2024-2025学年山东省淄博市张店区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含答案）

2024-2025学年山东省淄博市张店区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．（4分）下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（　　）
A．BF＝CF B．∠BAE＝∠EAC
C．∠C+∠CAD＝90° D．S△BAE＝S△EAC
3．（4分）在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为（　　）
A．19cm B．19cm或14cm
C．11cm D．10cm
4．（4分）如图，两个三角形．若这两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则∠1的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则该直角三角形AB边上高的长为（　　）
A．5 B． C． D．或
6．（4分）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′； （3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
7．（4分）将甲，乙，丙三个大小不同的正方形如图所示放置，顶点E，F处分别两两相接，顶点A，B，M，C，D在同一条直线上．若正方形甲的边长为2，正方形丙的边长为3，则正方形乙的面积为（　　）
A． B．5 C．13 D．25
8．（4分）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点P是线段AD上的一个动点，PE⊥AC于点E，连接PC，则当PC+PE最小时，的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
9．（4分）如图，在四边形中，AD∥BC，P为AB边的中点，连接CP，DP．若AD＝4，BC＝3，且∠CPD＝90°，则CD的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（4分）如图，在等边三角形ABC内部取一点P，连接AP，BP，CP．若，BP＝1，CP＝2，则S△ACP＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（4分）若三角形两边的长分别为3和2，则该三角形第三边的长x的取值范围是　 　 ．
12．（4分）如图，∠A＝100°，∠E＝25°，△ABC与△DEF关于直线l对称，则△ABC中的∠C＝　 　 °．
13．（4分）如图所示的3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．若在该网格中，与△ABC全等的格点三角形共有n个（不含△ABC本身），则n＝　 　 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，BD是角平分线．若∠C＝2∠BDC，AD＝5，BC＝3，则线段AB的长为　 　 ．
15．（4分）如图，点E，F分别是Rt△ABC直角边AC，BC上的动点（点E，F不与该直角三角形的顶点重合），连接EF，作∠AEF，∠BFE的角平分线相交于点P，M为BC的中点，连接PB，PM．若AC＝4，BC＝6，则（PB+PM）2的最小值为 　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）
16．（10分）【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是180°”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法．
方法①：过△ABC的顶点C作EF∥AB；
方法②：点P在△ABC的边BC上，过点P作PE∥AB交AC于点E，PF∥AC交AB于点F；
方法③：点P在△ABC的内部，过点P作EF∥AB交AC，BC于点E，F，DG∥AC交AB，BC于点D，G，MN∥BC交AC，AB于点M，N；
方法④：点P在△ABC的外部，过点P作EF∥AB交AC，BC于点E，F，DP∥AC交BC于点D，MN∥BC．
【解答问题】：
（1）小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是180°”的是　 　 ；（只填写序号）
（2）请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是180°”．
17．（10分）如图，在△ABC和△ADE中，AC＝AE，∠CAE＝∠BAD＝20°，AB＝AD．
（1）请判断BC和DE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠C＝40°，∠D＝20°，求∠EAB的度数．
18．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AD＝12，CD＝13，∠B＝90°，请计算四边形ABCD的面积．
19．（10分）如图（1），在△ABC中，AB＝7，BC＝2．
（1）若边AC的长度是奇数，求AC的长；
（2）如图（2），BD为△ABC的中线．
①△ABD的周长为16，求△BCD的周长；
②求中线BD的取值范围．
