4.6 线段的垂直平分线 同步练习（含答案）

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4.6 线段的垂直平分线
一、单选题
1．三角形三边垂直平分线的交点是三角形的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2．在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（　　）
A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上
C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上
3．如图，中，，的垂直平分线交于点，若，，的周长等于(　　)
A．14 B．16 C．17 D．18
4．下面是“作角的平分线”的尺规作图方法：
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
（2）分别以，为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点；
（3）作射线．
所以射线即为所求．
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（　　）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
5．如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作圆弧，与，延长线分别交于，两点；②分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点；③过点，作射线．则的度数为（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
二、填空题
6．如图 ，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD 的周长为 15cm， 那么△ABC 的周长是　 　cm.
7．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，DE、FG分别是AB、AC边的垂直平分线，点G、E在BC上，则∠GAE的度数为 　 　．
8．中，，作的垂直平分线交、于点E、F，连结，则的周长为　 　．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为　 　．
10．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为　 　．
11．如图，在中，的垂直平分线交的平分线于，若，，则的度数是　 　．
三、计算题
12．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，求的周长．
13．如图，中，，，是腰的垂直平分线，求的度数．
四、解答题
14．如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为cm，cm，求的周长．
15．【问题背景】在古代，人们在测量土地、建筑等实践活动中就开始意识到一些与垂直平分线相关的性质．例如，古埃及人在建造金字塔等大型建筑时，可能已经运用了类似垂直平分线的原理来确保建筑物的对称和稳定．
【问题解决】如图，在中，，，垂直平分，交于点F，交于点E，
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为，，求长．
五、综合题
16．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB边的垂直平分线EF交BD于点E，连AE
（1）比较∠AED与∠ABC的大小关系，并证明你的结论
（2）若△ADE是等腰三角形，求∠CAB的度数．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE＝5，求BC长．
18．如图，△ABC中，AB=AC．
（1）以点B为顶点，作∠CBD=∠ABC（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，证明：AC∥BD．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
6．【答案】21
【知识点】线段垂直平分线的性质
7．【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
8．【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质
9．【答案】7
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质
10．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
11．【答案】58°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
12．【答案】的周长为14．
【知识点】线段垂直平分线的性质
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
14．【答案】（1）
（2）cm
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
15．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
16．【答案】（1）解：∠AED=∠ABC．
证明：∵EF垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA，
∴∠DEA=∠EBA+∠EAB=2∠EBA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBA，
∴∠DEA=∠ABC；
（2）解：∵△ADE是等腰三角形，
∴∠EAD=∠DEA，
∵∠DEA=∠ABC，
设∠DBC=x°，
∴∠ABD=∠DBC=∠BAE=x°，
∴∠ABC=2x°；
∴∠CAB=∠BAE+∠DAE=3x°，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴2x°+3x°=90°，
解得：x=18°，
∴∠CAB=3x°=54°．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
17．【答案】（1） 解：（1）∵DE垂直平分AC，∠A＝36°∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；
（2） 解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
18．【答案】（1）解：解：如图，∠CBD为所作
（2）解：证明：由(1)得∠CBD=∠ABC，
又∵AB=AC，
∵.∠ABC=∠C
∠CBD=∠C，
∵AC∥BD
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
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