2024-2025学年山东省淄博市临淄区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）(含答案)

2024-2025学年山东省淄博市临淄区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．）
1．（4分）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是（　　）
A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．AB＝5，BC＝3，AC＝8
C．∠C＝90°，AB＝6 D．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
3．（4分）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，△ABC的周长为23cm，若AB＝6cm，EF＝8cm，则AC的长是（　　）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
4．（4分）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．AB＝2BF B．∠ACE∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
5．（4分）已知△ABC两条边的长分别为5和8，若第三边长为5的倍数，则第三边的长度是（　　）
A．5 B．5或10 C．10或15 D．15
6．（4分）如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为（　　）
A．6平方厘米 B．12平方厘米
C．24平方厘米 D．3平方厘米
7．（4分）已知△ABC三边长a，b，c，且满足（a﹣2）2+|b﹣2|+|c﹣3|＝0，则此三角形一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．不等边三角形
8．（4分）如图，数学课上老师布置了“测量酸奶瓶内部底面的内径”的探究任务，小熙想到了以下方案：如图，用图钉将两根吸管AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（　　）
A．边边边
B．全等三角形的对应角相等
C．边角边
D．三角形的稳定性
9．（4分）等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（4分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，将Rt△ABC纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边BC上的点E处，BD为折痕，则下列四个结论：①BD平分∠ABC；②AD＝DE；③DE＝DC；④△DEC的周长为4，其中正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 　 　 ．
12．（4分）如图，点O是△ABC的重心，则BD　 　 CD．（填“＞”“＝”或“＜”）
13．（4分）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的小正方形为 　 　 （填序号）．
14．（4分）如图，将△ABC沿AC所在的直线翻折得到△AB'C，再将△AB'C沿AB'所在的直线翻折得到AB′C′，若点B，B'，C'在同一条直线上，∠BAC＝α．有下列结论：
①AB′C′≌△ABC，
②BB'⊥AC，
③∠CB'B＝2α，
其中正确的说法是 　 　 ．（填序号即可）
15．（4分）在钝角△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO＝AC，BC＝a，CD＝b，则AD的长为　 　 ．
三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（10分）已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a．
17．（10分）如图，AB＝AE，∠B＝∠AED，∠1＝∠2，求证：AC＝AD．
18．（10分）如图，已知在四边形中ABCD，AD∥BC，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，∠BAE＝46°，且△ABE≌△EDA．
（1）求∠ADE的度数；
（2）若△EDA≌△DEC，试判断AE与CD之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
19．（10分）如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN．
20．（12分）如图所示，已知在△ABC中，∠C＝60°，且高BE经过高AD的中点F，若BE＝20，求BF、EF的长．
21．（12分）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架 AC＝8，AB＝6，两轮中心的距离BC＝10，滚轮半径r＝2．
（1）判断△ABC 的形状，并说明理由．
（2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝13，AE＝5，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．
22．（13分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交CB的延长线于点F，连接DE，AF．
（1）判断DE与AC的位置关系，并证明你所得的结论；
（2）求证：∠C＝∠EAF．
23．（13分）已知△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．
（1）试说明BD＝CE；
（2）延长BD，交CE于点F，试说明BD⊥CE；
（3）若如图2放置，BD＝CE与BD⊥CE还成立吗？请说明理由．
2024-2025学年山东省淄博市临淄区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C B A A C B C
1．解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
2．解：A、∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，角边角，可以画出唯一三角形，故本选项正确；
B、AB＝5，BC＝3，AC＝8，5+3＝8，不能构成三角形，故本选项错误；
C、∠C＝90°，AB＝6，可画出多个三角形，故本选项错误；
D、AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，∠A并不是AB，BC的夹角，所以可画出多个三角形； 故本选项错误．
故选：A．
3．解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴△ABC≌△DEF；
∴BC＝EF＝8cm，
∵△ABC的周长为23cm，AB＝6cm，
∴AC＝23﹣6﹣8＝9（cm），
∴AC的长为9cm；
故选：C．
4．解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
5．解：由题意，可得8﹣5＜c＜5+8，即3＜c＜13，
∵第三边长为5的倍数，
∴第三边长是5或10．
故选：B．
6．解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：4（厘米），
