北京市西城区第四中学2025-2026学年新高上学期一分班考试数学试题（含答案）

北京市西城区第四中学2025-2026学年新高上学期一分班考试
数学试题
一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知满足，则代数式的值为( )
A. B. C. D. 无法确定
2.若，我们记，那么以下说法错误的是( )
A. B.
C. D.
3.直线满足( )
A. 随增大而增大 B. 一定不过第一象限
C. 无论取何值，必过定点 D. 与轴交于点
4.如图，、是两半圆的直径，过的直线分别交两半圆弧于点、，若，，则长为( )
A. B. C. D.
5.已知，且，则( )
A. B. C. D.
6.质数是方程的两根，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
7.方程的解是 ．
8.化简： ．
9.计算： ．
10.在中，，则 ．
11.一个布袋中装有个红球、个黄球和个蓝球，这个球除颜色外完全相同，先从布袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是 ．
12.化简： ； ．
13.如图，圆内接四边形边长顺次为、、、，则这个四边形面积为 ．
14.对于正数，用符号表示的整数部分，例如：点在第一象限内，以为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直．其中垂直于轴的边长为，垂直于轴的边长为，那么把这个矩形覆盖的区域叫做点的矩形域．例如：点的矩形域是一个以为对角线交点，长为，宽为的矩形所覆盖的区域，如图所示，它的面积为．

根据上面的定义，回答下列问题：
在图所示的坐标系中画出点的矩形域，该矩形域的面积是 ；
点的矩形域重叠部分面积为，则 ；
已知点在直线上，且点的矩形域的面积满足，那么的取值范围是 ．
三、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解不等式：
；
．
16.本小题分
分解因式：．
17.本小题分
解方程：．
18.本小题分
先阅读再解答：若二次函数，则，，已知：二次函数对非零实数有，求的值．
19.本小题分
已知：如图，圆和圆交于、两点，过点的直线交两圆于点、，点为的中点，直线交圆于点，交圆于点求证：．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点点在点左侧，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于、两点，点在轴右侧．

求出的值并在坐标系中画出抛物线；
点位于第二象限时，中点为，点在抛物线上，则以为对角线的四边形能否成为菱形？若能，求出点坐标；若不能，说明理由．
21.本小题分
一元二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的定义如下：平面上定直线及直线外的定点，到点与直线距离相等的动点的轨迹称为抛物线，其中定点称为抛物线的焦点，直线称为抛物线的准线例如：抛物线的焦点为，准线为．
求抛物线的焦点的坐标；
设点是焦点为的抛物线上的点，求证：以线段为直径的圆与轴相切；
设抛物线与轴相交于点、两点，且其顶点总在以线段为直径的圆内，求满足的关系．
22.本小题分
已知：是实数，当时，不等式恒成立．
求证：；
求证：当时，；
设，当时，的最大值为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由满足，可得，
即，故，
则，
故选：
2.【答案】
【解析】对于，设，则，
由，则，即，故 A正确；
对于，设，则，可得，故 B正确；
对于，设，则，即，可得，故 C正确；
对于，设，则，显然不成立，故 D错误；
故选：．
3.【答案】
【解析】对于，当时，随增大而减小，所以 A错误；
对于，当时，，此时函数图象过第一、二、三象限，所以 B错误；
对于，由，得，因为无论取何值，上式恒成立，
所以，得，所以直线恒过定点，所以 C正确；
对于，当时，，所以直线与与轴交于点，所以 D错误．
故选：
4.【答案】
【解析】
连接，

则，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】因为，
所以
，
而，故，
故，
故选：
6.【答案】
【解析】因为是方程的两根，所以，
又是质数，不妨设，则，
所以．
所以．
故选：．
7.【答案】或
【解析】由方程可知，
则，即，
故或，经检验或是的解，
故答案为：或
8.【答案】
【解析】．
故答案为：．
9.【答案】
【解析】
，
故答案为：
10.【答案】
【解析】由余弦定理可得．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】如图：
取两次球，总共种情况，其中两次摸出的球颜色相同的有种，
故概率为．
故答案为：．
12.【答案】

【解析】
，
，
故答案为：；
13.【答案】
【解析】如图，

设，设则，
在中，分别由余弦定理得：
，
，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
或

【解析】 点的矩形域如图所示，该矩形域的面积是．

点的矩形域平行于轴的边长均为，且两点纵坐标相同，
点的矩形域重叠部分也是一个矩形，且平行于轴的边长为，
重叠部分其面积为，其平行于轴的边长为．
当时，如图：

则，解得；
当时，如图：
，解得．
的值为或．
当，，，
当时，，，
平行与轴平行的矩形域的边长为，
，
．
故答案为：；或；．
15.【解析】由，则移项可得，不等号左边通分可得，
化简可得，等价于，解得．
由，则移项化简可得，分解因式可得，
解得或．

16.【解析】

17. 【解析】等式两边分别平方可得，
化简可得，
等号两边分别平方可得，
化简可得，等号左边分解因式可得，
解得或，
由，解得，则．

18. 【解析】因为二次函数对非零实数有，
所以，
，
令，则，所以，
所以由，可得，
所以，解得或，
当时，，得，
因为，所以方程无实数解，
当时，，得，
所以，解得或，
综上，或．

19. 【解析】连接，在圆中，，
在圆中，，故；

又点为的中点，故；
又，故≌，
故．

20.【解析】由抛物线与轴交于点，，．
抛物线图象如下图所示：

能，如下图所示．

由可知：抛物线，则顶点，．
令，即，解得或，，．
设直线的方程为：．
由过点，，，直线的方程为：．
联立方程组，消去，化简整理得，
．
设，，则由韦达定理可得，，
，
，，．
四边形是平行四边形，又，线的方程为：．
联立方程组，消去，化简整理得，即，解得或，
，，．
中点为，．
将代入抛物线方程可得，解得，．
点位于第二象限，点在轴右侧，，此时，．
，，，此时满足四边形为菱形．
综上，存在以为对角线的四边形为菱形，此时．

21.【解析】由题意可得，
由题意我们证明抛物线上的点到的距离和到直线的距离相等；
设抛物线上任一点为，设，
则
，
而到直线的距离为，
故抛物线上的点到的距离和到直线的距离相等；
所以抛物线的焦点的坐标为．
点是焦点为的抛物线上的点，
先说明的焦点为，准线方程为；
设抛物线上任一点为，设，
则
，
而到直线的距离为，
故抛物线上的点到的距离和到直线的距离相等，
则的焦点为，准线方程为；
不妨假设，则，
如图，设的中点为，作垂直于轴，垂足为，

则，而，
即，故以线段为直径的圆与轴相切；
抛物线与轴相交于点、两点，设，
则是的两个实数根，则，
且，即；
而的顶点为，
以线段为直径的圆，圆心为，即，
半径为，
因为抛物线顶点总在以线段为直径的圆内，
所以顶点到圆心的距离小于，即，
结合，即得，则，即，
故满足的关系是．
22.【解析】因为当时，不等式恒成立．
所以时，不等式成立，
所以．
记，则，
由已知，
所以当时，
，
当且仅当或或或时等号成立，
当时，，由知，．
所以，所以，即．
设，
由已知，当时，，又当时，，
所以当时，，取最小值，
所以的对称轴为，又，
所以，，
综上，．

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