课件18张PPT。4.4.1圆的标准方程 问题：什么叫做圆？ 根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b)，
半径是r的圆的方程? 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.圆的定义 圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程.xyOCM(x,y)设点M (x,y)为圆C上任一点，|MC|= r则P = { M | |MC| = r }圆上所有点的集合(x-a)2+(y-b)2=r2三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.xyOCM(x,y)圆心C(a,b),半径r特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：标准方程
1 (口答) 、求圆的圆心及半径(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1练习
例1 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的
方程,并判断点M1(5,-7),M2(- ,-1)是否在这个
圆上.AxyO解: 所求的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25若点到圆心的距离为d，
d>r时，点在圆外；
d=r时，点在圆上；
d待定系数法解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为 例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),
B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点xyOCA(1,1)B(2,-2)弦AB的垂直平分线例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. 4、求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆.
圆心：已知半径：圆心到切线的距离解：设所求圆的半径为r则：=∴所求圆的方程为：yxOM练习小结圆心C(a,b),半径rxyOCABC1.圆的标准方程2.圆心①两条直线的交点
（弦的垂直平分线）②直径的中点3.半径①圆心到圆上一点②圆心到切线的距离 1)当经过点 的切线的斜率存在时，设所求切线方程为即由得此时切线方程为： 2) 当过点 的切线斜率不存在时，综上所述，所求切线方程为： 或解:结合图形可知 也是切线方程．课堂小结1、圆的标准方程：回顾：求过定点的切线方程的基本方法：
（1）点在圆上 —— 一解；
（2）点不在圆上 —— 两解
特别注意斜率不存在的直线,不要漏解1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
2、从圆x2+y2=9外一点P(3,2)向该圆引切线，求切线方程。 x=3和5x+12y-39=0例2．已知圆的方程是 ，求经过圆上一点
的切线的方程．解：设切线的斜率为 ,半径 的斜率为由题意： 经过点M的切线方程是即又所求切线方程为即 当M在坐标轴上时，切线方程为：可以看出上面方程同样适用。．或 设 是切线上的任意一点，根据勾股定理，得所以由于把方程整理可得解法二即设 是切线上的任意一点，则 即所求切线方程为解法三1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
2、从圆x2+y2=9外一点P(3,2)向该圆引切线，求切线方程。 课后思考题：x=3和5x+12y-39=0回顾：求过定点的切线方程的基本方法：
（1）点在圆上 —— 一解；
（2）点不在圆上 —— 两解
特别注意斜率不存在的直线,不要漏解课件27张PPT。圆心 (2, －4) ，半径 求圆心和半径 ⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2圆心 (1, 1) ，半径3圆心 (－1, －2) ，半径|m|
例1 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的
方程,并判断点M1(5,-7),M2(- ,-1)是否在这个
圆上.AxyO解: 所求的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25若点到圆心的距离为d，
d>r时，点在圆外；
d=r时，点在圆上；
d待定系数法解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点xyOCA(1,1)B(2,-2)弦AB的垂直平分线例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. 4、求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆.
圆心：已知半径：圆心到切线的距离解：设所求圆的半径为r则：=∴所求圆的方程为：yxOM练习小结圆心C(a,b),半径rxyOCABC1.圆的标准方程2.圆心①两条直线的交点
（弦的垂直平分线）②直径的中点3.半径①圆心到圆上一点②圆心到切线的距离已知圆的 ，求（1）过点 的切线方程；（2）过点 的切线方程．课堂反思 1)当经过点 的切线的斜率存在时，设所求切线方程为即由得此时切线方程为： 2) 当过点 的切线斜率不存在时，综上所述，所求切线方程为： 或解:结合图形可知 也是切线方程．课堂小结1、圆的标准方程：回顾：求过定点的切线方程的基本方法：
（1）点在圆上 —— 一解；
（2）点不在圆上 —— 两解
特别注意斜率不存在的直线,不要漏解圆的一般式方程 圆的标准方程的形式是怎样的？其中圆心的坐标和半径各是什么？一、复习回顾:二、数学建构:[讨论]：此方程是否表示圆呢？证明:于是,[定义] : 圆的一般方程思
考什么时候可以表示圆?[观察]：圆的标准方程与圆的一般 方程在形式上的异同点.圆的标准方程
圆的一般方程
[说明]：
(1)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径 ；
(2)圆的一般方程突出了方程形式上的特点.[练习一]：下列方程各表示什么图形?三、数学应用:练习二：4-6-32或-2(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:一般方程标准方程[小结一]:(1).若已知条件涉及圆心和半径,我们一般
采用圆的标准方程较简单.[探究]：
圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较例1：解：故所求圆的方程为:
解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为例2：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程(2) .若已知三点求圆的方程,我们常采用
圆的一 般方程用待定系数法求解 [探究]：圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较注意:求圆的方程时,要学会根据题目
条件,恰当选择圆的方程形式:①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用
圆的标准方程较简单.②若已知三点求圆的方程,我们常常采用
圆的一般方程用待定系数法求解. [小结二]:(特殊情况时,可借助图象求解更简单)例题1. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射，
其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，
求反射光线所在直线的方程.
