人教A版高中数学必修第二册 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 基础练习作业（含答案）

第八章8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
一、单选题
1.已知一圆柱的底面半径为2，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
2.一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是（ ）
A. B. C. D.
3.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图①放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图②放置容器时，液面以上空余部分的高为，则等于（ ）
A. B. C. D.
4.青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圆底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆。它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度，已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（ ）
A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米
5.设正四棱锥的底面中心为，以为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用。图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为，且该几何体的顶点均在体积为的球的表面上，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）。假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆。以下结论正确的是（ ）
A. 沙漏中的细沙体积为
B. 沙漏的体积是
C. 细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为
D. 该沙漏的一个沙时大约是秒
8.已知三棱柱的底面为直角三角形，侧棱长为，体积为，若此三棱柱的顶点均在同一球面上，则该球半径的长度可以为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A. 三棱锥的体积为
B. 直线与下底面所成角的正弦值为
C. 为线段的中点时，过，，三点的平面截正方体所得截面的周长为
D. 三棱锥的外接球体积的最大值为
三、填空题
10.如图所示，已知一个组合体上面是一个正四棱柱，下面是一个半球，正四棱柱的底面边长为，高为，半球的半径为，则该几何体的体积是_______，表面积是_______。
11.已知底面是正六边形的六棱锥的七个顶点均在球的表面上，底面正六边形的边长为。若该六棱锥体积的最大值为，则球的表面积为_____。
12.已知圆台的上下底面半径分别为，侧面积为，在圆台内部放置一个正四面体，使其可以任意转动，则该正四面体的体积的最大值为____。
四、解答题
13.如图，正四棱台是一块铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高为。
(1) 求正四棱台的表面积；
(2) 若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积。
14.在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈，求所得几何体的表面积和体积。
15.如图，在直径为的半圆内有一个直角三角形，其中，，将图中阴影部分，以所在直线为旋转轴旋转形成一个几何体，求该几何体的表面积及体积。
一、单选题
1.答案：B
解析：设圆柱的高为，底面半径为，由题意可得，解得。因为该圆柱的底面圆周都在球的表面上，设球的半径为，则，即，，所以球的表面积为。 故选：B。
2.答案：A
解析：设正方体的棱长为，球的半径为，由得，。
3.答案：B
解析：在图①中，液面以上空余部分的体积为；在图②中，液面以上空余部分的体积为。因为，所以 。
4.答案：B
解析：已知半球半径米，圆柱底面半径米，圆柱高米，则此鼎容积立方米。答案选B。
5.答案：B
解析：如图，
取的中点，正方形的中心为，连接，。设球的半径为，则，球与正四棱锥的各棱均相切，则底面正方形棱长为。过作，则， ，，为等腰直角三角形，，，为等腰直角三角形，所以。正四棱锥的体积为，所以，，球的半径为，则球的体积为。 故选：B。
6.答案：A
解析：因为球的体积为，所以球的半径。因为正四棱柱和正四棱锥的体积之比为，且共一个底面，所以正四棱柱和正四棱锥的高相等。设正四棱柱和正四棱锥的高都为，设正四棱柱的底面正方形的边长为，作底面，交平面于，易知，分别为中心，根据对称性可知该几何体的外接球的直径为正四棱柱的体对角线，设球心为，则为中点，所以，即。又，，，，。作，则为中点，且 ，该几何体的表面积为。
故选：A。
二、多选题
7.答案：AC
解析：对于A，设细沙在上部时，细沙的底面半径为，则，所以细沙的体积为，故A正确；对于B，沙漏的体积，故B错误；对于C，设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：，解得，故C正确；对于D，该沙漏的一个沙时为：秒，故D错误。
8.答案：BCD
解析：因为三棱柱内接于球，所以棱柱各侧面均为平行四边形且内接于圆，所以棱柱的侧棱都垂直底面，所以该三棱柱为直三棱柱。设底面三角形的两条直角边长为，，因为三棱柱的高为，体积是，所以，即。将直三棱柱补成一个长方体，则直三棱柱与长方体有同一个外接球，所以球的半径。又因（当且仅当时取等号），，因此该球的半径可以取，与。
9.答案：ABD
解析：对于A：为线段上的动点，又平面，所以，正确；对于B：连接，因为面，所以为直线与下底面所成角，所以，正确；
对于C：连接，，明显有，所以过，，三点的平面截正方体所得截面为四边形，四边形的周长为，错误；
对于D：因为，，两两垂直，所以三棱锥的外接球半径为，故当最大时，三棱锥的外接球半径最大，此时，，此时体积为，正确。
故选：ABD。
三、填空题
10.答案： ；
解析：组合体体积 。因为该几何体的表面积为正四棱柱的四个侧面面积 + 半球的表面积 + 半球的上面大圆的面积，所以几何体的表面积为。
11.答案：
解析：根据几何知识可知，当六棱锥为正六棱锥时，体积最大。因为底面正六边形的边长为，所以底面外接圆的半径为，正六棱锥的底面积。设正六棱锥的高为，，即，解得。设六棱锥外接球的半径为，可得，解得。球的表面积为。
12.答案：
解析：圆台的上下底面中心分别为，，上底面半径，下底面半径 ，由侧面积为，圆台母线长 。
设圆台内能放置的最大球的球心为，且与底面和母线分别切于，两点，则，所以， ，则，可得球的半径，球的直径为，即此时球与圆台上底面不相切，该球的内接正四面体就是在圆台内可以任意转动的最大的正四面体，正四面体可扩成正方体，正四面体的棱是正方体的面对角线，
正四面体的外接球也是正方体的外接球。设正方体的棱长为，则有， ，则正四面体的体积为 。故答案为： 。
四、解答题
13.答案：
(1) 解：如图，正四棱台的每个侧面皆为全等的等腰梯形。
分别取，的中点，，连接，，，过点作于，则，，， ，故由勾股定理可得： ，所以正四棱台的表面积为 ；
(2) 若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高。则圆台的上底面半径，下底面半径，高，则圆台的体积为。
14.答案：解：根据题意知，将所得平面图形绕直线旋转一圈后，所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体。
则该组合体的表面积为；
组合体的体积为。
15.答案：解：如图，设点对应的直径的另一端点为，连接。该平面图形旋转后形成的几何体是半个球挖掉半个圆锥。由题知，半圆半径，，，。
，，，。
。