2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 120.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-08-03 13:57:56 | ||
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文档简介
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________
课前预习
·
预习案
温馨寄语
人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！——奥斯特洛夫斯基
学习目标
1．正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.
2．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释.
3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.
学习重点
1．根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释，估计总体的基本数字特征
2．体会样本数字特征具有随机性
学习难点
1．用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差
2．能应用相关知识解决简单的实际问题
自主学习
1．众数、中位数、平均数
(1)众数：在一组数据中，出现次数
的数据叫做这一组数据的众数.
(2)中位数：将一组数据按
依次排列，把处在
位置的一个数据(或两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：假设样本数据是x1，x2，，xn，表示这组数据的平均数，则=
2．方差、标准差
假设样本数据是x1，x2，x3，，xn，是平均数，则
(1)方差是s2=
.
(2)标准差为s=
.
预习评价
1．已知一组数据为20,30,40,50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是
A.平均数>中位数>众数
B.平均数<中位数<众数
C.中位数<众数<平均数
D.众数=中位数=平均数
2．一组样本数据按从小到大的顺序排列为12,15,20,x,23,28,30，50，其中，中位数为22，则x=
A.21
B.15
C.22
D.35
3．设x1=4，x2=5，x3=6，则该样本的标准差为
.
知识拓展
·
探究案
合作探究
1．众数、中位数、平均数的应用
通过频率分布直方图可以看出众数在哪个区域内？
( http: / / www.21cnjy.com )
2．众数、中位数、平均数的应用
如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
3．众数、中位数、平均数的应用
如何在样本数据的频率分布直方图中估计出平均数的值？
4．标准差与方差
标准差，方差的取值范围是什么？标准差、方差为0的样本数据有什么特点？
5．标准差与方差
标准差的大小对数据的离散程度有何影响？
教师点拨
1．对众数、中位数、平均数的三点说明
(1)众数通常用来表示样本数据的最大集中点，容易计算.但是它只能表达样本数据中很少的一部分信息，因为它忽视了其他数据信息.
(2)中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响，容易计算，它仅利用了中间数据的信息.
(3)平均数受样本中的每一个数据的影响，“越离群”的数据，对平均数的影响也越大.
2．方差的三点运算性质
假设一组数据x1，x2，，xn的平均数为`x，方差为S2，则
(1)新数据x1+b，x2+b，，xn+b的平均数为，方差仍为S2
(2)新数据ax1，ax2，，axn的平均数为.方差为
(3)新数据ax1+b，ax2+b，，axn+b的平均数为，方差为
3．数字特征的选择
当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或
( http: / / www.21cnjy.com )平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，此时需要一个新的统计量标准差(方差)刻画样本数据的离散程度.在实际应用中，常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题做出决策.
交流展示——众数、中位数、平均数的应用
高一(2)班有男生27名，女生21名，在一次物理测试中，男生的平均分是82分，中位数是75分，女生的平均分是80分，中位数是80分.
(1)求这次测试全班平均分(精确到0.0l).
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的学生至少有多少人？
(3)分析男生的平均分与中位数相差较大说明了什么？
变式训练
某中学高二(2)班甲、乙两名同学上高中以来的每次数学考试成绩情况如下：
甲的得分：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107；
乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较，说明甲、乙两人谁发挥比较稳定.
交流展示——标准差、方差的应用
2．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如下：
甲：9.4，8.7，7.5，8.4，10.1，10.5，10.7，7.2，7.8，10.8；
乙：9.1，8.7，7.1，9.8，9.7，8.5，10.1，9.2，10.1，9.1；
(1)用茎叶图表示甲，乙两个成绩；
(2)根据茎叶图分析甲、乙两人成绩；
(3)分别计算两个样本的平均数和标准差s，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定.
3．甲、乙两种冬小麦实验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/km2):
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
其中产量比较稳定的冬小麦品种是哪种？
变式训练
甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm).
甲机床：10.2
10.1
10.0
9.8
9.9
10.3
9.7
10.0
9.9
10.1；
乙机床：10.3
10.4
9.6
9.9
10.1
10.9
8.9
9.7
10.2
10.0.
分别计算上面两个样本的平均数和方差.若图纸规定零件的尺寸为10mm，从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适？
交流展示——由频率分布表或直方图求数字特征
为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部
( http: / / www.21cnjy.com )分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？
(3)通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是______，中位数是_______.
