13.1 勾股定理及其逆定理 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 13.1 勾股定理及其逆定理 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 522.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-26 17:10:41 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
13.1 勾股定理及其逆定理
一、单选题
1．在中，，用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于．”的命题时，应先假设（ ）
A．，都大于 B．，都大于等于
C．，都小于 D．，都小于等于
2．如图，直线是一块直角三角板如图放置，其中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．以下各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．1，1， D．5，12，7
4．以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A．1，， B．2，3，4 C．，， D．5，12，14
5．如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的边AB上的高为（ ）
A． B． C． D．1
6．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，13 C．2，3，4 D．9，12，15
7．例 “方胜” 是中国古代妇女的一种首饰， 其图案由两个全等正方形相叠组成， 寓意是同心吉祥． 如图， 将边长为 的正方形 沿对角线 方向平移 得到正方形 ， 形成一个“方胜” 图案， 则点 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．下列各组数中能作为直角三角形三边的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．13，14，15
9．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C=l：2：3
B．三边长为a，b，c的值为1，2，
C．三边长为a，b，c的值为，2，4
D．a2=（c+b）（c﹣b）
10．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，则下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
11．用反证法证明命题“已知中，；求证：．”第一步应先假设 ．
12．已知等腰直角三角形的直角边长为 ，则它的斜边长为 ．
13．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，E为线段DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在BC的垂直平分线上时，DE的长为 .
15．如图，正方形的边长为，点是对角线上的一个动点，点在上且，则周长的最小值为 ．
16．如图，在等腰中，，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，则的最小值是 ．
三、计算题
17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.
求证：AE=FE.
18．综合与实践：构图法求三角形的面积
问题提出 在中，，，三边的长分别为，，，求的面积．
素材1 某数学兴趣小组发现，如果运用三角形面积公式（为底 边，为对应的高）求解，那么高 的计算较为复杂，进一步观察发现 ，，，若把放到图的正方形网格中（每个小正方形的边长为），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”．
素材2 某园艺公司对一块三角形花圃进行改造，如图所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃，正方形花圃，并增加三角形花圃，将原花圃改造为六边形．
任务1 （1）请直接写出图中的三角形面积___．
任务2 （2）已知三边，，的长分别为， ，，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积．
任务3 （3）若三角形花圃的边，，，求改造后的六边形花圃的面积．
四、解答题
19．如图，在中，是边上的高，是的平分线．
（1）若，求的度数：
（2）若，求的度数（用含的式子表示）．
20．八年级11班的同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：
①测得的长度为8米；(注：BE⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米，求风筝的高度.
21．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边 ，连接DC，以DC当边作等边 、 E在C、D的同侧，若 ，求BE的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反证法
2．【答案】D
【知识点】直角三角形的性质；对顶角及其性质；同位角的概念
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
5．【答案】A
【知识点】勾股定理
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；平移的性质；图形的平移
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
11．【答案】
【知识点】反证法
12．【答案】
【知识点】勾股定理
13．【答案】
【知识点】勾股定理
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
15．【答案】20
【知识点】勾股定理
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
17．【答案】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，又∠C=42°.
∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD
∴∠BAD=∠F，∴AE=FE
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
18．【答案】任务1：；任务2：；任务3：
【知识点】勾股定理
19．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
20．【答案】解：由题意得：，，，，
，
风筝的高.
