy.com )上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度与价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生勇于创新，勇于探索。
2.学习重点、难点：
学习重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程
( http: / / www.21cnjy.com )与标准方程间的互化，根据已知条件确定
方程中的系数D、E、F．
学习难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
二、自主学习
阅读教材P121-123完成下面问题并填空
【提出问题】
已知圆心，半径为2
问题1：写出圆的标准方程。
问题2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？
问题3：方程是否表示圆？
问题4：方程一定表示圆吗？
【导入新知】
⑴圆的一般方程的概念：
当
时，二元二次方程叫做圆的一般方程。
⑵圆的一般方程对应的圆心和坐标：
圆的一般方程表示的圆的圆心为
，
半径长为
。
三、考点突破
例1：若方程表示圆，求
⑴实数的取值范围；
⑵圆心坐标和半径。
变式训练
下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径。
⑴
⑵
⑶
例2
已知的三个顶点为，求的外接圆方程，外心坐标和外接圆半径。
变式训练
2.求经过点且与直线相切于点的圆的方程。
例3：已知的边长为4，若边上的中线为定长3，求顶点的轨迹方程。
变式训练
3.过点的直线与圆交于点，求中点的轨迹方程。
四．考点巩固
1.圆的圆心坐标是（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知方程表示圆，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
3.方程表示圆心为，半径为2的圆，则
，
，
。
4.设为圆上的动点，是圆的切线且，则点的轨迹方程是
。
5.如果圆与轴相切于原点，那么（
）
A.
B.
C.
D.
6.求过点，且圆心与已知圆的圆心相同的圆的方程。
7.已知方程表示的图形是圆。
⑴求的取值范围；
⑵求其中面积最大的圆的方程；
⑶若点恒在所给圆内，求的取值范围。
8.已知圆的方程为，求经过点的圆的弦的中点的轨迹.
4．1.1圆的标准方程
自主学习
知识点1
问题1：提示：一样，圆上的点到圆心的距离都是相等的，都是圆的半径。
问题2：提示:
问题3：提示:
导入新知
定点
定长
（2）圆心
半径
（3）
原点
知识点2
问题1：提示：三种，点在圆外、圆上、圆内。
问题2：提示:利用点与圆心的距离。
三、考点突破
例1
C
变式训练
1．（1）（2）（3）
2.（1）（2）（3）
例2
（1）（2）点在圆上，点在圆外，点在圆内。
变式训练
3A
例3
圆的方程为
变式训练
4.
四、考点巩固
1C
2A
3
A
4
C
5.
6.
7.
8.
4.1.2圆的一般方程
二、自主学习
问题1：提示：
问题2：提示：可以，。
问题3：提示：配方化为，不表示圆。
问题4：提示：不一定。
导入新知
（1）（2）（3）
三、考点突破
例1
（1）
（2）圆心坐标为，半径
变式训练
1（1）不表示任何图形，（2）表示点，（3）表示圆，圆心为
，半径
例2
外心坐标为，半径
变式训练
2.
例3
轨迹方程为
变式训练
3．
四、考点巩固
1D.
2A.
3.
4.
5B.
6.
7.
(1)
(2)
(3)
8.点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.