3.2.1 古典概型 学案2（含答案）

3.2.1
古典概型
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________
课前预习
·
预习案
温馨寄语
先相信自己，然后别人才会相信你。——罗曼·罗兰
学习目标
1．理解基本事件的概念，能准确表示出基本事件，求出基本事件个数.
2．理解古典概型的概念及特点，掌握古典概型的概率计算公式.
3．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率.
学习重点
1．理解古典概型的概念
2．利用古典概型求解随机事件的概率
学习难点
1．如何判断一个试验是否是古典概型
2．分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数
自主学习
1．基本事件
(1)定义：一次试验中，所有出现的基本结果中不能再分的最简单的
称为该试验的基本事件.
(2)特点：
①任何两个基本事件是
的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2．古典概型
将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典模型.
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有
.
(2)每个基本事件出现的可能性
.
3．古典概型的概率计算公式
古典概型概率计算公式，表示
，表示
.
预习评价
1．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是
A.
B.
C.
D.
2．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为
.
3．掷一枚骰子，骰子落地向上的数是奇数的概率为
.
4．有长度分别为2，3，4，5的四条线段，则以其中三条线段为边可以构成三角形的概率是
.
知识拓展
·
探究案
合作探究
1．基本条件
抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续抛掷三次质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？
2．基本条件
上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件成为基本事件.在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？
3．古典概型的判断
一个容器内有10个大小、形状完全相同的球，将球编号为1~10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球，思考下面的问题：
(1)从容器中任取一球可能出现的不同情况有多少种？
(2)每个编号的球被取出的机会是否相等？
(3)这样的随机试验是古典概型吗？
4．古典概型的判断
根据古典概型的概念思考下面的问题：
(1)向一圆面内随机投一个点，若该点落在圆内任意一点都是等可能的，是古典模型吗？为什么？
(2)射击运动员向一靶心进行射击，这一试
( http: / / www.21cnjy.com )验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、…命中1环和命中0环(即不命中)，你认为这是古典概率模型吗？为什么？
5．古典概型的概率公式
根据古典概型的概率计算公式思考下面的问题.
(1)该公式适用的条件是什么？
(2)利用古典概型的概率计算公式，计算随机事件的概率的关键是什么？
6．古典概型的概率公式
根据古典概型的概念和概率公式回答下列问题：
(1)如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，若事件包含的基本事件数有m个，那么事件的概率为多少？
(2)次试验中，随机事件发生次，随机事件发生的频率为；如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，若事件包含的基本事件个数有个，古典概型的；二者有什么区别？
教师点拨
1．基本事件应满足的条件
(1)不同的基本事件在一次试验中不可能同时发生.
(2)所有基本事件的和应为必然条件.
2．试验和基本事件的关系
做一次试验只能产生一个基本事件，即一个基本事件是某一次试验出现的结果；不能把几次试验的结果混为一个基本事件.
3．古典概型的特征
(1)有限性：所有可能出现的基本事件只有有限个.
(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的.
4．古典概型的判断
一个试验是不是古典概型，关键在于这个试验是
( http: / / www.21cnjy.com )否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.只有两个特征都具备时，这个试验才可看做古典概型.
5．使用古典概型概率公式的注意点
(1)首先要判断该概率模型是不是古典概型.
(2)要找出随机事件所包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.
交流展示——求基本事件及基本事件数
1．甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是
A.
B.
C.
D.
2．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为
A.
B.
C.
D.
变式训练
1．一个家庭有两个小孩,则所有可能的基本事件有
A.(男,女),(男,男),(女,女)
B.(男,女),(女,男)
C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)
D.(男,男),(女,女)
2．在一个盒子中装有6枝圆珠笔，其中3枝为一等品，2枝为二等品和1枝为三等品，从中任取3枝，恰有一枝一等品的概率为_________.
交流展示——古典概型的判断
3．下列试验中是古典概型的有
A.种下一粒大豆观察它是否发芽
B.在数轴上-1~2之间任取一点x,观察x是否小于0
C.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面的情况
D.某人射击中靶或不中靶
4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别有点1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为X,Y，则log2XY=1的概率为
A.
B.
C.
D.
5．已知直线，直线，其中，则直线的概率为
.
