1.3
第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________
课前预习
·
预习案
温馨寄语
危险、怀疑和否定之海，围绕着人们小小的岛屿，而信念则鞭策人，使人勇敢面对未知的前途。——泰戈尔
学习目标
1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解执行过程.
2．掌握秦九韶算法的计算过程，了解它在数学计算中的应用.
3．进一步体会算法的基本思想.
学习重点
利用辗转相除法和更相减损术求最大公约数
学习难点
如何用辗转相除法和更相减损术求解最大公约数
自主学习
1．辗转相除法
⑴作用：是用于用__________的一种方法，这种算法由欧几里得在公元前300年左右首先提出，因而又叫____________.
⑵算法步骤：
第一步，给定两个正整数.
第二步，计算除以所得的余数.
第三步，.
第四步，若_____________________，则的最大公约数等于m；否则，返回第二步.
2．更相减损术
⑴作用：是我国古代数学专著________________中介绍的一种求两个数最大公约数的方法.
⑵算法步骤：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是__________________.若是，用2约简；若不是，执行第二步.
第二步，以较大的数______________较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以________________减_________________.继续这个操作，直到所得的差与减数_________为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
3．秦九韶算法
把一个n次多项式改写成如下形式：,
求多项式的值，首先计算_______________一次多项式的值，即
，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即_____________，
，…
_____________________,
这样，求n次多项式的值就转化为求________________的值.
预习评价
1．辗转相除法可解决下列问题中的
A.求两个正整数的最大公约数
B.多项式求值
C.求两个正整数的最小公倍数
D.排序问题
2．用更相减损术可求得78与36的最大公约数是
A.24
B.18
C.12
D.6
3．运算速度快是计算机一个很重要的特点，而算法好坏的一个重要标志是______________.
4．求多项式的值时，首先计算最内层括号内一
( http: / / www.21cnjy.com )次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这样通过一次式的反复运算，逐步得出高次多项式的值的方法称作____________________.
5．用更相减损术求294和84的最大公约数时，第一步是_____________.
知识拓展
·
探究案
合作探究
1．辗转相除法与更相减损术
(1)用辗转相除法可以求两个正整数m，n的最大公约数，那么用什么逻辑结构来设计算法？其算法步骤如何设计？
(2)该算法的程序框图如何表示？该程序框图对应的程序如何表述？
(3)如果用当型循环结构设计算法，正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？
2．辗转相除法与更相减损术
(1)用更相减损术可以求两个正整数m，n的最大公约数，那么用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？
(2)该算法的程序框图如何表示？该程序框图对应的程序如何表述？
3．秦九韶算法
秦九韶算法的实质是什么：
4．秦九韶算法
依据秦九韶算法的过程填空：
=…
.
设____________________，
，
，
…
___________________.
教师点拨
1．辗转相除法与更相减损术概念的关注点
(1)辗转相除法与更相减损术有着相同的算法依据，但要注意运算过程的差别，辗转相除法的上一次运算的除数和余数分别作为下一次运算的被除数和除数，其结果直到余数为零得出.更相减损术在上一次运算结束后，比较减数和差的大小，将大的作为下一次运算的被减数，小的作为减数，直至出现相等数时得到结果.
(2)两者主要区别在于，辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除，更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但其实质都是一个不断的递推过程.
(3)两者在算法设计上有一个重要的区别点，
( http: / / www.21cnjy.com )辗转相除法，下一次进行相除时，由上一次的除数和余数直接相除即可.而更相减损术下一次相减前必须有一个判断大小的过程，以区别谁做被减数.
(4)用更相减损术求两正整数的最大公约数时，若两数为偶数，可先约去2，这时莫忘记求得的相等两数乘以约简的数才是所求最大公约数.
2．秦九韶算法的算法特点
秦九韶算法是多项式求值的优秀算法，其特点是：
(1)化高次多项式值为一次多项式求值.
(2)减少了运算次数，提高了效率.
(3)步骤重复执行，容易用计算机实现.
交流展示——辗转相除法和更相减损术的应用
1．下列说法中正确的个数为
①如果两个正整数互质，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积；
②如果两个正整数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数；
③两个正整数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质；
④两个正整数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.
A.1
B.2
C.3
D.4
2．利用辗转相除法求最大公约数，下列说法不正确的是
A.228和1995的最大公约数是57
B.78和36的最大公约数是6
C.85和357的最大公约数是34
D.153和119的最大公约数是17
3．分别用辗转相除法和更相减损术求282与470的最大公约数.
