1.2 空间几何体的三视图和直观图 学案（含答案）

1.2空间几何体的三视图和直观图
1.2.1中心投影与平行投影
1.2.2空间几何体的三视图
【考纲要求】
[学习目标]
1．了解中心投影和平行投影．
2．能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图．
3．能识别三视图所表示的立体模型．
[目标解读]
1．会画简单空间图形的三视图是重点；
2．识别三视图所表示的立体模型是难点．
【自主学习】
1．投影
(1)投影的定义
由于光的照射，在
物体后面
( http: / / www.21cnjy.com )的屏幕上可以留下这个物体的
，这种现象叫做投影．其中，我们把
叫做投影线，把
的屏幕叫做投影面．
(2)投影的分类
①中心投影：光由
散射形成的投影．
②平行投影：在一束
照射下形成的投影．
当投影线
时，叫做正投影，否则叫做
．
(3)投影的性质
①中心投影的性质：中心投影的
交于一点；当光源距离物体越近，投影形成的影子
．
②平行投影的性质：平行投影的投影线
．
2．三视图
(1)分类
①正视图：光线从几何体的
向
正投影，得到的投影图；
②侧视图：光线从几何体的
向
正投影，得到的投影图；
③俯视图：光线从几何体的
向
正投影，得到的投影图．
(2)三视图的画法规则
①
视图都反映物体的长度——“长对正”；
②
视图都反映物体的高度——“高平齐”；
③
视图都反映物体的宽度——“宽相等”．
特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．
【考点突破】
要点一
平行投影与中心投影
中心投影与平行投影都是空间图形的基本画法，
( http: / / www.21cnjy.com )是投影的两种形式．通过中心投影与平行投影将三维物体转换成二维平面物体，可以通过投影想象实际物体的形状，但还不能完全反映真实情况，只能反映部分形状，只有在特殊情况下反映真实尺寸．
画立体几何图形时一般采用平行投影法，画实际
( http: / / www.21cnjy.com )效果图时采用中心投影法，中心投影的投影线交于一点，点光源离物体越近，投影形成的影子越大；平行投影的投影线是平行的．
典型例题1、在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________．
①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形
②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形
③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形
【思路启迪】　先根据平行投影的定义知投影线垂直于投影面，从而确定四边形BFD′E四点在各投影面的位置．再把各投影点连线成图．
【解析】　①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；
②设正方体的边长为2，则A
( http: / / www.21cnjy.com )E＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形．但AE＝1，D′E＝，故四边形AGD′E不是菱形．对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确．
方法指导：画出一个图形在一个投影面上的
( http: / / www.21cnjy.com )投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)，先画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在投影面上的投影．
反馈训练1、如图甲所示，在正方体A
( http: / / www.21cnjy.com )BCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的________．
要点二
画空间几何体的三视图
1.三视图是用两两相互垂直的三个平
( http: / / www.21cnjy.com )面(正面、侧面、水平面)作为投影面，把物体放在这个空间内，分别向三个平面进行正投影，然后将水平投影绕水平面和正面的交线向下转90°，将侧面投影绕侧面和正面的交线向右转90°，就得到了三视图，即画出的三视图需要符合长对正、高平齐、宽相等的基本特征．
2．画简单组合体的三视图时，先要分析该组合体
( http: / / www.21cnjy.com )的结构特征，再想象模型，从正前方、左方、正上方三个不同角度各能看到什么形状，再借助简单几何体的三视图，画出简单组合体的三视图．
典型例题2、画出下列几何体的三视图．
　　
【思路启迪】　先弄清几何体的结构特征，再确定三视图的形状，并注意轮廓线的虚实．
【解】　(1)三视图如图所示．
方法指导：(1)在画三视图时，务必做到正(视图)侧(视图)高平齐，正(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)侧(视图)宽相等．
(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．
反馈训练2、画出如下图所示的四棱锥的三视图．
要点三
识别三视图所表示的几何体
根据三视图还原几何体，要仔
( http: / / www.21cnjy.com )细分析和认真观察三视图并进行充分的想象，然后综合三视图的形状，从不同的角度去还原．通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定几何体的结构特征．
典型例题3、下图是一个几何体的三视图，请你想象这个几何体的形状，并画出这个几何体．
【思路启迪】　根据几何体的结构特征进行空间想象，再进行合理分析．
【解】　这是一个简单的组合体：上部是一个圆柱，下部是一个长方体，几何体如图所示：
方法指导：综合三视图的形状，从不同的角度去还原，看图和想图是两个重要的步骤，“想”于“看”中，形体分析的看图方法是解决此类问题的常用方法．
反馈训练3、如图是一个几何体的三视图，由图可以判断此几何体是________．
考点巩固
1．如果图形所在的平面不平行于投影线，那么下列说法正确的是(　　)
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．正方形的平行投影一定是矩形
D．正方形的平行投影一定是菱形
2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(　　)
①正方体　②圆锥　③三棱台　④正四棱锥
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
3．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)
4．给出下列命题：
①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；
②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．
其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．
5．如图所示，E、F分别