可得这个直角三角形的面积为：4＝6（平方厘米）．
故选：A．
7．解：由题意可知，（a﹣2）2+|b﹣2|+|c﹣3|＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣2＝0，c﹣3＝0，
∴a＝2，b＝2，c＝3．
∴a＝b，
∴此三角形是等腰三角形，
所以此三角形一定是等腰三角形．
故选：A．
8．解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD，
∴此方案依据判断三角形全等的SAS公理，
故选：C．
9．解：如图，连接AD，AM．
由题意可得：AD⊥BC，
∴，
∴AD＝7，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AM＝BM，
∴BM+DM＝AM+DM，
∴当A，M，D三点共线时BM+DM最小，
∴AD的长为BM+DM的最小值，
故选：B．
10．解：在Rt△ABC纸片中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴，
将Rt△ABC纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边BC上的点E处，BD为折痕，
∴BE＝AB＝4，AD＝DE，∠ABD＝∠EBD，
∴CE＝BC﹣BE＝1，BD平分∠ABC，
∴△DEC的周长＝DE+CE+CD＝AD+CD+CE＝AC+CE＝4，
故①②④正确；
由对折可得：∠A＝∠BED＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE＜DC，
故③错误；
∴正确的只有①②④，
故选：C．
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
11．解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠DEF＝∠B＝60°，
∵DF∥AC，
∴∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF＝EF，
∵点E，F是BC边的三等分点，
∴AB＝3EF，
∵AB＝8，
∴△DEF的周长为：DE+DF+EF＝3EF＝AB＝8，
故答案为8．
12．解：根据重心是三角形三条中线的交点，得到BD＝CD，
故答案为：＝．
13．解：只有将②④⑤中的一个小正方形涂黑，图中的阴影部分才构成轴对称图形，
故答案为：②④⑤．
14．解：①由翻折可知：△ABC≌△AB′C，△AB′C≌△AB′C′，
∴△ABC≌△AB′C′；故①正确；
②由翻折可知：点B与点B′关于AC对称，
∴AC⊥BB'；故②正确；
③由翻折可知：∠B′AC′＝∠B′AC＝∠BAC＝α，∠AB′C′＝∠AB′C，
∴∠AB′B＝90°﹣∠B′AC＝90°﹣α，
∴∠AB′C′＝180°﹣∠AB′B＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
∴∠AB′C＝90°+α，
∴∠CB′B＝∠AB′C﹣∠AB′B＝90°+α﹣（90°﹣α）＝2α，
∴∠CB′B＝2α．故③正确．
综上所述：正确的说法是：①②③．
故答案为：①②③．
15．解：根据三角形不同顶点为钝角分三种情况讨论：
当B为钝角顶点时，图形如下：
∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC＝∠BDO＝∠CEB＝90°，
∴∠O+∠DBO＝∠CBE+∠C＝90°，
∵∠DBO＝∠CBE，
∴∠O＝∠C，
∵BO＝AC，
∴△BOD≌△ACD（AAS），
∴AD＝BD，
∵BC＝a，CD＝b，
∴AD＝BD＝b﹣a；
当C为钝角顶点时，
同理可得△BOD≌△ACD（AAS），
∴AD＝BD，
∵BC＝a，CD＝b，
∴AD＝BD＝b+a；
当A为钝角顶点时，
同理可得△BOD≌△ACD（AAS），
∴AD＝BD，
∵BC＝a，CD＝b，
∴AD＝BD＝a﹣b；
故答案为：a﹣b或b﹣a或b+a．
三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：如图，
三角形ABC即为所求．
17．证明∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，
∴∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA）．
∴AC＝AD．
18．解：（1）∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∵∠BAE＝46°，
∴∠B＝44°，
∵△ABE≌△EDA，
∴∠ADE的度数为44°；
（2）AE＝CD，且AE∥CD；
理由∵△EDA≌△DEC，
∴AE＝CD，∠AED＝∠CDE，
∴AE∥CD．
19．证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
20．解：∵高BE经过高AD的中点F，
∴∠AEF＝∠BEC＝∠ADC＝∠BDF＝90°，AF＝DF，
∵∠C＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∠FBD＝180°﹣∠BEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴在Rt△AEF和Rt△BDF中，AF＝2EF，BF＝2DF，
∵AF＝DF，
∴BF＝4EF，
∵BE＝BF+EF＝20，
∴EF＝4，BF＝16．
21．解：（1）∵AC＝8，AB＝6，BC＝10，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵AD＝13，AE＝5，且AE⊥DE，
由勾股定理可得，DE，
∵AC＝8，AB＝6，BC＝10，△ABC是直角三角形，
∴BC边上的高，
∵滚轮半径r＝2，
∴购物车上篮子的左边缘D到地面的距离＝12+4.8+2＝18.8．
22．（1）解：DE∥AC，
理由：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴∠BAD＝∠EDA，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE∥AC；
（2）证明：∵EF垂直平分AD，
∴EA＝ED，FA＝FD，
在△AEF和△DEF中，
，
∴△AEF≌△DEF（SSS），
∴∠EAF＝∠EDF，
∵DE∥AC，
∴∠C＝∠EDF，
∴∠C＝∠EAF．
23．（1）证明：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝90°，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：由题意可知，∠DBA＝∠ECA，
∵∠BDA＝∠CDF，
∴∠BFC＝180°﹣∠ACE﹣∠CDF＝180°﹣∠DBA﹣∠BDA＝∠DAB＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥CE；
（3）解：BD⊥CE，BD＝CE成立．
理由如下：由题意可知i，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABF＝∠ACF，BD＝CE，
∴∠BFC＝180°﹣（∠FCB+∠FBC）
＝180°﹣（∠ACF+∠ACB+∠ABC﹣∠ABF）
＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）
＝180°﹣90°
＝90°，
∴BD⊥CE，BD＝CE成立．
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