3.3.1 几何概型 学案2（含答案）

3.3.1
几何概型
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________
课前预习
·
预习案
温馨寄语
立志在坚不欲说，成功在久不在速。——张孝祥
学习目标
1．掌握几何概型的概念.
2．会和几何概型的概率计算公式求几何概型的概率.
3．会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型.
学习重点
理解几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概率
学习难点
等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别
自主学习
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域
( http: / / www.21cnjy.com )的
(
或
)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为
.
2．几何概型的概率计算公式
预习评价
1．在区间[0，10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是
.
2．在长为10cm的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，这个正方形的面积介于16与36之间的概率为
.
3．在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球，假
( http: / / www.21cnjy.com )定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的，若取出1立方米的沙子.则取出的沙子中含有玻璃球的概率为
.
知识拓展
·
探究案
合作探究
1．几何概型的定义
根据下列试验回答问题：
赌博游戏：甲乙两赌徒掷骰子，规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜.
转盘游戏：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向区域时，甲获胜，否则乙获胜.
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(1)两个试验的结果有何特点？它们是古典概型吗，为什么？
(2)在两种转盘游戏中，甲获胜的概率与字母所在的扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？
(3)两个试验中概率的求法一样吗？你又是如何解决这些问题的？
2．几何概型的定义
根据几何概型的概念回答下列问题：
(1)从区间[-10，10]内任取出一个数，求取到1的概率.这个问题能看作是几何概型吗？
(2)几何概型与古典概型有什么区别？
3．几何概型概率的计算公式
根据几何概型概率的计算公式
回答问题：
(1)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关系吗？
(2)在几何概型中，概率为0的事件一定是不可能事件，概率为1的事件一定是必然事件.这种说法正确吗？为什么？
4．几何概型概率的计算公式
如图为一正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒石子.
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(1)若求石子落在圆内的概率，则构成事件的区域与哪个几何量有关？
(2)若记“石子落在圆内”为事件，则事件发生的概率
.
教师点拨
1．对几何概型中基本事件的理解
对于几何概型，我们将每个基本事件理解为从某
( http: / / www.21cnjy.com )个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样.一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.
2．几何概型的特点
(1)无限性：试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.
3．几何概型应用中的注意点
(1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.
(2)确定基本事件时一定要选准角度，注意基本事件的等可能性.
交流展示——几何概型的判断
1．某人向下列图中的靶子上
( http: / / www.21cnjy.com )射箭，假设每次射击都能中靶，且箭头落在任何位置都是等可能的，最容易射中阴影区的是
A.
B.
C.
D.
2．如图，在一个边长为a、b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为
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A.
B.
C.
D.
变式训练
1．在中，为三边的中点，若向该三角形内投点，且点不会落在三角形外，则落在三角形内的概率为
A.
B.
C.
D.
2．在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是
A.
B.
C.
D.
交流展示——与长度或角度有关的概率问题
3．某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达该汽车站的时刻是任意的,求事件A={一个乘客等车时间不超过3分钟}的概率.
4．在等腰直角△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM变式训练
3．函数，那么任意，使的概率为_________.
4．如图，∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在线段OB上任取一点C，
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试求：(1)△AOC为钝角三角形的概率.
(2)△AOC为锐角三角形的概率.
交流展示——与面积或体积有关的概率问题
5．在面积为S的的边上任取一点P，则的面积大于的概率是
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A.
B.
C.
D.
6．在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1-ABC内的概率是
A.
B.
C.
D.
变式训练
5．如图矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆有96颗,以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为
A.7.68
B.8.68
C.16.32
D.17.32
6．已知正方体内有一个内切球，则在正方体内任取点，点在球内的概率是
.
学习小结
1．判断几何概型的关键
(1)看其是否满足“等可能性”.
(2)判断基本事件的个数.古典概型基本事件有有限个，而几何概型则在试验中出现无限多个基本事件，且与构成事件的区域长度(面积或体积)等有关.
2．与长度有关的概率求解步骤
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3．与角度有关的同种几何概型
(1)涉及射线的转动问题.
(2)扇形中有关落点区域的问题，常以角度的大小作为区域的度量标准进行概率的计算.
4．求解与面积或体积有关的几何概型问题的步骤
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当堂检测
1．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为____.
2．如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为
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A.
B.
C.10
D.不能估计
3．在区间[－2，3]上任取一个实数a，则使直线ax＋y＋1＝0截圆O：x2＋y2＝1所得弦长的概率是____.