( http: / / www.21cnjy.com )为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的面上的投影可能是图中的________．
6．如图，直三棱柱的侧棱长和底边长均为2，正视图与俯视图如图，则该直三棱柱的侧视图面积为________．
7．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．
(1)判断该几何体是否为棱柱；
(2)画出它的三视图．
8．如图是用小正方体搭的一个几何体的正视图与俯视图，它最少需要多少个小正方体？最多需要多少个小正方体？
考点归纳-答案
1、解析：从平行投影的性质进行分析，平行投影只保持平行性，其他的如垂直、夹角等则不一定保持．
答案：B
2、解析：①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④正四棱锥，正视图和侧视图相同．
答案：D
3、解析：根据正投影的性质，并结合侧视
( http: / / www.21cnjy.com )图要求及如图所示，AB的正投影为A′B′，BC的正投影为B′C′，BD′的正投影为B′D′，综上可知侧视图为选项D.
答案：D
4、解析：①中三视图完全相同的还可以是
( http: / / www.21cnjy.com )球；②中如果将一个圆柱横放，则其正视图和俯视图都是矩形；④中正视图和侧视图都是等腰梯形的几何体还可以是棱台．故正确的是③.
答案：③
5、解析：四边形BFD′E在正方体
( http: / / www.21cnjy.com )ABCD－A′B′C′D′的面ADD′A′和BCC′B′上的射影是C；在面DCC′D′上的射影是B，同理，在面ABB′A′、面ABCD、面A′B′C′D′上的射影也全是B.
答案：BC
6、解析：该直三棱柱的侧视图是长为2，宽为的矩形，其面积为2.
答案：2
7、解：(1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．
(2)该几何体的三视图如图所示．
8、解：最少需要9个小正方体；最多需要15个小正方体．
1.2.3空间几何体的直观图
【考纲要求】
[学习目标]
1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．
2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．
3．通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系．
[目标解读]
1．斜二测画法的概念是重点；
2．应用斜二测画法画平面图形和立体图形的直观图是难点．
【自主学习】
1．直观图
空间几何体的直观图通常是在
投影下画出的空间图形．
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴
( http: / / www.21cnjy.com )和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们分别画成对应的x′轴与y′轴，其交点为O′，且使∠x′O′y′=
(或
)，它们确定的平面表示
．
3．立体图形直观图的画法
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面
x′O′y′垂直的轴O′z′，使∠x′O′z′=
，且平行于O′z′的线段长度
．
【考点突破】
要点一
水平放置的平面图形的直观图的画法
1.用斜二测画法画直观图要掌握：水平
( http: / / www.21cnjy.com )长不变，垂线长减半，直角化成45°，遮挡线条改虚线，竖线长也不变，也就是把握住一斜——已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中与x轴成45°或135°；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原长度的一半．
2．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
典型例题1、如图是由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图．
【解】　(1)以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图(1))，再建立坐标系
x′O′y′，使两轴的夹角为45°(如图(2))；
(2)以O′为中点，在x′轴上截取A′
( http: / / www.21cnjy.com )B′＝AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝AE，B′C′＝BC.在y′轴上截取O′D′＝OD.
(3)连接E′D′，E′C′，C′D′，得到平面图形A′B′C′D′E′.
(3)擦去辅助线，就得到所求的直观图(如图(3))．
方法指导：利用斜二测画法画直观图时应注意：
(1)在已知图形中x轴，y轴的选取，应尽可能多的使图形的点落在坐标轴上，有的点不满足时应作辅助线，与x轴，y轴垂直的线段是最常用的辅助线．
(2)垂直于x轴，y轴的线段在坐标系x′O′y′下的长度变化切勿混淆．
反馈训练1、用斜二测画法画边长为4
cm的水平放置的正三角形的直观图．
要点二
空间几何体的直观图的画法
几何体的直观图的画法规则，与平
( http: / / www.21cnjy.com )面图形的画法相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变．在直观图上，x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和平面z′O′x′表示直立平面．
画空间图形的直观图的原则：
1．首先在原几何体上建立空间直角坐标系O－xyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使
∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与x′轴垂直．
2．作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．
典型例题2、画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．
【思路启迪】　先画底面，即先按照水平放置的平面图形的直观图的画法画正六边形，再画侧棱，最后成图．
【解】　画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面．按x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F
( http: / / www.21cnjy.com )各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图)．
方法指导：(1)空间几何体直观图的画法规则
( http: / / www.21cnjy.com )与平面图形的画法相比，只是多画一个与x轴和y轴都垂直的z轴，表示竖直方向；平行于z轴或在z轴上的线段，方向与长度都与原来保持一致．
(2)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出来．
第一步：作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2cm，AD＝1cm.