变式训练
3．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，出现一枚正面、二枚反面的概率等于
A.
B.
C.
D.
4．从边长为1的正方形的中心和顶点这五个点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是____.
5．小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y;
(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个 试求点(x，y)落在直线上的概率；
(2)规定：若，则小王赢；若，则小李赢，其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗 请说明理由.
交流展示——古典概型的概率计算
袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个.有放回地抽取3次，求：
(1)3个全是红球的概率.
(2)3个颜色全相同的概率.
(3)3个颜色不全相同的概率.
(4)3个颜色全不相同的概率.
变式训练
同时抛掷两枚骰子(各个插上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，计算：
(1)向上的数相同的概率；
(2)向上的数之积为偶数的概率.
学习小结
1．列基本事件的三种方法
(1)列举法：一一列出所有基本事件的结果，一般适用于较简单的问题；
(2)列表法：一般适用于较简单的试验方法；
(3)树状图法：一般适用于较复杂问题中基本事件个数的探求.
2．列举基本事件的注意点
列举时，要注意分清“有序”还是“无序”，按一定次序进行列举，防止重复和遗漏，采用列表、树状图等直观手段是防止重复和遗漏的有效方法.
3．古典概型的判断方法
判断一个事件是否为古典概型，关键是看它是否
( http: / / www.21cnjy.com )具备古典概型的两个特征：(1)一次试验中，所有可能出现的结果只有有限个.(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的.
4．利用公式求解古典概型概率问题的步骤
(1)判断是否为古典概型.
(2)计算基本事件的总个数n和事件A包含的基本事件个数m.
(3)求出事件A的概率
当堂检测
1．设一元二次方程x2＋bx＋c＝0，若b、c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为
A.
B.
C.
D.
2．先后抛掷两枚大小相同的骰子.
(1)求点数之和为7的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率.
3．做投掷2个骰子试验，用(x，y)表示点P的坐标，其中x表示第1个骰子出现的点数，y表示第2个骰子出现的点数.
(1)求点P在直线y=x上的概率.
(2)求点P不在直线y＝x＋1上的概率.
(3)求点P的坐标(x，y)满足16＜x2＋y2≤25的概率.
3.2.1
古典概型
详细答案
课前预习
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预习案
【自主学习】
1．(1)随机事件　(2)①互斥
2．(1)有限个　(2)相等
3．事件A包含的基本事件的个数
【预习评价】
1．D
2．
3．
4．
知识拓展
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探究案
【合作探究】
1．抛掷两枚硬币的结果有：
( http: / / www.21cnjy.com )(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4种可能结果.抛掷3枚硬币有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)共8种可能结果.
2．由于任何两种结果都不可能同时发生，所以它们的关系是互斥关系.
3．(1)因为共有10个球，所以任取一球可能的情况有10种.
(2)相等，因为这些球的大小、形状完全相同，所以10个球中，任意一个球被取出的机会相等，均为.
(3)是古典概型.试验的结果共有10个，为有限个；每个基本事件出现的可能性均等，故是古典概型.
4．(1)不是.因为试验的所有可能结果是圆内所有点，试验的所有可能结果数是无限的.
(2)不是.因为所有可能的结果不是等可能的.
5．(1)该公式适用于古典概型的概率计算.
(2)解决古典概型的关键是分清基本事件数n和事件A所包含的基本事件个数.
6．(1)出现的可能性都相等，每个结果出现的可能性均为，事件A包含的基本事件数有m个，所以事件A发生的概率为.
(2)如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，若事件A包含的基本事件数有m个，由于m，n都是定值，所以事件A的概率是个定值.而频率中的m，n均随试验次数的变化而变化，但一般来说频率随着试验次数的增加总是趋近于P(A).
【交流展示——求基本事件及基本事件数】
1．D
2．C
【解析】从这4张卡片中随机抽取2张共有
( http: / / www.21cnjy.com )6个基本事件，2张卡片上的数字之和为奇数包括(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)共4个基本事件.
【变式训练】
1．C
【解析】两个孩子有先后出生之分.
2．
【解析】本题考查古典概型.从6枝圆珠笔中任取3枝共有20种结果，若恰有一枝为一等品共有3×3=9种结果，所以概率为.
