空间几何体的三视图
预
习
案
要点1 投影
(1)中心投影：光由一点向外散射
叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点．
(2)平行投影：在一束
照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投影线是平行的．
要点2 三视图的概念
“视图”是将物体按
向投
( http: / / www.21cnjy.com )影面投射时所得到的投影图．光线自物体的
向
投影所得的投影图称为“正视图”，自
向
投影所得的投影图称为“侧视图”，自
向
投影所得的投影图称为“俯视图”．用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为“三视图”．
要点3 柱、锥、台、球的三视图
(1)圆柱的正视图和侧视图都是
，俯视图为
；
(2)圆锥的正视图和侧视图都是
，俯视图是
；
(3)圆台的正视图和侧视图都是
，俯视图是
；
(4)球的三视图都是
探究案
例1 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________．
①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；
②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；
③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．
探究1 (1)平行投影的性质
当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有如下性质：
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；
②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；
③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
(2)正投影除具有平行投影的性质外，还有如下性质：
①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点．
②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．
思考题1 如图①所示，E、F分别为正方体的面ADD′A′，面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图②的________．
例2 (1)画出如图所示正四棱锥的三视图．
(2)画出如图所示棱柱的三视图．
探究2 (1)在画三视图时，要想象几何体的后面、右面、下面有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、右面、上面照下，我们画的是影子的轮廓，再一条一条验证几何体的轮廓线，看到的画实线，看不到的画虚线．
(2)三视图的画法关键是要分清观察者的方向，应从正面、侧面、上面三个方向去观察图形，然后画出三视图．画图时要保证“长对正，高平齐，宽相等”．
思考题2（1）下图中是两个相同的正方体，阴影面选为正面，正方体棱长为1，分别画出它们的三视图．
（2）画出几何体的三视图．
例3 如图所示是三个立体图形的三视图，请说出立体图形的名称．
探究4 (1)根据三视图还原几何体，要仔细
( http: / / www.21cnjy.com )分析和认真观察三视图并进行充分的想象，然后综合三视图的形状，从不同的角度去还原．看图和想图是两个重要的步骤，“想”于“看”中，形体分析的看图方法是解决此类问题的常用方法．
(2)通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．
思考题3 根据下列图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．空间图形的直观图
预
习
案
要点1 空间图形的直观图
用来表示空间图形的
叫做空间图形的直观图．
要点2 斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相
( http: / / www.21cnjy.com )垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝
，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于
的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为
例1 如图中所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4
cm，CD＝2
cm，∠DAB＝30°，AD＝3
cm，试画出它的直观图．
探究1 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点．
原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．
思考题1 利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③矩形的直观图是矩形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是________．
画出底面边长为1.2
cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5
cm的四棱锥的直观图．
探究2 画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把点A、B、C、D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定．
思考题2 画棱长为2
cm的正方体的直观图．
例3 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为
A.a2 B.a2
C.a2
D.a2
( )
探究3
(1)由直观图恢复到平面图形的步骤与斜二测画法的步骤一样，注意角度的改变，平行性不变，长度的变化，关键是点的确定．
(2)S直观图＝S原图形·.
思考题3 正△ABC的边长为a，则其直观图△A′B′C′的面积为________．
例4 由下列几何体的三视图画出直观图．
1．用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点．因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法就可归结为确定点的位置的画法．
2．如果同一个空间图形摆放的位置不同，那么画出的三视图会有所不同，画出的直观图也会有所不同．
3．用斜二测画法画平面图形的直观图时，应牢记下列口决：
横不变，纵折半；
平行关系不改变；
九十度画一半．