?B(-3，-3)思考题：解1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
2、从圆x2+y2=9外一点P(3,2)向该圆引切线，求切线方程。 x=3和5x+12y-39=0课件10张PPT。4.1.2 圆的一般方程4.1 圆的方程 第四章 圆与方程复习圆的标准方程3.圆的标准方程的两个基本要素:
是 和 .1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.
其中圆心坐标为C(a,b),半径为r.2.当圆心在坐标原点上,这时a=b=0,
那么圆的方程为x2+y2=r2.圆的一般方程研究圆的标准方程将圆的标准方程展开,化简,整理,可得
x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0,取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,可写成:x2+y2+Dx+Ey+F=0.也就是说: 任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 圆的一般方程(x-a)2+(y-b)2=r2研究二元二次方程表示的图形 再将上述方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①左边运用配方法, 得(x+ )2+(y+ )2= ②显然②是不是圆方程与
是什么样的数
密切相关 (1)当D2+E2-4F＞0时,②式可化为(x+ )2+(y+ )2=( )2 方程表示以(- ,- )为圆心、以 为半径的圆.(2)当D2+E2-4F=0时,②式可化为(x+ )2+(y+ )2=0 方程只有实数解x=- ,y=- ,表示一个点(- ,- ). (3)当D2+E2-4F＜0时,②式可化为(x+ )2+(y+ )2＜0 方程没有实数解,因而它不表示任何图形曲线. 圆的一般方程得结论、给定义方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹. 我们把D2+E2-4F＞0时x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆的方程称为圆的一般方程. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0突出了形式上的特点:(1)x2和y2的系数相同,且不等于0
(2)没有xy这样的二次项. 以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
表示圆的 条件. 必要不充分条件明确指出了圆心和半径圆的一般方程例题分析例1.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求
出这个圆的圆心坐标和半径. 分析:圆的一般方程需确定三个系数,用待定系数法. 解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为O、M1、M2
三点在圆上,所以它们的坐标是方程的解,
∴ 解此方程组,可得:D=-8,E=6,F=0.
∴所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0. 将此方程左边配方得圆的标准方程(x-4)2+(y+3)2=52,
于是圆心坐标(4,-3),半径为r=5. 方法:待定系数法
和配方法圆的一般方程例题分析圆的一般方程例2.经过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆
C于A、B两点,求线段AB的中点P的轨迹. 解:圆C的方程可化为(x-3)2+(y-2)2=4,其圆心为C(3,2),
半径为2.设P(x,y)是轨迹上任意一点.∵CP⊥MP
∴kCP?kMP=-1,即 =-1.
化简得x2+y2+3x-2y-18=0,
点C在曲线上,并且曲线为圆C内部的一段圆弧. 1.补充练习:课堂练习注意:圆(x-a)2+(y-b)2=m2的半径是|m|.圆的一般方程(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2,3)
为圆心,4为半径的圆.求D、E、F的值(2)求经过三点A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2)的圆
的方程.课时小结 通过本节学习,首先要掌握圆的一般方程,能进行圆的一般方程与圆的标准方程的互化. 其次,还应该根据已知条件与圆的两种形式的方程的不同特点灵活选取恰当的方程,再利用待定系数法和配方法求解. 若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程;
若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.圆的一般方程