变式训练
1．用辗转相除法求294与84的最大公约数时,需要做除法的次数为
A.1
B.2
C.3
D.4
2．用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果.
(1)294,84；(2)228,1
995.
交流展示——用秦九韶算法求多项式的值
用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2时的值.
变式训练
利用秦九韶算法判断函数在[0，2]上是否存在零点.
学习小结
1．辗转相除法和更相减损术求最大公约数的注意点
(1)辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束除法运算，较小的数就是最大公约数.
(2)更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时停止减法，较小的数就是最大公约数.
2．利用秦九韶算法计算多项式的值的策略
(1)正确地将多项式改写，若在多项式中有几项不存在，可将这些项的系数看成0，即把这些项看做0×.
(2)由内向外逐次计算.
(3)每一步计算结果准确，由于下一次计算用到上一次计算的结果，应认真、细致地计算每一步.
当堂检测
1．用秦九韶算法计算f(x)=6x5-4x4+x3-2x2-9x时,需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为
A.5,4
B.5,5
C.4,4
D.4,5
2．用更相减损术求98和77的最大公约数,最后得到的“等数”是__________.
3．用辗转相除法求288与123的最大公约数.
1.3
第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
详细答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．(1)两个正整数的最大公约数
欧几里得算法
(2)r＝0
2．(1)《九章算术》
(2)偶数 减去 大数 小数 相等
3．最内层括号内 anx＋an－1 υ1x＋an－2
υ2x＋an－3 υn－1x＋a0
n个一次多项式
【预习评价】
1．A
2．D
3．运算次数
4．秦九韶算法
5．用2约简
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．(1)用循环结构设计算法，算法如下：
第一步，给定两个正整数m，n(m＞n).
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m＝n，n＝r.
第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m;否则，返回第二步.
(2)程序框图：
( http: / / www.21cnjy.com )
程序：
INPUT m，nDOr＝m
MOD
nm＝nn＝rLOOP
UNTIL r＝0PRINT mEND
(3)；程序框图：
( http: / / www.21cnjy.com )
程序：
INPUT m，nWHILE
n＞0r＝m
MOD
nm＝nn＝rWENDPRINT
mEND
2．(1)用循环结构设计算法，算法如下：
第一步，任意给定两个正整数m，n(m＞n).
第二步，设计m－n所得的差k.
第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示.
第四步，若m＝n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步.
(2)程序框图：
( http: / / www.21cnjy.com )
程序：
INPUT
m，nWHILE
m＜＞nk＝m－nIF
n＞kTHENm＝nn＝kELSEm＝kEND
IFWENDPRINT
mEND
3．秦九韶算法的实质是：求
( http: / / www.21cnjy.com )多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值时，转化为求n个一次多项式的值，共进行n次乘法运算和n次加法运算.这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法.
4．anx＋an－1 υn－1x＋a0
【交流展示——辗转相除法和更相减损术的应用】
1．D
2．C
【解析】本题考查了辗转相除法.1995=228×8+171，228=171×1+57，171=57×3，所以228和1995的最大公约数是57，A对；
78=36×2+6，36=6×6，所以78和36的最大公约数是6，B对；
357=85×4+17,85=17×5,所以85和357的最大公约数是17，C对；
1,53=119×1+34，119=34×3+17,34=17×2，所以153和119的最大公约数是17.D对.所以选C.
3．辗转相除法:
470=1×282+188,
282=1×188+94,
188=2×94,
∴282与470的最大公约数为94.
更相减损术:
470与282分别除以2得235和141.
又235-141=94,
141-94=47,
94-47=47,
∴470与282的最大公约数为47×2=94.
【变式训练】
1．B
【解析】本题考查了辗转相除法.因为294=84×3+42，84=42×2，所以需要做两次除法.
2．(1)294＝84×3＋42；84＝42×2.
所以294与84的最大公约数是42.
验证：因为294与84都是偶数可同时除以2，得147与42.
因为147－42＝105,105－42＝63,63－42＝21,42－21＝21，
所以294与84的最大公约数为21×2＝42.
(2)1
995＝8×228＋171；228＝1×171＋57；171＝3×57＋0，所以57就是228和1
995的最大公约数.
验证：1
995－228＝1
767,1
767－228＝1
539,1
539－228＝1
311,
1
311－228＝1
083,1
083－228＝855,855－228＝627,
627－228＝399,399－228＝171,228－171＝57,
171－57＝114,114－57＝57，
所以228与1
995的最大公约数是57.
