1.2矩形的性质与判定 同步练习（含答案） 2025-2026学年北师大版数学九年级上

1.2矩形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上
一、选择题
矩形具有而菱形不具有的性质是
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
直角三角形的两条直角边的长分别为 ，，则斜边上的中线为
A． B． C． D．
对于四边形 ，给出下列 组条件：
① ，；
② ，；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ，．
其中能得到“四边形 是矩形”的有
A． 组 B． 组 C． 组 D． 组
如图，已知：四边形 是矩形．求证：．以下是排乱的证明过程：① ，；②又 ；③ 四边形 是矩形；④ ；⑤ ．证明步骤的正确顺序是
A．③①②⑤④ B．②①③⑤④ C．②⑤①③④ D．③⑤②①④
如图，把一张矩形纸片 沿对角线 折叠，点 的对应点为 ， 与 相交于点 ，则下列结论不一定正确的是
A． B．
C． D．
如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，，，线段 绕点 转动，与 ， 分别相交于点 ，，当 时， 的长为
A． B． C． D．
如图，在矩形 中，，，点 为 的中点．将 沿 折叠，使点 落在矩形内点 处，连接 ，则 的长为
A． B． C． D．
二、填空题
如图，在矩形纸片 中，，将矩形纸片折叠，边 ，边 与对角线 重合，点 与点 恰好落在同一点处，则矩形纸片 的周长是 ．
如图，在矩形 中，，，点 是边 上一动点，点 是对角线 的中点，连接 并延长交 于点 ，当 的长为 时，四边形 是菱形．
如图，在矩形 中，，， 是 上不与 和 重合的一个动点，过点 分别作 和 的垂线，垂足为 ，，则 的值为 ．
如图， 是矩形 的对角线，分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，，直线 交 于点 ，交 于点 ，若 ，，则线段 的长为 ．
如图，矩形 中，， 交于点 ，， 分别为 ， 的中点．若 ，则 的长为 ．
如图，在矩形 中，点 在对角线 上，过点 作 ，分别交 ， 于点 ，，连接 ，．若 ，，图中阴影部分的面积为 ，则矩形 的周长为 ．
如图， 是矩形 内的任意一点，连接 ，，，，得到 ，，，，设它们的面积分别是 ，，，，给出如下结论：
；
；
若 ，则 ；
若 ，则 点在矩形的对角线上．
其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
三、解答题
已知菱形 的对角线 与 相交于点 ，点 在 的延长线上，且 ，连接 ，点 是 中点，连接 ．求证：四边形 是矩形．
如图，矩形 中，点 在 轴上，点 在 轴上，点 的坐标是 ，矩形 沿直线 折叠，使得点 落在对角线 上的点 处，折痕与 ， 轴分别交于点 ，．
(1) 线段 ．
(2) 求点 的坐标．
(3) 若点 是 轴上的动点，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出满足条件的点 的坐标．
如图，在矩形 中， 是 的中点，连接 ，．
(1) 求证：．
(2) 若 ，，求 的周长．
如图，在 中，，，， 为 边上一动点， 于点 ， 于点 ．
(1) 求证：四边形 是矩形．
(2) 在点 的运动过程中， 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
如图，菱形 的对角线 和 交于点 ，分别过点 ， 作 ，， 和 交于点 ．
(1) 求证：四边形 是矩形．
(2) 当 ， 时，求 和 的长．
已知：矩形 中，， 是对角线的交点，过 任作一直线分别交 ， 于点 ，（如图①）．
(1) 求证：．
(2) 如图②，四边形 是由四边形 沿 翻折得到的，连接 ，求证：四边形 是菱形．
(3) 在（）的条件下，如图③，若 ，，动点 ， 分别从 ， 两点同时出发，沿 和 各边匀速运动一周．即点 自 停止，点 自 停止．在运动过程中，已知点 的速度为每秒 ，点 的速度为每秒 ，运动时间为 秒，当 ，，， 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 的值．
答案
一、选择题（共7题）