( http: / / www.21cnjy.com )
变式训练
某中学团委组织了“我对祖国
( http: / / www.21cnjy.com )知多少”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六组[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，其部分频率分布直方图如图所示.观察图形，回答下列问题.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求成绩在[70，80)的频率，并补全这个频率分布直方图.
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.(计算时可以用组中值代替各组数据的平均值)
学习小结
1．中位数的求法
(l)当数据个数为奇数时，中位数是按大小顺序排列的中间那个数.
(2)当数据个数为偶数时，中位数为按大小顺序排列的最中间的两个数的平均数.
2．数据特征的分析
如果样本平均数大于样本中位数，说明数据
( http: / / www.21cnjy.com )中存在许多较大的极端值；反之说明数据中存在许多较小的极端值，在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息.所以，应当深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用.
3．标准差的性质
(l)全组数据每一数据都加上一个相同的常数后计算得到的标准差不变.
(2)若每一数据值都乘以一个相同的非零常数，则所得到的标准差等于原标准差乘以这个常数的绝对值.
(3)每个数据值都乘以同一个非零常数，再加上另一常数，所得数据的标准差等于原标准差乘以这个常数的绝对值.
4．计算标准差的五个步骤
第一步：算出样本数据的平均数；
第二步：算出每个样本数据与样本平均数的差；
第三步：算出；
第四步：算出这n个数的平均数，即为样本方差S2；
第五步：算出方差的算术平方根，即为样本标准差.
5．利用频率分布直方图求数字特征的方法
(1)众数是最高的矩形的底边的中点的横坐标.
(2)中位数左右两侧直方图的面积相等.
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
(4)利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致.但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.
当堂检测
1．200辆汽车经过某一雷达测速地区,测得的时速的频率分布直方图如下图所示,则时速超过60
km/h的汽车有
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A.65辆
B.76辆
C.88
辆
D.95辆
2．下图是12名学生某次测试的分数的茎叶图,由此可知,这些分数中最低分与最高分之和为 .
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3．某校高一(1)、(2)班各有49名学生,两班学生在一次数学测试(满分100分)中的成绩(单位:分)统计如下表:
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(1)请你对下面的一段话给予简要分析:
高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测试中,全班的平均分为79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了”.
(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况,并提出教学建议.
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
详细答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．(1)最多
(2)大小 最中间
(3)
2．(1)
(2)
【预习评价】
1．D
2．A
3．
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数在最高的矩形的区域内，即[2，2.5).
2．在样本数据中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数.在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
3．平均数是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点，因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数.
4．标准差、方差的取值范围均为[0，＋∞).
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，都等于样本平均数.表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.
5．标准差越大，表明各数据的离散程
( http: / / www.21cnjy.com )度就越大；反之，标准差越小，表明各数据的离散程度就越小.它用来描述样本数据的离散程度.在实际应用中，标准差常被理解为稳定性
【交流展示——众数、中位数、平均数的应用】
(1)由平均数公式得(分).
(2)因为男生的中位数是75分，所
( http: / / www.21cnjy.com )以至少有14人得分不超过75分.又因为女生的中位数是80分，所以至少有11人得分不超过80分.所以全班至少有25人得分不超过80分.
(3)男生的平均分与中位数的差别较大，说明男生中两极分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大.
【变式训练】
甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：
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从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大
( http: / / www.21cnjy.com )致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88.因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好.
【交流展示——标准差、方差的应用】
2．(1)如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字.
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(2)由上图知，甲中位数是9.05，乙中位数是9.15，乙的成绩大致对称，可以看出乙发挥稳定性好，甲波动性大.
(3)＝×(9.4+8.7+7.5+8.4+10.1+10.5+10.7+7.2+7.8+10.8)=9.11
＝＝1.3
＝×(9.1+8.7+7.1+9.8+9.7+8.5+10.1+9.2+10.1+9.1)＝9.14
＝＝0.9
因为>，这说明了甲运动员的波动大于乙运动员的波动，
所以我们估计，乙运动员比较稳定.
【解析】本题主要考查了茎叶图.
3．由题意：，
，
，
所以甲、乙两种冬小麦的平均产量都等于10，，所以产量比较稳定的为甲种小麦.
【解析】本题主要考查了样本的平均数和方差.
【变式训练】
，
.
，
所以，
所以甲机床比乙机床稳定，即用甲机床加工较合适.
