人教A版高中数学必修第二册 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 基础练习作业（含答案）

第八章8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、单选题
1.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点，，，在同一平面内，若四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（ ）
A. 8 B. 16 C. D.
2.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕这两个直角边所在直线旋转得到的两个圆锥的体积的比值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3.正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
4.已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，则其表面积为（ ）
A. 12 B. C. D.
5.如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点，分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱，，分别交于，，，设四面体的体积为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知正方体的棱长为2，一只蚂蚁在该正方体的表面上爬行，在爬行过程中，它到点的直线距离均为，它爬行的轨迹是一条封闭的曲线，则曲线的长度是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上下两部分的高之比为，则关于上下两几何体的说法正确的是（ ）
A. 侧面积之比为 B. 侧面积之比为
C. 体积之比为 D. 体积之比为
8.在长方体上任意选取不共面的4个顶点，由这4个顶点构成的几何体中，则（ ）
A. 存在三个面为直角三角形的四面体
B. 存在每个面都是直角三角形的四面体
C. 存在每个面都是全等三角形的四面体
D. 四面体的体积为该长方体体积的六分之一
9.如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题
10.如图，是棱长为的正方体的棱的中点，沿正方体表面从点到点的最短路程是______。
11.如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为，高为，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面，则图①中容器内水面的高度是_________。
12.三棱锥的三条侧棱两两垂直，长分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为______。
四、解答题
13.如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，为的中点，。
(1) 求证：；
(2) 若与平面所成的角为，，求四棱锥的的体积。
14.已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为，宽为的矩形，求此正三棱柱的体积。
15.正四棱台的底面边长分别为和，侧面积为，求其体积。
一、单选题
1.答案：C
解析：每个面的面积为，所以该图形的表面积为。 故选：C。
2.答案：B
解析：绕长为的直角边所在直线旋转得到的圆锥的体积为，绕长为的直角边所在直线旋转得到的圆锥的体积为，体积的比值为。
3.答案：B
解析：正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为，则正方体的表面积为，正四面体的表面积为，两者之比为。 故选：B。
4.答案：C
解析：棱长为，各面均为等边三角形的四面体，其表面积为：。 故选：C。
5.答案：C
解析：连接，点为棱的中点，点为线段的中点，点，分别为线段的三等分点。
所以；
令，则，。
，，，四点共面，（当且仅当时取等号），。
设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，又，，
，即的最小值为。 故选：C。
6.答案：D
解析：根据题意可知，封闭的曲线上的点到点的距离均为，在正方体上形成的封闭曲线如图所示。
曲线只能在侧面，侧面和上底面上。在侧面上，曲线是以点为圆心，半径为的四分之一圆，其长度为。同理，在侧面上，曲线是以点为圆心，半径为的四分之一圆，其长度为。在上底面上，曲线是以点为圆心，半径为的四分之一圆，其长度为。故曲线的长度为。
二、多选题
7.答案：BD
解析：依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为，高之比为，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为，体积之比为，即小棱锥与棱台的侧面积之比为，体积之比为。
8.答案：ABC
解析：如图—四面体符合选项的要求；如图—四面体符合选项的要求；如图二当为正方体时容易知道正四面体符合的要求，且的体积不是长方体的六分之一故不正确。 故选：ABC。
9.答案：CD
解析：如图，连接交于，连接，。
设，则，。
因为平面，，所以平面，
所以，
。
因为平面，平面，所以，又，且，，平面，所以平面。因为，平面，所以，。
易知，，，，，所以，所以。又，，平面，所以平面，
所以，
所以，，，，所以选项，不正确，选项，正确。故选。
三、填空题
10.答案：
解析：由题意，若以为轴展开，则，两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为，，故两点之间的距离是。若以为轴展开，则，两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为，，故两点之间的距离是。故沿正方体表面从点到点的最短路程是。
11.答案：
解析：设题图①中容器内水面的高度为，水的体积为，则。又题图②中水组成了一个直四棱柱，其底面积为，高度为，则，故。
12.答案：
解析：如图所示，设，，，且，，两两垂直，所以。
四、解答题
13.答案
(1) 证明：连接，因，为的中点，故。
侧面底面，侧面底面，侧面，平面，因为平面，，，
，，，平面，平面，，又，，，平面，故平面，所以。
(2) 解：在矩形中，由(1)得，所以，故。
侧面底面，侧面底面，因为底面为矩形，所以，平面，平面，平面，，为直线与平面所成的角，，，，
连接，则，所以平面，为四棱锥的的高，
在中，，，，。
14.答案：解 设正棱柱的高为，底面等边三角形的边长为。
①若正三棱柱的底面周长为，则高，，，，。
②若正三棱柱的底面周长为，则高，，，，，
故该正三棱柱的体积为或。
15.答案：解：正四棱台的大致图形如图所示，其中，，取的中点，的中点，则为斜高。
设，分别是上、下底面的中心，则四边形为直角梯形。
，。
在直角梯形中，，，
，
该正四棱台的体积为。