【交流展示——古典概型的判断】
3．C
【解析】A中基本事件“发芽”与“未
( http: / / www.21cnjy.com )发芽”不一定是等可能发生的;B中试验的基本事件有无数个;D中“中靶”“不中靶”不一定是等可能发生的.因此A,B,D都不是古典概型,故选C.
4．C
【解析】本题考查古典概型.
由题意，满足条件的(X,Y)共有36种情况，因为log2XY=1，所以Y=2X,基本事件有(1,2)，(2,4)，(3,6)共3种情况，所以概率为，选C.
5．
【解析】因为，
所以a，b各有6种取法，
所以总事件数是36，
而满足条件的只有两组数a＝2，b＝4；a＝3，b＝6.
所以.
【备注】【误区警示】本题易出现将所
( http: / / www.21cnjy.com )求事件含的基本事件中含有a＝1，b＝2的错误，实际上此种情况下两直线重合，不是平行的情况.错误的原因是没有准确理解题意.
【变式训练】
3．C
4．
【解析】如图，正方形ABCD，O为正方形的中心，从A，B，C，D，O五点中任取两点，所构成的基本事件有：AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共10个.其中距离为的两点有：OA，OB，OC，OD共4个.
故该两点间的距离为的概率为.
( http: / / www.21cnjy.com )
5．(1)因x，y都可取1，2，3，4，5，6，故以(x，y)为坐标的点共有36个.记点(x，y)落在直线x＋y＝7上为事件A，事件A包含的点有：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)共6个，所以事件A的概率.
(2)记为事件B，x＋y≤4为事件C，用数对(x，y)表示x，y的取值.
则事件B包含(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)(6，5)(6，6)共6个数对；
事件C包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个数对.
由(1)知基本事件总数为36个，所以
，
，
所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的.
【备注】【拓展提升】巧用概率解释实际问题：
概率与现实生活中的大量的随机现象密不可分，可
( http: / / www.21cnjy.com )以说概率从生活中来，同时利用概率知识又可以解释生活中的一些随机问题.例如，本题中对游戏公平与否的概率解释，就体现了概率知识在解决生活中随机现象的独到之处.
【交流展示——古典概型的概率计算】
因为是有放回的抽取，所以共有3×3×3=27种取法，
(1)设事件A={3个全是红球}，有1种取法，所以.
(2)设事件B={3个颜色全相同},有3种取法，所以.
(3)设事件C={3个颜色不全相同},与事件B为对立事件，所以.
(4)设事件D={3个颜色全不相同}，有6种取法，所以.
【解析】本题考查古典概型.
【变式训练】
每掷1个骰子都有6种情况，所以同时掷两个骰子总的结果数为6×6＝36.
(1)向上的数相同的结果有6种，故其概率为.
(2)向上的数之积为偶数的情况比较多，可以先考虑其对立事件，即向上的数之积为奇数.向上的数之积为奇数的基本事件有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共9个，故向上的数之积为奇数的概率为.
根据对立事件的性质知，向上的数之积为偶数的概率为
.
【当堂检测】
1．D
【解析】本题考查古典概型.因为b，c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，用(x，y)表示，所以x，y都有1,2,3,4,5,6几个点数，所以一共有36种情况.由方程有实数根知，Δ＝b2－4c≥0，即(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共19种.所以方程有实数根的概率是.
2．先后抛掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示两枚骰子的点数，每个骰子的点数都有6种情况，共有36种结果.
(1)设A={点数之和为7},结果有(1,6)，(2,5)，(3，4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共6种结果，所以
点数之和为7的概率.
(2)设B={出现两个4点}，结果有(4,4)共1种，所以出现两个4点的概率.
(3)设C={点数之和能被3整除}，结果有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4,)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)共12种，所以点数之和能被3整除的概率.
【解析】本题考查古典概型.
3．(1)设点P在直线y＝x上的事件为A，做该试验总的基本事件个数有6×6＝36个.
事件A包含的基本事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)共6个，
所以.
(2)设点P不在直线y＝x＋1上的事件为B，
则对立事件包含的基本事件有(1，2)，(2，3.)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，共5个，
所以.
(3)设点P的坐标(x，y)满足16＜x2＋y2≤25的事件为C，事件C包含的基本事件有(1，4)，(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共7个，所以.