江西省上饶市第四中学2025年九年级下学期中考模拟数学试卷(含答案)

江西省上饶市第四中学2025年5月九年级数学中考模拟卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． ， 0， 3，这四个数中， 最小的数是（ ）
A． B．0 C．3 D．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．对某中学2000名学生进行身高调查，随机抽取了200名学生，下列说法错误的是（ ）
A．总体是该中学2000名学生的身高 B．个体是每个学生
C．样本是所抽取的200名学生的身高 D．样本容量是200
4．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的二次函数（a为常数且），下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的对称轴为直线
B．函数图象必经过点和
C．当时，y随x的增大而增大
D．当时，函数图象与x轴无交点
6．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
8．DeepSeek全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，是一家创新型科技公司．数据显示，随着访问量急速上升，2025年2月1日DeepSeek成为史上最快突破3000万日活跃用户量的应用．数据3000万用科学记数法表示为 ．
9．若正n边形的中心角为，则 ．
10．若，是方程的两个实数根，则的值为 ．
11．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻标杆的影长 尺．
12．在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为，若线段绕点旋转后，得到点的对应点，且点在第一象限内，则点的坐标为 ．
三、解答题
13．（1）计算：；
（2）解方程．
14．如图，在平行四边形中，，分别是，的中点．求证：．
15．小明参加某个智力挑战赛节目，答对最后的两道单选题就可以顺利通关．第一道单选题有4个选项，第二道单选题有3个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人在其中一题的选项中去掉一个错误选项）
(1)如果小明第一道题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是______；
(2)若小明将“求助”留在第二道题使用，请用画树状图或列表方法求小明通关概率；
(3)从概率的角度分析，建议小明在第______道题使用“求助”．
16．如图，这是的方格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺，在给定的方格中按要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中的上作点，使得，
(2)在图2中的上作点，使得．
17．如图，已知直线l交x轴，y轴于A，B两点，动点在直线l上，且满足：．
(1)直接写出直线l的解析式为：　　；
(2)若反比例函数的图象与直线相交于C、D两点，连接，已知点C的横坐标为8，求的面积．
18．如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；
(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
19．近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（）逐渐走进人们的日常生活. 技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献.某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考.
【数据收集与整理】
研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分.从使用较好甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理.成绩均高于90分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：；B：；C：；D：；E：）
下面给出了部分信息：甲款软件20名使用者打分为：
92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100.
乙款软件20名使用者打分在B等级的数据是：97，97，98，98，98，98.
甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表
类型 平均数 众数 中位数
甲款软件 a
乙款软件 99 b
（1）上述表中_______；_______；
【数据分析与运用】
（2）下列结论一定正确的是_______.
①甲乙两款样本数据的中位数均在A组；
②得分96分以上的样本数据甲乙一样多；
③甲乙两款样本数据的满分一样多.
（3）根据甲、乙两款软件样本的特征数，试估计哪款软件更优，并说明理由.
20．如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
21．某学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高为1米.上午某时刻，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域的宽度为米.一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，阴影区域的宽度为米，点，，，，，，均在同一竖直平面内.（结果精确到米，参考数据：，，，，，）
(1)求点距离地面的高度；
(2)当太阳光线与地面夹角为时，若要使主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域宽度为米，点需在原高度的基础上向上或向下移动多少米？
22．课本再现
（1）如图1，在正方形中，是边上的动点，连接．过点作于点，且交于点，则与之间的数量关系是___________；
【数学模型】
（2）如图2，在正方形中，是边上的动点，连接．过点作于点，连接，当是以为底的等腰三角形时，求的长；
【模型迁移】
（3）如图3，在四边形中，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，求的值．
23．综合与实践
问题提出
如图，在中，，过点A作于点D，，点E从点B出发沿向点A运动，速度为1个单位长度/秒，点P从点D出发沿向点C运动，速度为2个单位长度/秒，过点E作，过点P作，点P在点E出发2秒后出发，当一动点到达终点时另一动点也停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积为S．
初步感知
（1）如图1，当时，解答下列问题：
（1）若，则S的值为________；
（2）S关于t的函数解析式为________．
（2）如图2，当时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图3所示的不完整的图象．请根据图象信息，解答下列问题：
①求图象最高点的坐标，并直接写出自变量t的取值范围；
②连接，若四边形是平行四边形，求S的值．
延伸探究
（3）当时，是否存在某一时刻t，使以点A，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
江西省上饶市第四中学2025年5月九年级数学中考模拟卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B B C D D
1．A
【详解】解： ．
∴ 最小的数是，
故选：A．
2．B
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，不是因式分解，故此选项错误，不符合题意；
D、，无法分解因式，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
3．B
【详解】解：A、总体是该中学2000名学生的身高，说法正确，此选项不符合题意；
B、个体是每个学生的身高，原说法错误，此选项符合题意；
C、样本是所抽取的200名学生的身高，说法正确，此选项不符合题意；
D、样本容量是200，说法正确，此选项不符合题意；
故选：B．
4．C
【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道，
，
，
故选：C ．
5．D
【详解】解：∵二次函数（，a为常数），
∴该函数的对称轴为直线，故选项A不符合题意；
∵当时，，当时，．
∴函数图象必经过点和，故选项B不符合题意；
∵a的正负不确定，
∴当时，y随x的增大如何变化无法确定，故选项C不符合题意；
∵当时，该函数图象开口向下，，
∴当时，函数图象与x轴无交点，故选项D符合题意．
故选：D．
6．D
【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，
根据题意，得，
∴，
解得： (负值舍去)，
∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：
，
∵将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，
∴，即：，
∴，即：．
故选：D．
7．
【详解】解：若代数式有意义，
则有，解得：．
故答案为：．
8．
【详解】解：3000万，
故答案为：．
9．15
【详解】解：∵正n边形的中心角为，
∴，
∴．
故答案为：15．
10．4
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
11．
【详解】解：根据题意得：尺，尺，，
∴，
∵，
∴，
∴尺．
即第二时刻标杆的影长15尺．
故答案为：15
12．或或
【详解】解：在中，当时，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得或，
∴或；
如图所示，过点作轴， 过点A、分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理可得，；