【知识点】勾股定理
21．【答案】解：∵△ABC等腰直角三角形，∴AC=BC．∵△ABD是等边三角形，∴BD=AD，∴△ADC≌△BDC，∴∠BCD=（360°﹣90°）÷2=135°． 又∵∠CBD=60°﹣45°=15°，∴∠CDB=180°﹣135°﹣15°=30°，∠BDE=60°﹣30°=30°，∴∠CDB=∠BDE．∵CD=ED，∠CDB=∠BDE，BD=BD，∴△BCD≌△BED，∴BE=CB= ×sin45°=1，∴BE=1．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；直角三角形的性质
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
13.1 勾股定理及其逆定理
一、单选题
1．在中，，用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于．”的命题时，应先假设（ ）
A．，都大于 B．，都大于等于
C．，都小于 D．，都小于等于
2．如图，直线是一块直角三角板如图放置，其中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．以下各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．1，1， D．5，12，7
4．以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（ ）
A．1，， B．2，3，4 C．，， D．5，12，14
5．如图，在2×2的网格中，有一个格点△ABC，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的边AB上的高为（ ）
A． B． C． D．1
6．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，13 C．2，3，4 D．9，12，15
7．例 “方胜” 是中国古代妇女的一种首饰， 其图案由两个全等正方形相叠组成， 寓意是同心吉祥． 如图， 将边长为 的正方形 沿对角线 方向平移 得到正方形 ， 形成一个“方胜” 图案， 则点 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．下列各组数中能作为直角三角形三边的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．13，14，15
9．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C=l：2：3
B．三边长为a，b，c的值为1，2，
C．三边长为a，b，c的值为，2，4
D．a2=（c+b）（c﹣b）
10．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，则下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
11．用反证法证明命题“已知中，；求证：．”第一步应先假设 ．
12．已知等腰直角三角形的直角边长为 ，则它的斜边长为 ．
13．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，E为线段DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在BC的垂直平分线上时，DE的长为 .
15．如图，正方形的边长为，点是对角线上的一个动点，点在上且，则周长的最小值为 ．
16．如图，在等腰中，，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，则的最小值是 ．
三、计算题
17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.
求证：AE=FE.
18．综合与实践：构图法求三角形的面积
问题提出 在中，，，三边的长分别为，，，求的面积．
素材1 某数学兴趣小组发现，如果运用三角形面积公式（为底 边，为对应的高）求解，那么高 的计算较为复杂，进一步观察发现 ，，，若把放到图的正方形网格中（每个小正方形的边长为），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”．
素材2 某园艺公司对一块三角形花圃进行改造，如图所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃，正方形花圃，并增加三角形花圃，将原花圃改造为六边形．
任务1 （1）请直接写出图中的三角形面积___．
任务2 （2）已知三边，，的长分别为， ，，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积．
任务3 （3）若三角形花圃的边，，，求改造后的六边形花圃的面积．
四、解答题
19．如图，在中，是边上的高，是的平分线．
（1）若，求的度数：
（2）若，求的度数（用含的式子表示）．
20．八年级11班的同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：
①测得的长度为8米；(注：BE⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米，求风筝的高度.
21．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边 ，连接DC，以DC当边作等边 、 E在C、D的同侧，若 ，求BE的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反证法
2．【答案】D
【知识点】直角三角形的性质；对顶角及其性质；同位角的概念
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
5．【答案】A
【知识点】勾股定理
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；平移的性质；图形的平移
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
11．【答案】
【知识点】反证法
12．【答案】
【知识点】勾股定理
13．【答案】
【知识点】勾股定理
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
15．【答案】20
【知识点】勾股定理
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
17．【答案】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，又∠C=42°.
∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD
∴∠BAD=∠F，∴AE=FE
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
18．【答案】任务1：；任务2：；任务3：
【知识点】勾股定理
19．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
20．【答案】解：由题意得：，，，，
，
风筝的高.
【知识点】勾股定理
21．【答案】解：∵△ABC等腰直角三角形，∴AC=BC．∵△ABD是等边三角形，∴BD=AD，∴△ADC≌△BDC，∴∠BCD=（360°﹣90°）÷2=135°． 又∵∠CBD=60°﹣45°=15°，∴∠CDB=180°﹣135°﹣15°=30°，∠BDE=60°﹣30°=30°，∴∠CDB=∠BDE．∵CD=ED，∠CDB=∠BDE，BD=BD，∴△BCD≌△BED，∴BE=CB= ×sin45°=1，∴BE=1．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；直角三角形的性质
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)