1.5 等腰三角形 同步练习（含答案）

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1.5 等腰三角形
一、单选题
1．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，连接，当点B的对应点落在边上时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∠ABC的角平分线与线段AC相交于点D，若CD＝8，则AD的长（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（　　）
A．15或17 B．16 C．14 D．14或16
4．如图，△ABC中，AC=BC，直线经过点C，则下列说法正确的是(　　)
A．l垂直AB B．l平分AB
C．l垂直平分AB D．l与AB的关系不能确定
5．若等腰三角形的一个外角是，则底角是（　　）
A． B．或 C． D．或
二、填空题
6．已知等腰三角形两边的长为a，b，且满足．则这个等腰三角形的周长为　 　．
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=10，则CP的长为　 　.
8．如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．
（1）是等腰三角形吗？　 　（选填“是”或“否”）；
（2）若，则　 　度．
9．如图，在中，，，平分，若，则　 　．
10．如图，将绕点A 逆时针旋转得到，若点D在线段的延长线上，，则旋转角的度数为　 　．
11．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　．
三、计算题
12．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，，点D、E可在槽中滑动，若，求的度数．
13．如图，中，，，是腰的垂直平分线，求的度数．
四、解答题
14．已知等腰三角形的周长是16cm，若其中一边长为6cm，求另外两边的长．
15．如图，在中，，于点．若，，求的周长．
五、综合题
16．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东方向，船以25海里时的速度继续航行4小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？
17．如图，如图，已知等腰 ABC 中， AC= AB，BD是 ∠ABC 的角平分线.
（1）尺规作图：作出∠ ACB的角平分线，交 AB 于点E ， 交BD于点F (不写作法，保留作图痕迹)
（2）试判断 △BFC 的形状，并说明理由.
18．如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P.
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度数.
六、实践探究题
19．【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC　 　（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；
（3）【概念应用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
6．【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
7．【答案】5
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
8．【答案】是；
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
9．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
11．【答案】40°或100°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
12．【答案】．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
14．【答案】6cm，4cm或5cm，5cm
【知识点】等腰三角形的判定与性质
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
16．【答案】船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
17．【答案】（1）证明：（1）作图
∴如图所示，CE为所求．
（2）解：△BFC是等腰三角形，理由如下： ∵ AB=AC， ∴∠ABD=∠ACB ．
∵BD平分∠ABD，CE平分∠ACB， ∴∠FBC= ∠ABC ， ∠FCB= ∠ACB， ∴ ∠FBC=∠FCB，∴BF =CF． 即△BFC是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
18．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABE与△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：由（1）知△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°.
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
19．【答案】（1）是
（2）解：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°，
∴∠BCD=∠B=∠ACD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°，
在△ABC和△ACD中，
∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，
∴△ABC与△ACD互为“形似三角形”
∴CD为△ABC的等腰分割线.
（3）解：105°或112.5°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
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