综上所述，点C的坐标为或或；
故答案为：或或．
13．（1）；（2），
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
解得，．
14．见解析
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵E、F分别是，中点，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
15．(1)
(2)
(3)二
【详解】（1）解：根据题意得：小明答对第一道题的概率是；
故答案为：；
（2）解：设第一题的四个选项是A，B，C，D，不妨设正确答案是C．
第二题三个选项是1，2，3，
正确答案是2．“求助”用在第二道题．
去掉一个错误答案1．列表如图1．

小明通关概率为；
（3）解：若“求助”用在第一道题．不妨设去掉一个错误答案A．列表如图2．

小明通关概率为；
∵，
∴建议小明“求助”用在第二道题．
故答案为：二．
16．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解∶如图，点D即为所求，
根据勾股定理得，，，，
∴，，，
∴是直角三角形，
∴；
（2）解∶如图，点E即为所求，
根据勾股定理得，，，，
∴，，，
∴是直角三角形，
∴．
17．(1)
(2)30
【详解】（1）解：∵动点在直线l上，且满足：，
∴直线的解析式为．
故答案为：；
（2）∵，
∴当时，，解得，
∴，
当时，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为．
令，解得，
∴，
∴
．
18．(1)，
(2)
【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，
∴，，，
∴；
（2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，
∴，
∴，
解得：；
19．（1），；（2）②；（3）甲款软件更优，理由见解析
【详解】解：（1）∵甲款打分中，100分出现了7次，次数最多，
∴甲款打分的众数为100分，即；
把乙款20个打分按照从高到低的顺序排列，中位数是第10名和第11名打分的平均数，
∵乙款打分中，A等级的人数为人，
B等级从大到小排序为：98，98，98，98，97，97
第10名和第11名的打分为98分，98分，
∴乙款打分的中位数为分，即．
（2）解：根据题意，得甲的中位数是，在A组；乙的中位数是，在B组；故①错误；
样本数据甲得分96分以上的人数为14人；样本数据乙得分96分以上的人数为人；故②正确；
样本数据甲得满分的人数为7人；而样本数据乙的众数为99分，故乙满分人数一定小于；故③错误．
（3）甲款软件更优，理由如下：
因为甲、乙两款软件的平均数相同，而甲款软件的众数和中位数都大于乙款软件的众数和中位数
∴甲款软件更优．
20．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
21．(1)米
(2)向下移动米
【详解】（1）解：过点作于点，交于点，
则四边形为矩形，米，
设的长度为米，
由题意得，在中，，，，
．
在中，，，，
．
米，米，
米，
米，
即．
解得：，
米．
答：点距离地面的高度约为米；
（2）解：由（1）知，
∴米，
∴米，
设改变后的长度为米，
同理，米，
∵为米，
∴，解得，
，
∴点需在原高度的基础上向下移动米．
22．（1）；（2）；（3）．
【详解】（1）解：，
∵正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：作于点，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，，
同（1）理，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
由勾股定理得，
解得，
∴，，
∵，即，
∴；
（3）解：过C作于N，交的延长线于点M，

∵，即，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
设，则，设，则，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得（舍去），
∴．
23．（1）①；②；（2）①最高点，；②；（3）存在，或或
【详解】解：（1）①当时，记交于点，过点E作于点M，如图：
由题意得，
∵，
∴，
∴，
∵， ，，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，
故答案为：，；
解：②，解析见①，
故答案为：；
（2）①当时，如图，过点E作于点M，记交于点，
此时
同上：
∴，
∴，
∵，
∴最高点为：；
②如图：
∵，
∴四边形是平行四边形时，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
当时，如图：
由题意得：，
解得：；
当时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
解得：
当时，如图，过点作于点K，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
综上：或或．