【交流展示——由频率分布表或直方图求数字特征】
(1)第二小组的频率为：
又第二小组频率=，所以
(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为88%；
(3)跳绳次数的众数是：115，中位数落在第四小组内，中位数是：121.3.
【解析】本题主要考查频率分布直方图。频率、频数、样本容量之间的关系，众数、中位数的求法等相关知识。(1)根据从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，由此求出样本容量和第二小组的频率.(2)根据上面做出的样本容量和前两个小长方形所占的比例，用所有的符合条件的样本个数之和，除以样本容量得到概率.(3)在频率分布直方图中最高的小长方形的底边的中点就是这组数据的众数，处在把频率分布直方图所有的小长方形的面积分成两部分的一条垂直与横轴的线对应的横标就是中位数.
【变式训练】
(1)因为各组的频率和等于1，故成绩在[70，80)的频率是1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.
频率分布直方图如图所示.
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(2)依题意，60分及以上的分数在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]这四个组，其频率和为(0.
015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75.
所以估计这次考试的及格率是75％.
利用组中值估算学生成绩的平均分，则有
45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
所以估计这次考试的平均分是71分.
【当堂检测】
1．B
【解析】由频率分布直方图可
( http: / / www.21cnjy.com )知时速超过60
km/h的频率为(0.028+0.010)×10=0.38,故估计时速超过60
km/h的汽车有200×0.38=76(辆),故选B.
2．147
【解析】由茎叶图可知,最低分为53,最高分为94,它们的和为53+94=147.
3．(1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知,85分排在25位以后,从位次上讲并不能说85分在班里是上游,但也不能从这次测试的位次上来判断学习的好坏,小刚得了85分,说明他对这阶段的学习内容掌握得较好,从掌握的学习内容上讲也算是上游.
(2)高一(1)班成绩的
( http: / / www.21cnjy.com )中位数是87分,说明高于87分的人数占一半左右,而平均分为79分,标准差又很大,说明低分者很多,两极分化严重,建议对学习差的学生给予帮助.
高一(2)班成绩的中位数和平均数都是7
( http: / / www.21cnjy.com )9分,标准差较小,说明学生成绩之间的差别也较小,学习差的学生较少,但学习优秀的学生也很少,建议采取措施提高优秀学生的人数.
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________
课前预习
·
预习案
温馨寄语
人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！——奥斯特洛夫斯基
学习目标
1．正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.
2．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释.
3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.
学习重点
1．根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释，估计总体的基本数字特征
2．体会样本数字特征具有随机性
学习难点
1．用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差
2．能应用相关知识解决简单的实际问题
自主学习
1．众数、中位数、平均数
(1)众数：在一组数据中，出现次数
的数据叫做这一组数据的众数.
(2)中位数：将一组数据按
依次排列，把处在
位置的一个数据(或两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：假设样本数据是x1，x2，，xn，表示这组数据的平均数，则=
2．方差、标准差
假设样本数据是x1，x2，x3，，xn，是平均数，则
(1)方差是s2=
.
(2)标准差为s=
.
预习评价
1．已知一组数据为20,30,40,50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是
A.平均数>中位数>众数
B.平均数<中位数<众数
C.中位数<众数<平均数
D.众数=中位数=平均数
2．一组样本数据按从小到大的顺序排列为12,15,20,x,23,28,30，50，其中，中位数为22，则x=
A.21
B.15
C.22
D.35
3．设x1=4，x2=5，x3=6，则该样本的标准差为
.
知识拓展
·
探究案
合作探究
1．众数、中位数、平均数的应用
通过频率分布直方图可以看出众数在哪个区域内？
( http: / / www.21cnjy.com )
2．众数、中位数、平均数的应用
如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
3．众数、中位数、平均数的应用
如何在样本数据的频率分布直方图中估计出平均数的值？
4．标准差与方差
标准差，方差的取值范围是什么？标准差、方差为0的样本数据有什么特点？
5．标准差与方差
标准差的大小对数据的离散程度有何影响？
教师点拨
1．对众数、中位数、平均数的三点说明
(1)众数通常用来表示样本数据的最大集中点，容易计算.但是它只能表达样本数据中很少的一部分信息，因为它忽视了其他数据信息.
(2)中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响，容易计算，它仅利用了中间数据的信息.
(3)平均数受样本中的每一个数据的影响，“越离群”的数据，对平均数的影响也越大.
