广西大学附属中学2025届九年级下学期开学考试数学试卷（含答案）

广西大学附属中学2024-2025学年下学期九年级开学考试数学
一、单选题
1．2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．年我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是米．将数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，转动质地均匀的正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中，各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线，经过计算，四人成绩的方差关系为：s甲2＝s乙2，s丙2＝s丁2，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（ ）
A． B． C． D．
8．小明与家人乘车去翠湖游玩然后返回家中，小明与小明家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是（ ）
A．小明全家去翠湖时的平均速度为
B．小明全家停车游玩了4.5小时
C．小明全家返回时的平均速度为
D．小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时
9．如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
10．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线交于点．已知的面积为4.若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．12
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
14．已知3是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是 .
15．已知二次函数的图象上，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ．
16．如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）分式化简：．
18．如图，在中，，D是的中点，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
19．如图所示的拱桥，用弧表示桥拱．

(1)若弧所在圆的圆心为，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心．（不写作法，但要保留作图痕迹）
(2)若拱桥的跨度（弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求拱桥的半径．
20．数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 86 87
八年级 86 90
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：________，________，________；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？
21．如图，等边的边长为4，点在边上运动，过点作于点，过点作，交于点，连接，设，的面积为．
(1)求与的函数关系式，并确定自变量的取值范围；
(2)当为何值时，的面积有最大值？并求出最大值；
22．综合与实践
【问题提出】
在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：
如图1，中，，．点是边上的一动点（点不与，重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．
【初步感知】
（1）求证：A，，，四点共圆；
【深入探究】
（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
【延伸探究】
（3）已知，，点是边的中点，此时是四边形的外接圆，求出圆心与点距离的最小值．
23．如图，抛物线过点，顶点为．抛物线（其中为常数，且），顶点为．

(1)求出的值和点的坐标．
(2)当时，作直线，当与的交点到轴的距离恰为6时，求与轴交点的横坐标．
(3)设与的交点A，B的横坐标分别为，，且，点在上，横坐标为．点在上，横坐标为，若点是到直线的距离最大的点，最大距离为，点到直线的距离恰好也为，请用含和的式子表示．
参考答案
1．D
解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
2．B
解：
故选：B．
3．B
解：A. ，计算错误；
B. ，计算正确；
C. ，计算错误；
D. ，计算错误；
故选：B．
4．D
解：∵任意转动正六边形转盘一次，有6种等可能结果，当转盘停止转动时，指针指向小于4的数的有1、2、3这3种结果，
∴指针指向大于4的数的概率是．
故选：D．
5．C
解：解不等式得，
∴不等式组的解集为，
∴解集在数轴上表示如图：
故选：C．
6．A
解：由折线统计图知甲、丙的平均成绩高于乙、丁，
由甲成绩相对于平均成绩的波动幅度小于丙成绩相对于平均成绩的波动幅度，
∴这四人中甲的平均成绩好又发挥稳定，
故选A．
7．B
解：由题意得：，
∴；
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8．D
A． 小明全家去翠湖时的平均速度为，原说法正确，不符合题意；
B． 小明全家停车游玩了小时，原说法正确，不符合题意；
C． 小明全家返回时的平均速度为，原说法正确，不符合题意；
D． 小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为或小时，原说法错误，符合题意；
故选：D．
9．C
解：∵圆锥的母线长是 ，
∴底面周长是
∴圆锥体的侧面积是：
故选C．
10．B
解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；
B、二次函数图象开口向上，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、二次函数图象开口向下，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；
D、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．
故选：B．
11．C
解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，
由题意得：
解得：
个碗叠成一列高度为，
即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有，
故选：C．
12．B
解：过点M作ME⊥x轴于点E，如图所示：
∵轴，
∴ME∥BD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∵，
∴，
由题可知△OMB、△OBD的高是相同的，则有，
∴，
∵ME∥BD，
∴，
∴，
∴，
由反比例函数k的几何意义可得：，
∵，
∴；
故选B．
13．
解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
14．2
方程另一根为x，由根与系数的关系得：x+3=5，解得：x=2．
故答案为2．
15．
解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵当时，随的增大而减小，
∴，
故答案为：．
16．
解：过点作，则：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
17．（1）3；（2）
解：（1）
；
（2）
．
18．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：∵， D是BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）由（1）可知四边形是矩形．
∴，，，
∵D是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴
即，
∴．
19．(1)见解析
(2)拱桥的半径为米
（1）解：如图所示，作的垂直平分线，交于点，

（2）解：如图，

设为的中点，交于点，
∵，
∴，，
设拱桥的半径为，在中，，，
∵，
∴
解得：
∴拱桥的半径为米．
20．(1)88；87；40
(2)八年级学生数学文化知识较好，理由见解析
(3)310人
（1）解：八年级C组的人数为人，而八年级B组有4人，则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分，
∴八年级学生成绩的中位数；
∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多，
∴七年级的众数；
由题意得，，
∴；
故答案为：88；87；40；
（2）解：八年级学生数学文化知识较好，理由如下：
∵两个年级10名学生的平均成绩相同，但是八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高，
∴八年级学生数学文化知识较好；
（3）解：人，
∴估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有310人．
21．(1)
(2)当时，的面积有最大值，最大值为
（1）解：∵等边的边长为4，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，又，
∴，则，
∵，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的面积，
∵D在上，
∴，即，
∴；
（2）解：由于，
∵，，
∴当时，y取最大值，最大值为，
答：当时，的面积有最大值，最大值为．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）
（1）证明：由旋转的性质可得，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半径
∴是的切线；
（3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，
∵，
∴，
∵点M是边的中点，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
在中，，
∴，
由得，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴点P一定在的垂直平分线上，
∴点P在直线上，
∴当时，有最小值，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴圆心P与点M距离的最小值为．
23．(1)，
(2)或
(3)
（1）解：∵抛物线过点，顶点为Q．
∴，
解得：，
∴抛物线为：，
∴；
（2）解：当时，，
∴顶点，而，
∴设为，
∴，
解得：，
∴为；
如图，由题意，时两直线重合不符合题意，
∴，
解得，
∴交点，交点，
当直线过点时，
由直线，设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为：，
当时，，
此时直线与轴交点的横坐标为；
同理当直线过点，
直线为：，
当时，，
此时直线与轴交点的横坐标为，
综上，直线与轴交点的横坐标为或；
（3）解：如图，∵，，
∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，
如图，连接交于，连接，，，，
∴四边形是平行四边形，
当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，
此时与B重合，与A重合，
∵，，
∴的横坐标为，
∵，，
∴的横坐标为，
∴，
解得：；