【解析】本题考查了辗转相除法和更相减损术.
【交流展示——用秦九韶算法求多项式的值】
根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1
＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.
而x＝2，所以有υ0＝8，
υ1＝8×2＋5＝21，
υ2＝21×2＋0＝42，
υ3＝42×2＋3＝87，
υ4＝87×2＋0＝174，
υ5＝174×2＋0＝348，
υ6＝348×2＋2＝698，
υ7＝698×2＋1＝1
397.
所以当x＝2时，多项式的值为1
397.
【变式训练】
f(0)＝－1＜0，
下面用秦九韶算法求x＝2时，多项式的值.
多项式变形为
f(x)＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋0)x－1，
，
，
，
，
，
所以f(2)＝43＞0，
即f(0)·f(2)＜0，
所以函数在[0，2]上存在零点.
【当堂检测】
1．D
【解析】n次多项式需进行n次乘法运算;若各项均不为零,则需进行n次加法(或减法)运算,缺一项就减少一次加法(或减法)运算.f(x)中无常数项,故加法(或减法)运算的次数要减少一次,为5-1=4(次),乘法运算的次数为5.故选D.
2．7
【解析】本题考查了更相减损术.由更相减
( http: / / www.21cnjy.com )损术得：98-77=21；77-21=56；56-21=35；35-21=14；21-14=7；14-7=7.所以等数是7.
3．288=123×2+42,123=42×2+39,42=39×1+3,39=3×13,∴288和123的最大公约数是3.
【备注】辗转相除法是用大数除以小数
( http: / / www.21cnjy.com ),若余数不为零,再将小数和余数构成新的数对,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,这个较小的数就是所求的最大公约数.1.3
第2课时进位制
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________
课前预习
·
预习案
温馨寄语
成功并不能用一个人达到什么地位来衡量，而是依据他在迈向成功的过程中，到底克服了多少困难和障碍。——布克·华盛顿
学习目标
1．理解进位制的概念.
2．掌握不同进制数之间的转化方法.
3．了解进位制之间转化的程序框图和程序.
学习重点
熟练掌握各种进位制之间的转化
学习难点
熟练掌握各种进位制之间的转化
自主学习
1．进位制的概念及其表示
(1)概念：人们为了计数和运算方便而约定
( http: / / www.21cnjy.com )的记数系统.满二进一，就是二进制，满十进一，就是十进制，满k进一，就是___________________，k进制的基数是k，因此k进制需要使用__________________数字.
(2)表示：一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式________________________(,,…,,,,,…,,).
2．进位制之间的转化
(1)进制的数转化为十进制：若表示一个k进制的数，则转化为十进制数为：
=_______________________.
(2)非十进制的进制数(共有位)化为十进制数b的算法步骤：
第一步，输入,,的值.
第二步，将b的值初始化为0，的值初始化为1.
第三步，,.
第四步，判断_______________是否成立，若是，则执行第五步；否则，返回第三步.
第五步，输出b的值.
(3)将十进制化为k进制，用_________________，用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将所得的余数_________________，即为相应的k进制数.
预习评价
1．下列说法正确的是
A.是二进制数
B.十六进制就是满16进一
C.不同进制的数可以直接比较大小
D.十进制的数化为二进制的数采用除10取余法
2．以下各数有可能是五进制数的是
A.15
B.106
C.731
D.21
340
3．计算机使用的是________________进制数.
4．日常所用的时间(时、分、秒)采用的是______进制，满______进一.
5．k进制所用数字为0，1，2，3，4，5，则k=________；基数为_________.
知识拓展
·
探究案
合作探究
1．k进制化为十进制
常见的进位制有：二进制，七进制，十进制，十二进制，六十进制，它们的基数分别是什么？
2．k进制化为十进制
7进制数中的1，2分别表示什么？
3．k进制化为十进制
k进制数的组成数字有哪些？如果k=8，那么在八进制中，组成的数字有哪些？组成规律是什么？
4．十进制化k进制
根据十进制数89化为二进制数的竖式表示，思考：如图这种算法一般叫做什么方法？
( http: / / www.21cnjy.com )
5．十进制化k进制
把十进制化为k进制数的算法是什么？
6．十进制化k进制
如何进行两个非十进制数之间的转换？
教师点拨
1．k进制数的性质
(1)在k进制中，具有k个数字符号，
( http: / / www.21cnjy.com )例如十进制，有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字.十六进制有0~9和A,B,C,D,E,F共十六个数字.
