第4章 三角形 同步练习（含答案）
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第4章 三角形
一、单选题
1．如图，在中，垂直平分，交于点，连接，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．2，3，5 C．4，6，8 D．6，6，12
3．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/ct20241o/7f/81/7f81ff8516a198d4da8af1c218f1c3aa.png]
B．[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/ct20241o/dd/63/dd632eb24546a2c5cda2e2488ca5d9eb.png]
C．[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/ct20241o/d6/59/d659b15d2636e10eacf618d343d67f1a.png]
D．[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/ct20241o/92/e4/92e40d2b1a5b3085112b730a34be264c.png]
4．如图，D是直角斜边上一点，，记，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．若等腰三角形的一边长，周长为，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A． B． C． D．或
6．有下列说法，其中正确的有（ ）
①两个等边三角形一定能完全重合；
②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；
③两个等腰三角形一定是全等图形；
④面积相等的两个图形一定是全等图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在Rt中，，．将绕点顺时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点．若点恰好落在边上，则点到直线的距离等于（ ）
A． B． C．3 D．2
8．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 （ ）．
A．2 B．3 C．4 D．不能确定
9．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．下列语句：①三角形的内角和是180°；②作一个角等于一个已知角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④延长线段AB到C，使BC=AB，其中是命题的有（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．①③
二、填空题
11．在说明命题“若，则”是假命题的反例中，的值可以是 ．
12．如图，△ABC为等边三角形，△AO'B绕点A逆时针旋转后能与△AOC重合，则∠OAO'＝ 度．
13．已知等腰三角形的顶角等于，则底角的度数为 度．
14．如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于D点，BE⊥CE于E点．AD=5，DE=3，则BE= ．
15．如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向 ．
16．有一张三角形纸片，，点是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则的度数为 ．
三、计算题
17．如图，平分，的延长线交于点E，若，求的度数．
18．已知 为三角形三边的长， 化简： .
四、解答题
19．如图：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足. DE+DF=2，三角形ABC面积为3 +2 ，求AB的长.
20．如图，为的中线，为的中线，为中边上的高．若的面积为，，求的长．
21．2011 锦州）如图（1）～（3），已知∠AOB的平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB=α（0°＜α＜180°），∠CPD=β．
（1）如图（1），当α=β=90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系（不用说明理由）；
（2）如图（2），当α=60°，β=120°时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
（3）如图（3），当α+β=180°时，
①你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
②若=2，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
3．【答案】B
【知识点】全等图形的概念
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
6．【答案】A
【知识点】全等图形的概念；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
10．【答案】D
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】真命题与假命题
12．【答案】60
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
13．【答案】15
【知识点】等腰三角形的性质
14．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；内错角的概念；方位角
16．【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质
17．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS
18．【答案】解：∵a、b、c为三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=
=a+b-c-b+c+a+c-a-b
= .
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
19．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的概念
20．【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
21．【答案】解：（1）PC=PD，∠PDC=∠AOB．
（2）成立．理由如下：
作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，如图．
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF．
在四边形EOFP中，
∵∠AOB=60°，∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF=120°，即∠EPC+∠CPF=120°．
又∠CPD=120°，即∠DPF+∠CPF=120°．
∴∠EPC=∠DPF．
∴△EPC≌△FPD．
∴PC=PD，
∴∠PDC==30°．
∵∠AOB=60°，
∴∠PDC=∠AOB，
（3）①成立，
②∵∠PDC=∠AOB，
∠POD=∠AOB，
∴∠PDC=∠POD．
又∠DPG=∠DPO，
∴△PGD∽△PDO．
∴=．
又 =2，
∴=．
【知识点】全等三角形的判定与性质
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第4章 三角形
一、单选题
1．如图，在中，垂直平分，交于点，连接，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．2，3，5 C．4，6，8 D．6，6，12
3．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/ct20241o/7f/81/7f81ff8516a198d4da8af1c218f1c3aa.png]
B．[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/ct20241o/dd/63/dd632eb24546a2c5cda2e2488ca5d9eb.png]
C．[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/ct20241o/d6/59/d659b15d2636e10eacf618d343d67f1a.png]
D．[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/ct20241o/92/e4/92e40d2b1a5b3085112b730a34be264c.png]
4．如图，D是直角斜边上一点，，记，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．若等腰三角形的一边长，周长为，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A． B． C． D．或
6．有下列说法，其中正确的有（ ）
①两个等边三角形一定能完全重合；
②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；
③两个等腰三角形一定是全等图形；
④面积相等的两个图形一定是全等图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在Rt中，，．将绕点顺时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点．若点恰好落在边上，则点到直线的距离等于（ ）
A． B． C．3 D．2
8．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 （ ）．
A．2 B．3 C．4 D．不能确定
9．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．下列语句：①三角形的内角和是180°；②作一个角等于一个已知角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④延长线段AB到C，使BC=AB，其中是命题的有（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．①③
二、填空题
11．在说明命题“若，则”是假命题的反例中，的值可以是 ．
12．如图，△ABC为等边三角形，△AO'B绕点A逆时针旋转后能与△AOC重合，则∠OAO'＝ 度．
13．已知等腰三角形的顶角等于，则底角的度数为 度．
14．如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于D点，BE⊥CE于E点．AD=5，DE=3，则BE= ．
15．如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向 ．
16．有一张三角形纸片，，点是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则的度数为 ．
三、计算题
17．如图，平分，的延长线交于点E，若，求的度数．
18．已知 为三角形三边的长， 化简： .
四、解答题
19．如图：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足. DE+DF=2，三角形ABC面积为3 +2 ，求AB的长.
20．如图，为的中线，为的中线，为中边上的高．若的面积为，，求的长．
21．2011 锦州）如图（1）～（3），已知∠AOB的平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB=α（0°＜α＜180°），∠CPD=β．
（1）如图（1），当α=β=90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系（不用说明理由）；
（2）如图（2），当α=60°，β=120°时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
（3）如图（3），当α+β=180°时，
①你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
②若=2，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
3．【答案】B
【知识点】全等图形的概念
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
6．【答案】A
【知识点】全等图形的概念；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
10．【答案】D
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】真命题与假命题
12．【答案】60
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
13．【答案】15
【知识点】等腰三角形的性质
14．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；内错角的概念；方位角
16．【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质
17．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS
18．【答案】解：∵a、b、c为三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=
=a+b-c-b+c+a+c-a-b
= .
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
19．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的概念
20．【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
21．【答案】解：（1）PC=PD，∠PDC=∠AOB．
（2）成立．理由如下：
作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，如图．
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF．
在四边形EOFP中，
∵∠AOB=60°，∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF=120°，即∠EPC+∠CPF=120°．
又∠CPD=120°，即∠DPF+∠CPF=120°．
∴∠EPC=∠DPF．
∴△EPC≌△FPD．
∴PC=PD，
∴∠PDC==30°．
∵∠AOB=60°，
∴∠PDC=∠AOB，
（3）①成立，
②∵∠PDC=∠AOB，
∠POD=∠AOB，
∴∠PDC=∠POD．
又∠DPG=∠DPO，
∴△PGD∽△PDO．
∴=．
又 =2，
∴=．
【知识点】全等三角形的判定与性质
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