12.3.1等腰三角形的性质 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 12.3.1等腰三角形的性质 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 433.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-26 17:26:59 | ||
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文档简介
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12.3.1 等腰三角形的性质
一、单选题
1．如图，已知，，，不正确的等式是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将△ABC沿直线AD折叠，点B与点E重合，连接BE交AD于O.∠ABC=90°，AB=6，BC=8，AC=10，S ACD=15.有下列结论：①S CDE=5；②CD=5；③OB=OE；④S ABD：S ACD=3：4，则以上结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③
3．已知是等腰底边上的中线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，为的平分线，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，等边的边长为4，平分，点在的延长线上，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
6．等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于 .
7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD= °.
8．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝ cm．
9．如图，△ABC 是等边三角形，AD 是该三角形的中线，则∠BAD= .
10．如图，中，将绕点A顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数为 ．
11．等腰三角形有一个角为30 ，则它的底角度数是 .
三、计算题
12．在中，已知，，．
（1）求m的取值范围；
（2）若是等腰三角形，求的周长及m的值．
13．已知在中，、、的对边分别为、、．
（1）化简代数式：______
（2）若，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长．
四、解答题
14．如图：点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=EC，证明AB=AC.
15．已知：如图，在中，，点、分别是、上的点，且若，，求的度数．
五、综合题
16．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE.
18．已知：如图， ，
（1）求证：
（2）求证：
六、实践探究题
19．【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC （填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；
（3）【概念应用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
2．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
5．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质
6．【答案】15或18
【知识点】等腰三角形的概念
7．【答案】15
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质
8．【答案】13
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
9．【答案】30°
【知识点】等边三角形的性质
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
11．【答案】30 或75
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
12．【答案】（1）
（2）周长30，或周长36，
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
13．【答案】（1）
（2）10
【知识点】三角形三边关系；二元一次方程组的应用-几何问题；化简含绝对值有理数；等腰三角形的概念
14．【答案】证明：过点A作AF⊥BC于点F，∵AD=AE，∴DF=EF，∵BD=CE，∴BF=CF，∴AB=AC．
【知识点】等腰三角形的性质
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
16．【答案】（1）解：∵AB=AC，∴∠B=∠ACF，在△ABE和△ACF中， ，
∴△ABE≌△ACF（SAS）
（2）75
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
17．【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE.
【知识点】等腰三角形的性质
18．【答案】（1）证明：在 和 中，
（2）证明： ，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
19．【答案】（1）是
（2）解：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°，
∴∠BCD=∠B=∠ACD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°，
在△ABC和△ACD中，
∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，
∴△ABC与△ACD互为“形似三角形”
∴CD为△ABC的等腰分割线.
（3）解：105°或112.5°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
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12.3.1 等腰三角形的性质
一、单选题
1．如图，已知，，，不正确的等式是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将△ABC沿直线AD折叠，点B与点E重合，连接BE交AD于O.∠ABC=90°，AB=6，BC=8，AC=10，S ACD=15.有下列结论：①S CDE=5；②CD=5；③OB=OE；④S ABD：S ACD=3：4，则以上结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③
3．已知是等腰底边上的中线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，为的平分线，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，等边的边长为4，平分，点在的延长线上，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
6．等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于 .
7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD= °.
8．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝ cm．
9．如图，△ABC 是等边三角形，AD 是该三角形的中线，则∠BAD= .
10．如图，中，将绕点A顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数为 ．
11．等腰三角形有一个角为30 ，则它的底角度数是 .
三、计算题
12．在中，已知，，．
（1）求m的取值范围；
（2）若是等腰三角形，求的周长及m的值．
13．已知在中，、、的对边分别为、、．
（1）化简代数式：______
（2）若，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长．
四、解答题
14．如图：点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=EC，证明AB=AC.
15．已知：如图，在中，，点、分别是、上的点，且若，，求的度数．
五、综合题
16．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE.
18．已知：如图， ，
（1）求证：
（2）求证：
六、实践探究题
19．【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC （填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；
（3）【概念应用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
2．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
5．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质
6．【答案】15或18
【知识点】等腰三角形的概念
7．【答案】15
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质
8．【答案】13
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
9．【答案】30°
【知识点】等边三角形的性质
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
11．【答案】30 或75
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
12．【答案】（1）
（2）周长30，或周长36，
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
13．【答案】（1）
（2）10
【知识点】三角形三边关系；二元一次方程组的应用-几何问题；化简含绝对值有理数；等腰三角形的概念
14．【答案】证明：过点A作AF⊥BC于点F，∵AD=AE，∴DF=EF，∵BD=CE，∴BF=CF，∴AB=AC．
【知识点】等腰三角形的性质
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
16．【答案】（1）解：∵AB=AC，∴∠B=∠ACF，在△ABE和△ACF中， ，
∴△ABE≌△ACF（SAS）
（2）75
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
17．【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE.
【知识点】等腰三角形的性质
18．【答案】（1）证明：在 和 中，
（2）证明： ，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
19．【答案】（1）是
（2）解：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°，
∴∠BCD=∠B=∠ACD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°，
在△ABC和△ACD中，
∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，
∴△ABC与△ACD互为“形似三角形”
∴CD为△ABC的等腰分割线.
（3）解：105°或112.5°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
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