2．方差的三点运算性质
假设一组数据x1，x2，，xn的平均数为`x，方差为S2，则
(1)新数据x1+b，x2+b，，xn+b的平均数为，方差仍为S2
(2)新数据ax1，ax2，，axn的平均数为.方差为
(3)新数据ax1+b，ax2+b，，axn+b的平均数为，方差为
3．数字特征的选择
当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或
( http: / / www.21cnjy.com )平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，此时需要一个新的统计量标准差(方差)刻画样本数据的离散程度.在实际应用中，常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题做出决策.
交流展示——众数、中位数、平均数的应用
高一(2)班有男生27名，女生21名，在一次物理测试中，男生的平均分是82分，中位数是75分，女生的平均分是80分，中位数是80分.
(1)求这次测试全班平均分(精确到0.0l).
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的学生至少有多少人？
(3)分析男生的平均分与中位数相差较大说明了什么？
变式训练
某中学高二(2)班甲、乙两名同学上高中以来的每次数学考试成绩情况如下：
甲的得分：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107；
乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较，说明甲、乙两人谁发挥比较稳定.
交流展示——标准差、方差的应用
2．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如下：
甲：9.4，8.7，7.5，8.4，10.1，10.5，10.7，7.2，7.8，10.8；
乙：9.1，8.7，7.1，9.8，9.7，8.5，10.1，9.2，10.1，9.1；
(1)用茎叶图表示甲，乙两个成绩；
(2)根据茎叶图分析甲、乙两人成绩；
(3)分别计算两个样本的平均数和标准差s，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定.
3．甲、乙两种冬小麦实验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/km2):
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
其中产量比较稳定的冬小麦品种是哪种？
变式训练
甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm).
甲机床：10.2
10.1
10.0
9.8
9.9
10.3
9.7
10.0
9.9
10.1；
乙机床：10.3
10.4
9.6
9.9
10.1
10.9
8.9
9.7
10.2
10.0.
分别计算上面两个样本的平均数和方差.若图纸规定零件的尺寸为10mm，从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适？
交流展示——由频率分布表或直方图求数字特征
为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部
( http: / / www.21cnjy.com )分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？
(3)通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是______，中位数是_______.
( http: / / www.21cnjy.com )
变式训练
某中学团委组织了“我对祖国
( http: / / www.21cnjy.com )知多少”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六组[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，其部分频率分布直方图如图所示.观察图形，回答下列问题.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求成绩在[70，80)的频率，并补全这个频率分布直方图.
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.(计算时可以用组中值代替各组数据的平均值)
学习小结
1．中位数的求法
(l)当数据个数为奇数时，中位数是按大小顺序排列的中间那个数.
(2)当数据个数为偶数时，中位数为按大小顺序排列的最中间的两个数的平均数.
2．数据特征的分析
如果样本平均数大于样本中位数，说明数据
( http: / / www.21cnjy.com )中存在许多较大的极端值；反之说明数据中存在许多较小的极端值，在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息.所以，应当深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用.
3．标准差的性质
(l)全组数据每一数据都加上一个相同的常数后计算得到的标准差不变.
(2)若每一数据值都乘以一个相同的非零常数，则所得到的标准差等于原标准差乘以这个常数的绝对值.
(3)每个数据值都乘以同一个非零常数，再加上另一常数，所得数据的标准差等于原标准差乘以这个常数的绝对值.
4．计算标准差的五个步骤
第一步：算出样本数据的平均数；
第二步：算出每个样本数据与样本平均数的差；
第三步：算出；
第四步：算出这n个数的平均数，即为样本方差S2；
第五步：算出方差的算术平方根，即为样本标准差.
5．利用频率分布直方图求数字特征的方法
(1)众数是最高的矩形的底边的中点的横坐标.
(2)中位数左右两侧直方图的面积相等.
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
(4)利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致.但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.
当堂检测
1．200辆汽车经过某一雷达测速地区,测得的时速的频率分布直方图如下图所示,则时速超过60
km/h的汽车有
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A.65辆
B.76辆
C.88
辆
D.95辆
2．下图是12名学生某次测试的分数的茎叶图,由此可知,这些分数中最低分与最高分之和为 .
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3．某校高一(1)、(2)班各有49名学生,两班学生在一次数学测试(满分100分)中的成绩(单位:分)统计如下表:
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(1)请你对下面的一段话给予简要分析:
高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测试中,全班的平均分为79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了”.
