人教A版高中数学必修第二册 8.1基本立体图形 基础练习作业（含答案）

第八章8.1基本立体图形
一、单选题
下列说法正确的是( )
A. 多面体至少有3个面
B. 有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D. 棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
将棱长为4的正方体表面涂成红色，将其适当分成长棱长为1的小正方体，则各面均没有颜色的小正方体个数占总的小正方体个数的( )
A.
B.
C.
D.
如图，棱锥的高，截面平行于底面，与截面交于点，且．若四边形的面积为36，则四边形的面积为( )
A. 12
B. 16
C. 4
D. 8
下列几何体表 圆锥的是( )
A. B.
C. D.
下列几何体是旋转体的是 ( )
A. 五棱柱
B. 六棱锥
C. 八棱台
D. 球
已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为 ( )
A.
B.
C.
D.
如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是 ( )
A. ①是棱台
B. ②是圆台
C. ③是棱锥
D. ④不是棱柱
如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么 ( )
A.
B.
C.
D.
已知圆柱及其侧面展开图如图所示，则该圆柱的侧面积为 ( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题
若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是 ( )
A. 三棱锥和四棱柱
B. 四棱锥和三棱柱
C. 四棱锥和四棱柱
D. 五棱锥和三棱柱
下列说法正确的是 ( )
A. 圆柱的底面是圆面
B. 经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C. 圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D. 夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则 ( )
A.
B. 三棱锥的体积不变
C. 的最小值为
D. 当是的中点时，过，，三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
三、填空题
如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则取得最小值 ．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面面积为 ．
如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是 ．
从一个底面半径和高都是的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离为，并且平行于底面的平面去截这个几何体，则截面面积为 ．
四、解答题
如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中．请说出这两个几何体的名称．
如图所示，直角梯形分别以，，，所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．
一、单选题
答案：D
解析：
对于A，多面体至少有4个面，故选项A错误；
对于B，有2个面平行，其余各面都是梯形，但各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故选项B错误；
对于C，各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故选项C错误；
对于D，由棱柱定义知，棱柱的各侧棱平行且相等，故侧面是平行四边形，故选项D正确。
故选：D。
答案：B
解析：如图所示，大正方体分割为个，各面均没有颜色的小正方体有个，所以答案为。
故选：B。
答案：C
解析：由题意可知，四边形与四边形相似，且，所以四边形的面积为。
故选：C。
答案：C
解析：A图表示圆柱，B图表示球，C图表示圆锥，D图表示四棱柱。
故选：C。
答案：D
解析：根据一个平面图形绕着它的一条边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做旋转体，球是由半圆绕着直径旋转得到的几何体，所以球是旋转体；一个几何体围成它的各个面都是多边形，这个几何体是多面体，由此判断五棱柱、六棱柱、八棱台都是多面体。
故选：D。
答案：A
解析：设圆锥底面圆半径为，母线长为，则，解得，由圆锥的侧面积为，得，即，所以。
故选：A。
答案：C
解析：
对于选项A，棱台是由棱锥截得的，且上下底面应该是相似的图形，图①中的几何体不符合这两个条件，所以①不是棱台，故A错误；
对于选项B，圆台的定义要求上下两个面平行，而图②中几何体的上、下两个面不平行，所以②不是圆台，故B错误；
对于选项C，底面是三角形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，所以③是棱锥，故C正确；
对于D，有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行的几何体为棱柱，图④满足以上条件，所以④是棱柱，故D错误。
故选：C。
答案：A
解析：设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，则，，所以，即。
故选：A。
答案：C
解析：由图可知圆柱的侧面展开图是一个矩形，所以该圆柱的侧面积为。
故选：C。
二、多选题
答案：AD
解析：
对于A中，由三棱锥的顶点数为4个，四棱柱的顶点数为8个，所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意；
对于B中，由四棱锥的顶点数为5个，三棱柱的顶点数为6个，所以两个几何体的顶点数之和为11个，不符合题意；
对于C中，由四棱锥的顶点数为5个，四棱柱的顶点数为8个，所以两个几何体的顶点数之和为13个，不符合题意；
对于D中，由五棱锥的顶点数为6个，三棱柱的顶点数为6个，所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意。
故选：AD。
答案：AB
解析：由圆柱定义易得选项A，B正确（B选项见下图即可）；圆台的母线延长必相交于一点，故选项C错误；一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。故圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故选项D错误。
故选：AB。
答案：ABD
解析：连接，如图所示：
直三棱柱中，，为正方形，，，平面，平面，，平面，，平面，平面，，A选项正确；
由直三棱柱的结构特征，，故三棱锥的体积为定值，B选项正确；
设，，，，，，其几何意义是点和点到点的距离之和，最小值为点到点的距离，为，C选项错误；
当是的中点时，，，，，，，，设点到平面的距离为，由，得，，直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径，点到平面的距离为，则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，D选项正确。
故选：ABD。
三、填空题
答案：；
解析：
将侧面绕着旋转，使得侧面和侧面在同一平面内，易知，当三点共线时，取得最小值。
当为线段中点时，记的中点为，的中点为，由正方体性质可知，，，所以为平行四边形，所以，易知，，所以为平行四边形，所以，所以四点共面，即平面截正方体所得的截面为四边形，因为，所以四边形为菱形，所以。
答案：3
解析：半径为的半圆弧长为，圆锥的底面圆的周长为，圆锥的底面半径为，所以圆锥的高。
答案：
解析：题图中的几何体的轴截面如图所示，
，所以是等腰直角三角形，又，则，设，则，又，故，所以所求截面面积。
四、解答题
答案：解：剩下的几何体为五棱柱，截去的几何体为三棱柱。
答案：解：如图（1）所示，以所在的直线为旋转轴，可得到一个圆柱和一个同底的圆锥；
如图（2）所示，以所在的直线为旋转轴，可得到一个圆台挖去同上底的圆锥和一个与圆台同下底的圆锥；
如图（3）所示，以所在的直线为旋转轴，可得到一个圆柱挖去一个同底的圆锥；
如图（2）所示，以所在的直线为旋转轴，可得到一个圆台。