(2)在k进制中，由低位向高位是按满k进一的规则进行记数.例如十进制，满十进一，二进制满二进一.
2．对k进制数基数的两点说明
(1)若一个数为十进制数，其基数可以省略不写.
(2)若是其他进位制的数，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出，常在数的右下角标明基数.
3．除k取余法的两个关注点
(1)要连续除：用k连续去除十进制数或所得的商，直到商为零为止.
(2)倒着写：把各步得到的余数倒写(即从下到上排列)就是相应的k进制数.
交流展示——k进制化为十进制
1．已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于
A.7或4
B.－7
C.4
D.都不对
2．下列各数转化成十进制后最小的数是
A.111111(2)
B.210(6)
C.1000(4)
D.81(9)
变式训练
1．二进制数算式1
010(2)＋10(2)的值是
A.1
011(2)
B.1
100(2)
C.1
101(2)
D.1
000(2)
2．下列有可能是4进制数的是
A.5
123
B.6
542
C.3
103
D.4
312
交流展示——十进制化为k进制
把十进制数99化为四进制数.
变式训练
把十进制数258化为十六进制数为
A.96(16)
B.98(16)
C.100(16)
D.102(16)
交流展示——不同进位制之间的互化
(1)将235(7)转化为十进制的数.
(2)将137化为六进制的数.
(3)将53(8)转化为三进制的数.
变式训练
4．将下列各进制数化为十进制数.
(1)10303(4)＝____________________.
(2)1234(7)＝____________________.
5．把五进制数1
234(5)转化为十进制数，再把它转化为八进制数.
学习小结
将k进制转化为十进制的方法技巧
(1)先将这个k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果.如.
(2)k的幂的最高次数是该k进制数的位数减去1，然后逐个减少1，最后是零次幂，我们称这种方法为方幂法.
当堂检测
四位二进制数能表示的最大十进制数是
A.4
B.64
C.255
D.15
1.3
第2课时进位制
详细答案
课前预习
·
预习案
【自主学习】
1．(1)k进制 k个
(2)anan－1…a1a0(k)
2．(1)an·kn＋an－1·kn－1＋…＋a1·k＋a0
(2)i＞n (3)除k取余法 倒序写出
【预习评价】
1．B
2．D
3．二
4．六十 六十
5．6 6
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．它们的基数分别是：2，7，10，12，60.
2．1表示1个71，2表示2个70.即12(7)＝1×71＋2×70＝9.
3．k进制数组成的数字有0，1，2，…，k－1共k个数.在八进制中一定有：基数是8，一共有0，1，2，3，4，5，6，7这八个不同的数字；组成规律是：“满八进一”，如：7＋1＝10(8).
4．这种算法叫做除2取余法.
5．把除2取余法推广为十进制数化为k进制数的算法，叫做除k取余法.
6．以十进制数作为桥梁，先将一个进制的数转化为十进制数，再将十进制数用除k取余法转化为另一进制的数.
【交流展示——k进制化为十进制】
1．C
【解析】132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，所以k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，
解得k＝4或k＝－7(舍去).
2．A
【解析】将它们都化为十进制数为：A表示63，B表示78，C表示64，D表示73.
【变式训练】
1．B
2．C
【交流展示——十进制化为k进制】
99=4×24+3；24=4×6+0；6=4×1+2；1=4×0+1，所以99=.
【解析】本题考查了进位制.
【变式训练】D
【解析】本题考查了进位制.因为258=16×16+2；16=16×1+0；1=16×0+1，所以258=102(16),选D.
【交流展示——不同进位制之间的互化】
(1)235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124(10).
(2)
( http: / / www.21cnjy.com )
所以137＝345(6).
(3)53(8)＝5×81＋3×80＝43.
( http: / / www.21cnjy.com )
所以53(8)＝1
121(3).
【变式训练】
4．(1)307 (2)466
【解析】(1)10303(4)＝1×44＋3×42＋3×40＝307.
(2)1234(7)＝1×73＋2×72＋3×71＋4×70＝466.
5．1
234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194(10).
因为194=5×38+4,38=5×7+3,7=5×1+2,1=50+×1，所以194=1234(5)，
所以1
234(5)＝194(10)＝302(8).
【解析】本题考查了进位制.
【当堂检测】
D
【解析】由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1
111时表示的十进制数最大，此时，1
111(2)＝15.