1. 【答案】B
【解析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解：
A.矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B.矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C.矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D.矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
2. 【答案】D
3. 【答案】D
4. 【答案】A
5. 【答案】D
6. 【答案】C
【解析】 四边形 是矩形，
，，
又 ，
为等边三角形，
，
，
线段 绕点 转动，，
，
四边形 为矩形，
．
7. 【答案】D
【解析】连接 ，交 于 ，则 垂直平分 ．
，点 为 的中点，
．
又 ，，
，
，则 ，
，
，
，
故选D．
二、填空题（共7题）
8. 【答案】
【解析】根据题意可知：，
，
所以 ，
所以
9. 【答案】
10. 【答案】
【解析】连接 ，如图所示：
矩形 的两边 ，，
，，
，，，
，，
．
11. 【答案】
【解析】如图，连接 ．
由作图可知， 垂直平分线段 ，
，
四边形 是矩形，
，
．
12. 【答案】
【解析】 ， 分别为 ， 的中点，
．
四边形 是矩形，
．
13. 【答案】
14. 【答案】
【解析】设 到 ，，， 的距离分别为 ，，，．
由三角形面积公式得 ，，，．
四边形 是平行四边形，
，．
由图可知 ，．
，
，
．
故 错误；
，
，
．
故 正确；
若 ，则 ，即 ，但无法确定 与 之间的关系，
无法确定 与 之间的关系．
故 错误；
如图所示，过点 作 ，．
若 ，
．
，即 ．
．
点 在矩形的对角线上，故 正确．
三、解答题（共6题）
15. 【答案】 ，
点是 中点，
点 是 中点，
是 中位线，
，．
四边形 是菱形，
，，
，，
，
四边形 是矩形．
16. 【答案】
(1)
(2) 由折叠的性质得：，，，
，，
设 ，则 ，，
在 中，由勾股定理得：，
即 ，解得：，
．
(3) 点 的坐标为 ， 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
代入得
解得
直线 的解析式为 ．
将 代入，得 ，
点 得坐标为 ，
①若 ，
则点 的坐标为 或 ；
②若 ，
，
，
点 的坐标为 ．
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
【解析】
(1) 四边形 是矩形，点 的坐标是 ．
，，，
．
17. 【答案】
(1) 在矩形 中，，，
是 的中点，
．
在 与 中，
．
(2) ， 是 的中点，
，
，
，
，
，
矩形 ，
，
的周长为 ．
18. 【答案】
(1) ，，
，，，
，
，
，，
，
四边形 是矩形．
(2) 存在．
连接 ．
四边形 是矩形，
，
当 时 最短，
，
．
19. 【答案】
(1) ，，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形，
，即 ，
平行四边形 是矩形．
(2) 在 中，，
，
，
，
，
四边形 是菱形，
，
四边形 是矩形，
，，
在 中，．
20. 【答案】
(1) 方法一：
连接 ，则 过点 ，
，
，
是对角线的交点，
，
在 和 中：
，
．
(2) 方法一：
矩形 ，
，，
，
，即 ，
四边形 是平行四边形，
由翻折得，，
四边形 是菱形．
(3) 设菱形 的边长为 ，则 ，
在 中，，
即 ，解得 ，
，
显然，当点 在 上时，点 在 上，此时 ，，， 四点不可能构成平行四边形，
同理，点 在 上时，点 在 或 上，此时 ，，， 四点也不可能构成平行四边形，
因此，只有点 在 上，点 在 上时，才能构成平行四边形，此时 ，
点 的速度为每秒 ，点 的速度为每秒 ，运动时间为 ，
，，
，解得 ，
以 ，，， 四点为顶点的四边形是平行四边形时，．
【解析】
(1) 方法二：
矩形 是中心对称图形，点 是对称中心，
得 ，，， 关于点 对称，
．
(2) 方法二：
由翻折得，，，，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形．