11.1.1三角形的边
图片预览
文档简介
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
一、基础题训练
1．（2015?南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）
2．（2015?青海）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16
3．（2016?端州区一模）已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长的取值范围是 ．
4．（2016春?枣庄校级月考）如果三角形的三边长度分别为3a、4a、14，则a的取值范围是 ．2-1-c-n-j-y
5．（2016?西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
6．（2015?朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 ．【版权所有：21教育】
7．（2016?长沙）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．11
．
8．（2015春?太康县期末）在△ABC中，AB=9，AC=2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长21*cnjy*com
二、中档题训练
9．（2015?佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 个．
10．（2016春?江都区校级月考）已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|= ．21教育网
11．（2015?黄冈中学自主招生）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．1＜x＜ B． C． D．
12．（2016春?乐亭县期末）如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
13．（2014秋?富顺县校级期末）如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．21世纪教育网版权所有
三、综合题训练
14．（2015春?宜阳县期末）已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数．21·cn·jy·com
（1）请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长．
（2）若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值．
15．（2014春?苏州期末）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．
（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．www.21-cn-jy.com
（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．www-2-1-cnjy-com
（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 21*cnjy*com
（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1，如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
2．（2015?青海）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16
【考点】三角形三边关系．21世纪教育网
【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是4和10，
∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．21cnjy.com
4．（2016春?枣庄校级月考）如果三角形的三边长度分别为3a、4a、14，则a的取值范围是 2＜a＜14 ．【出处：21教育名师】
【考点】三角形三边关系．21世纪教育网
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，列不等式组求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
，
解得2＜a＜14．
【点评】此题要能够根据三角形的三边关系列不等式组，熟练解不等式组．
6．（2015?朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 8 ．21教育名师原创作品
【考点】三角形三边关系．21世纪教育网
【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3﹣2＜x＜3+2，然后再确定x的值，进而可得周长．
【解答】解：设第三边长为x，
∵两边长分别是2和3，
∴3﹣2＜x＜3+2，
即：1＜x＜5，
∵第三边长为奇数，
∴x=3，
∴这个三角形的周长为2+3+3=8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
9．（2015?佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 20 个．
【考点】三角形三边关系．21世纪教育网
【分析】利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可．
【解答】解：∵各边长度都是整数、最大边长为8，
∴三边长可以为：
1，8，8；
2，7，8；2，8，8；
3，6，8；3，7，8；3，8，8；
4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；
5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；
6，6，8；6，7，8；6，8，8；
7，7，8；7，8，8；
8，8，8；
故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．
12．（2016春?乐亭县期末）如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
【考点】三角形三边关系；平行线的性质．21世纪教育网
【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；
（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5，
∴1＜DC＜9；
（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，
∴∠AEC=55°，
又∵∠A=55°，
∴∠C=70°．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度数是解题关键．
【解答】证明：在△ABP中：AP+BP＞AB．
同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC．
以上三式分别相加得到：
2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，
即PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．
【点评】解本题的本题的关键是多次运用了三角形的三边关系定理．
15．（2014春?苏州期末）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．
（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．2·1·c·n·j·y
（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．21·世纪*教育网
（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1，如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由：
11.1 与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
一、基础题训练
1．（2015?南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）
2．（2015?青海）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16
3．（2016?端州区一模）已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长的取值范围是 ．
4．（2016春?枣庄校级月考）如果三角形的三边长度分别为3a、4a、14，则a的取值范围是 ．2-1-c-n-j-y
5．（2016?西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
6．（2015?朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 ．【版权所有：21教育】
7．（2016?长沙）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．11
．
8．（2015春?太康县期末）在△ABC中，AB=9，AC=2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长21*cnjy*com
二、中档题训练
9．（2015?佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 个．
10．（2016春?江都区校级月考）已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|= ．21教育网
11．（2015?黄冈中学自主招生）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．1＜x＜ B． C． D．
12．（2016春?乐亭县期末）如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
13．（2014秋?富顺县校级期末）如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．21世纪教育网版权所有
三、综合题训练
14．（2015春?宜阳县期末）已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数．21·cn·jy·com
（1）请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长．
（2）若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值．
15．（2014春?苏州期末）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．
（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．www.21-cn-jy.com
（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．www-2-1-cnjy-com
（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 21*cnjy*com
（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1，如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
2．（2015?青海）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16
【考点】三角形三边关系．21世纪教育网
【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是4和10，
∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．21cnjy.com
4．（2016春?枣庄校级月考）如果三角形的三边长度分别为3a、4a、14，则a的取值范围是 2＜a＜14 ．【出处：21教育名师】
【考点】三角形三边关系．21世纪教育网
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，列不等式组求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
，
解得2＜a＜14．
【点评】此题要能够根据三角形的三边关系列不等式组，熟练解不等式组．
6．（2015?朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 8 ．21教育名师原创作品
【考点】三角形三边关系．21世纪教育网
【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3﹣2＜x＜3+2，然后再确定x的值，进而可得周长．
【解答】解：设第三边长为x，
∵两边长分别是2和3，
∴3﹣2＜x＜3+2，
即：1＜x＜5，
∵第三边长为奇数，
∴x=3，
∴这个三角形的周长为2+3+3=8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
9．（2015?佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 20 个．
【考点】三角形三边关系．21世纪教育网
【分析】利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可．
【解答】解：∵各边长度都是整数、最大边长为8，
∴三边长可以为：
1，8，8；
2，7，8；2，8，8；
3，6，8；3，7，8；3，8，8；
4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；
5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；
6，6，8；6，7，8；6，8，8；
7，7，8；7，8，8；
8，8，8；
故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．
12．（2016春?乐亭县期末）如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
【考点】三角形三边关系；平行线的性质．21世纪教育网
【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；
（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5，
∴1＜DC＜9；
（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，
∴∠AEC=55°，
又∵∠A=55°，
∴∠C=70°．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度数是解题关键．
【解答】证明：在△ABP中：AP+BP＞AB．
同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC．
以上三式分别相加得到：
2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，
即PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．
【点评】解本题的本题的关键是多次运用了三角形的三边关系定理．
15．（2014春?苏州期末）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．
（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．2·1·c·n·j·y
（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．21·世纪*教育网
（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1，如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由：