第二步：过A作z′轴，使∠B
( http: / / www.21cnjy.com )Az′＝90°.分别过点B，C，D作z′轴的平行线，在z′轴及这组平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝2cm.
第三步：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，得到的图形就是所求正方体的直观图.
反馈训练2、画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。
要点三
将直观图还原为平面图形
给出直观图来研究原图形，逆向运用斜二测
( http: / / www.21cnjy.com )画法规则，要求我们具有逆向思维的能力．画法关键之处同样是关键点的确定，逆向的规则为“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于y′轴的线段与平行于x′轴的线段为垂直关系．
典型例题3、已知水平放置的平面图形的直观图是边长为1的正三角形ABC，求原图的面积．
【思路启迪】　根据斜二测画法的原则递推画出原三角形．
【解】　如下图①所示，作AD⊥BC于D，延长DB到E，使DE＝AD，连接AE，则∠AEC＝45°.
画E′C′＝EC，E′B′＝EB，B′D′＝BD.
过E′作E′A′⊥E′C′，使E′A′＝2EA，
连接A′C′，A′B′，则△A′B′C′就是原来的图形(如上图②所示)．
这里B′C′＝BC＝1，A′E′＝2AE＝2AD＝2×＝，
∴△A′B′C′的面积为S＝B′C′·A′E′＝×1×＝.
方法指导：把直观图还原为平面图形是画直观图的递推过程，解题时要正确运用斜二测画法，特别是对应边的长度应准确无误．
反馈训练3、水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB边上的中线的实际长度为________．
考点巩固
1．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形
以上结论中正确的是(　　)
A．①②　　　
B．①　　　
C．③④　　　
D．①②③④
2．如下图所示是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是(　　)
A．8　　　　B．16　　　　C．32　　　　D．64
3．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
4．如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．
5．在水平放置的平面M内有一边长为1的
( http: / / www.21cnjy.com )正方形A′B′C′D′，如图所示，其中对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，则真实图形的面积为________．
6．△ABC水平放置的直观图形如下图所示，O′A=O′B=O′C=2
cm，那么：
(1)△ABC的形状如何？
(2)△ABC的面积是多少？
7.如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积．
8．如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
考点巩固-答案
1、解析：斜二测画法保持平行性和相交性不
( http: / / www.21cnjy.com )变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错．
答案：A
2、解析：由图可知△AOB的底边长为4，高为16，所以面积为×4×16＝32.
答案：C
3、解析：如图①②所示的实际图形和直观图．
由图②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，
则C′D′＝O′C′＝a.
∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
答案：D
4、解析：直观图中，O′B′＝，原图形中OC＝AB＝＝3，OA＝BC＝1，∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.
答案：8
5、
解析：因为四边形A′B′C′D′是斜二测画法
( http: / / www.21cnjy.com )的直观图，且A′C′在水平位置，所以在真实图形中，D′A′所在边应该垂直A′C′所在边，B′C′所在边应该垂直A′C′所在边，如图所示．因为四边形水平放置，
A′B′C′D′为正方形，所以在四边
( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中DA⊥AC，又因为DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝，所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
答案：2
6、
解：将直观图还原为原图形如图所示：
(1)△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知，该△ABC为等腰三角形．
∴S△ABC＝×4×4＝8(cm2)．
7、解：设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.
C′B′＝CB，O′A′＝OA.
过C′作C′D⊥O′A′于D，则C′D＝h.
由题意知C′D′(C′B′＋O′A′)＝S，
即h(C′B′＋O′A′)＝S.
又原直角梯形面积为
S′＝·2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝＝2S.
所以梯形OABC的面积为2S.
8、解：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面，利用斜二测画法画出底面A
( http: / / www.21cnjy.com )BCD，在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.
(3)画正四棱锥顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连接PA′、PB′、PC′、PD′、A′A、B′B、C′C、D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图②所示．