(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况,并提出教学建议.
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
详细答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．(1)最多
(2)大小 最中间
(3)
2．(1)
(2)
【预习评价】
1．D
2．A
3．
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数在最高的矩形的区域内，即[2，2.5).
2．在样本数据中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数.在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
3．平均数是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点，因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数.
4．标准差、方差的取值范围均为[0，＋∞).
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，都等于样本平均数.表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.
5．标准差越大，表明各数据的离散程
( http: / / www.21cnjy.com )度就越大；反之，标准差越小，表明各数据的离散程度就越小.它用来描述样本数据的离散程度.在实际应用中，标准差常被理解为稳定性
【交流展示——众数、中位数、平均数的应用】
(1)由平均数公式得(分).
(2)因为男生的中位数是75分，所
( http: / / www.21cnjy.com )以至少有14人得分不超过75分.又因为女生的中位数是80分，所以至少有11人得分不超过80分.所以全班至少有25人得分不超过80分.
(3)男生的平均分与中位数的差别较大，说明男生中两极分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大.
【变式训练】
甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：
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从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大
( http: / / www.21cnjy.com )致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88.因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好.
【交流展示——标准差、方差的应用】
2．(1)如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字.
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(2)由上图知，甲中位数是9.05，乙中位数是9.15，乙的成绩大致对称，可以看出乙发挥稳定性好，甲波动性大.
(3)＝×(9.4+8.7+7.5+8.4+10.1+10.5+10.7+7.2+7.8+10.8)=9.11
＝＝1.3
＝×(9.1+8.7+7.1+9.8+9.7+8.5+10.1+9.2+10.1+9.1)＝9.14
＝＝0.9
因为>，这说明了甲运动员的波动大于乙运动员的波动，
所以我们估计，乙运动员比较稳定.
【解析】本题主要考查了茎叶图.
3．由题意：，
，
，
所以甲、乙两种冬小麦的平均产量都等于10，，所以产量比较稳定的为甲种小麦.
【解析】本题主要考查了样本的平均数和方差.
【变式训练】
，
.
，
所以，
所以甲机床比乙机床稳定，即用甲机床加工较合适.
【交流展示——由频率分布表或直方图求数字特征】
(1)第二小组的频率为：
又第二小组频率=，所以
(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为88%；
(3)跳绳次数的众数是：115，中位数落在第四小组内，中位数是：121.3.
【解析】本题主要考查频率分布直方图。频率、频数、样本容量之间的关系，众数、中位数的求法等相关知识。(1)根据从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，由此求出样本容量和第二小组的频率.(2)根据上面做出的样本容量和前两个小长方形所占的比例，用所有的符合条件的样本个数之和，除以样本容量得到概率.(3)在频率分布直方图中最高的小长方形的底边的中点就是这组数据的众数，处在把频率分布直方图所有的小长方形的面积分成两部分的一条垂直与横轴的线对应的横标就是中位数.
【变式训练】
(1)因为各组的频率和等于1，故成绩在[70，80)的频率是1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.
频率分布直方图如图所示.
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(2)依题意，60分及以上的分数在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]这四个组，其频率和为(0.
015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75.
所以估计这次考试的及格率是75％.
利用组中值估算学生成绩的平均分，则有
45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
所以估计这次考试的平均分是71分.
【当堂检测】
1．B
【解析】由频率分布直方图可
( http: / / www.21cnjy.com )知时速超过60
km/h的频率为(0.028+0.010)×10=0.38,故估计时速超过60
km/h的汽车有200×0.38=76(辆),故选B.
2．147
【解析】由茎叶图可知,最低分为53,最高分为94,它们的和为53+94=147.
3．(1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知,85分排在25位以后,从位次上讲并不能说85分在班里是上游,但也不能从这次测试的位次上来判断学习的好坏,小刚得了85分,说明他对这阶段的学习内容掌握得较好,从掌握的学习内容上讲也算是上游.
(2)高一(1)班成绩的
( http: / / www.21cnjy.com )中位数是87分,说明高于87分的人数占一半左右,而平均分为79分,标准差又很大,说明低分者很多,两极分化严重,建议对学习差的学生给予帮助.
高一(2)班成绩的中位数和平均数都是7
( http: / / www.21cnjy.com )9分,标准差较小,说明学生成绩之间的差别也较小,学习差的学生较少,但学习优秀的学生也很少,建议采取措施提高优秀学生的人数.