3.3.1
几何概型
详细答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．长度　面积　体积　几何概型
2．区域长度(面积或体积)
区域长度(面积或体积)
【预习评价】
1．0.4
2．
3．
知识拓展
·探究案
【合作探究】
1．(1)第一个试验包含的基本事件数是有限个，且每个事件的发生是等可能的，所以第一个试验满足古典概型；第二个试验指针指向圆弧上哪一点均是等可能的，基本事件数是无限多个，虽然每个事件发生也是等可能的，但不满足古典概型.
(2)与扇形的弧长(或面积)有关，与扇形区域所在的位置无关.
(3)不一样.第一个试验骰子的六个面上的数字是有限个的，且每次投掷都是等可能性的，因而可以利用古典概型公式求解；第二个试验指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的方向却是无限个的，因而无法利用古典概型求解，但可以借助几何图形的长度、面积比等分析概率.
2．(1)能.该事件发生的概率为0.从区间[-10，10]内任取出一个数，基本事件数是无限多个，每个事件发生也是等可能的，所以是几何概型.
(2)古典概型要求随机试验所包含的所有
( http: / / www.21cnjy.com )基本事件的个数必须是有限多个；几何概型要求随机试验所包含的基本事件应当是无限多个，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关.
3．(1)几何概型的概率只与构成事件的区域的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关.
(2)不正确.如果随机事件所在区域
( http: / / www.21cnjy.com )是一个单点A，由于单点A的长度、面积、体积均为0，根据几何概型概率的计算公式，则该事件出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点A，则该事件出现的概率为1，但它不是必然事件.
4．(1)事件所构成的区域与圆和正方形的面积有关.
(2)
【交流展示——几何概型的判断】
1．B
【解析】本题考查几何概型.A中的阴影占整个图形的，B中的阴影占整个图形的，C中的阴影占整个图形的，D中的阴影占整个图形的，所以选B.
2．C
【解析】本题考查几何概型.由图知，S矩形＝ab.
S梯形＝＝eq
f(5,12)ab.故所投的点落在梯形内部的概率为P＝＝＝.
【变式训练】
1．B
【解析】设的面积为S，则，所求概率为.
2．D
【解析】设取出的两个数为a，b，则a，b∈[0，10]，(a，b)构成区域的总面积为100，而a2＋b2≤10时，点(a，b)在以原点为圆心，以为半径的圆位于第一象限的区域，面积为，所以这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是面积之比，为.
【交流展示——与长度或角度有关的概率问题】
3．乘客可以在两辆车到站之间的任何一个时刻到达该汽车站,因此,每一个乘客到达该汽车站的时间t,可以看成是均匀地出现在长为5分钟的时间区间上的一个随机点.假设上一辆汽车于时刻T1开出,而下一辆汽车在时刻T2到达,线段T1T2的长等于5,T是T1T2上的一点,且TT2的长等于3,显然,乘客只有在时刻T之后到达,即只有t落在线段TT2上,等车时间才不会超过3分钟,因此P(A)==,其中L
(TT2)和L
(T1T2)分别为线段TT2和T1T2的长度.
4．在AB上取AC'=AC,则∠ACC'==67.5°.
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设事件A:“在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,AM则所有可能结果的区域角度为90°,事件A的区域角度为67.5°,所以P(A)==.
【变式训练】
3．
【解析】本题考查几何概型.
因为，即，所以概率为.
4．如图，由平面几何知识：
当AD⊥OB时，OD＝1；
当OA⊥AE时，OE＝4，BE＝1.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)当且仅当点C在线段OD或BE上时，△AOC为钝角三角形，记“△AOC为钝角三角形”
为事件M，则，即△AOC为钝角三角形的概率为0.4.
(2)当且仅当点C在线段DE上时，△AOC为锐角三角形，
记“△AOC为锐角三角形′′为事件N，则
，即△AOC为锐角三角形的概率为0.6.
【交流展示——与面积或体积有关的概率问题】
5．C
【解析】当P满足时，，故时，，故.
6．B
【变式训练】
5．C
【解析】由随机模拟的思想方法,可得豆子落在椭圆内的概率为=0.68.由几何概型的概率计算公式,可得=0.68,又S矩形=6×4=24,所以S椭圆=0.68×24=16.32.
6．
【解析】设正方体的棱长为2.正方体的内切球O的半径是其棱长的一半，其体积为.则点M在球O内的概率是.
【当堂检测】
1．0.005
【解析】大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型.设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则.
2．A
3．
【解析】如图.
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直线ax＋y＋1＝0截圆O：x2＋y2＝1所得弦长，则半弦长，
因为圆的半径等于1，所以圆心到直线ax＋y＋1＝0的距离，即，
得－2≤a≤－1或1≤a≤2.
又a∈[―2，3]，所以在区间[－2，3]上任取一个实数a，则使直线ax＋y＋1＝0截圆O：x2＋y2＝1所得弦长的概率是
.