3.3.1 几何概型 导学案1（含答案）

第一章
3.3.1　几何概型
【学习目标】
1．了解几何概型与古典概型的区别，知道均匀分布的含义．
2．理解几何概型的特点和计算公式．
3．会求几何概型的概率．
【学习重点】利用几何概型计算概率
【基础知识】
1．几何概型
(1)定义．
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____`(面积或体积)成______，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
几何概型的两个特点，一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．
(2)计算公式．
在几何概型中，事件A的概率的计算公式是：
P(A)＝____________
.
几何概型的概率计算公式中的“长度”并不是实际意义上的长度，它的意义取决于试验的全部结果构成的区域，当区域分别是线段、平面图形和几何体时，相应的“长度”分别是线段的长度、平面图形的面积和几何体的体积．
【做一做1】
一个红绿灯路口，红灯亮的时
( http: / / www.21cnjy.com )间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
2．均匀分布
当Χ为区间[a，b]上的任意实数，并且是______的，我们称Χ服从[a，b]上的均匀分布，Χ为[a，b]上的均匀______．
【做一做2】
Χ服从[3,40]上的均匀分布，则Χ的值不能等于(　　)
A．15
B．25
C．35
D．45
重难点突破：区分古典概型和几何概型
剖析：几何概型的特征：一是无限性，试验中所有出现的结果(基本事件)有无限个，即有无限个不同的基本事件；二是等可能性，每个结果出现的可能性是均等的．而古典概型的特征：一是有限性，指在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；二是等可能性，指每个结果出现的可能性(概率)是均等的．
因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是：
(1)确定一次试验中每个结果(基本事件)的可能性(概率)是否均等，如果不均等，那么既不属于古典概型也不属于几何概型；
(2)如果试验中每个结果出现的可能性是均等
( http: / / www.21cnjy.com )的，再判断试验结果的有限性．当试验结果有有限个时，这个概率模型属于古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率模型属于几何概型．
【例题讲解】
【例题1】
某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率为__________．
反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量
( http: / / www.21cnjy.com )能转化为实际意义上的线段（或者区间）长度，这种概率称为长度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝.
【例题2】
取一个边长为4a的正方形及其内切圆，如图所示，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率
．
反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种概率称为面积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝.
【例题3】
有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求这一小杯水中含有这个细菌的概率
．
反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积，这种概率称为体积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝.
【例题4】
向面积为S的矩形ABCD内任投一点P，试求△PBC的面积小于的概率．
【例题5】假设你家订了一份
( http: / / www.21cnjy.com )报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之间，问你父亲在离开家钱能得到报纸的概率是多少？
【达标检测】
1．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随意地飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个面的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全，若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的．假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
2．在长度为1的线段AB上随机地选取一点P，则得到|PA|≤的概率是__________．
3．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是__________．
4.一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为__________．
5．如图，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．
【问题与收获】
基础知识答案：1．(1)长度　比例
(2)
【做一做1】
C　设看到黄灯亮为事
( http: / / www.21cnjy.com )件A，构成事件A的“长度”等于5，试验的全部结果所构成的区域长度是30＋5＋45＝80，所以P(A)＝＝.
2．等可能　随机数
【做一做2】
D　由于X∈[3,40]，则3≤X≤40，则X≠45.
例题答案：
【例题1】
，解析见教材.
【例题2】
解：记“豆子落入圆内”为事件A，
则P(A)＝＝＝.故豆子落入圆内的概率为.
【例题3】
解：判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设小水杯中含有这个细菌为事件A，则事件A构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P(A)＝＝0.05.
【例题4】
正解：如图所示，设△P
( http: / / www.21cnjy.com )BC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E，当△PBC的面积等于时，即BC·PF＝BC·EF，有PF＝EF.过点P作GH平行于BC交AB于G，交CD于H.
则满足S△PBC＝的点P的轨迹是线段GH.
所以满足条件“△PBC的面积小于”的点P应落在矩形区域GBCH内，设“△PBC的面积小于”为事件A，则A表示的范围是.
所以由几何概型求概率的公式，得P(A)＝＝.
【例题4】见教材（略）
达标检测答案：1．C　蜜蜂的飞行区域是棱长为30的正方体内部
V＝303＝27
000，蜜蜂安全飞行的区域是棱长为30－10－10＝10的正方体内部V′＝103＝1
000，所以蜜蜂飞行是安全的概率是＝.
2.　
解析：设线段AB的中点为C，如图所示，则点P在线段AC上时满足|PA|≤，设|PA|≤成立为事件M，则有P(M)＝＝＝.
3.　设点P(x，y)是区域D内任意一点，则即则区域D是直线x＝±2与y＝±2围成的正方形，
如图所示．区域E是以原点为圆心，半径为1的圆面．设点P落在区域E中为事件A，
则P(A)＝＝＝.
4.
　解析：如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
则△ABC的周长为3＋4＋5＝12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A，
则P(A)＝＝＝.
5．解：记事件M为“射线OA落在∠xOT内”，因为∠xOT＝60°，所以P(M)＝＝.
即射线OA落在∠xOT内的概率为.