20．（12分）如图，已知△ABC的三个顶点在格点上（每个小正方形的顶点叫做格点），直线MN经过格点M，N．
（1）画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于直线MN对称；
（2）在直线MN上找一点P，使∠APN＝∠CPM；
（3）在直线MN上找一点Q，使|BQ﹣CQ|最大．
（画图过程用虚线表示，只需画图，不需说明理由）
21．（12分）如图（1），在等边△ABC中，BC＝15厘米，点E以2厘米/秒的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点F以1厘米/秒的速度从点A出发向点C运动（不与点C重合），设点E，F同时运动，运动时间为t秒．
（1）在点E，F运动过程中，经过几秒时△AEF为等边三角形？
（2）在点E，F运动过程中，△AEF的形状能否为直角三角形？若能，请求出时间t的值；若不能，请说明理由．
22．（13分）如图（1），已知等腰直角三角形ABC．
（1）用尺规作图：求作等腰直角三角形ABC的角平分线AD（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）用无刻度的直尺画图：如图（2），将等腰直角三角形ABC放置在5×7的正方形网格中，顶点A，B，C都在小正方形的格点上（每个小正方形的顶点叫做格点），AD是等腰直角三角形ABC的角平分线，请利用网格用无刻度的直尺在网格中先画出等腰直角三角形ABC的角平分线BE，再在射线AD上画点P，连接BP，使得，画图过程用虚线表示．（只需画图，不需说明理由）
23．（13分）【问题呈现】：我们知道，正方形的四个角都是直角，四条边都相等．如图（1），小明在正方形ABCD的边CD上取一动点E，在CB的延长线上取一动点F，使DE＝BF，并连接AE，AF．小明发现：线段AE，AF之间存在数量关系，请直接写出线段AE，AF之间的数量关系：　 　 ．
【问题探索】：如图（2），小明在【问题呈现】的条件下，又在正方形ABCD的边BC上取了该边的中点G，并连接AG，EG．
（1）小明又发现：当∠EAG＝45°时，线段DE，BG，EG之间也存在数量关系．请写出线段DE，BG，EG之间的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，当正方形ABCD的边长为6时，请求出GE的长．
【问题解决】：如图（3），小明在【问题探索】及其（1）和（2）的条件下，过点G作GP⊥AE于点P，连接FP，请帮助小明求出△FGP的面积．
2024-2025学年山东省淄博市张店区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A B A C D C B
1．解：A、不是轴对称图形
B、不是轴对称图形
C、不是轴对称图形
D、是轴对称图形；
故选：D．
2．解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，B说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，C说法正确，不符合题意；
∵BE≠EC，
∴S△ABE≠S△AEC，D说法错误，符合题意；
故选：D．
3．解：当腰长为8cm时，三边长为：8，8，3，能构成三角形，故周长为：8+8+3＝19cm．
当腰长为3cm时，三边长为：3，3，8，3+3＜8，不能构成三角形．
故三角形的周长为19cm．
故选：A．
4．解：由题意得，∠2＝180°﹣80°﹣60°＝40°，
∵图中两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝40°．
故选：A．
5．解：如图，CD是直角三角形AB边上高．
由勾股定理可得：
，
∵，
∴5CD＝3×4，
∴．
故选：B．
6．解：由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，
∴△C′O′D′≌△COD（SSS），
∴判定△C′O′D′≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等．
故选：A．
7．解：∵甲，乙，丙是正方形，
∴EM＝FM，∠EBM＝∠EMF＝∠MCF＝90°，
∴∠BME+∠CMF＝180°﹣∠EMF＝90°，∠CMF+∠CFM＝180°﹣∠MCF＝90°，
∴∠BME＝∠CFM，
在△BME和△CFM中，
，
∴△BME≌△CFM（AAS），
∴BM＝CF＝3，
∵BE＝2，
∴在Rt△BME中，由勾股定理得，即正方形乙的面积为13，
故选：C．
8．解：如图，连接BP，设△ABC的边长为4a．
由题意可得：AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，BD＝CD＝2a，
∴PC+PE＝PB+PE，
∴当B，P，E共线时，PC+PE最小，此时BE⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠CBE＝30°，
，
∴，BD2+PD2＝PB2，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
9．解：延长DP和CB相交于点E，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠E，∠A＝∠EBP，
∵P为AB边的中点，
∴AP＝BP，
在△APD和△BPE中，
，
∴△APD≌△BPE（AAS），
∴AD＝BE＝4，PD＝PE，
∵∠CPD＝90°，
∴CP⊥DE，
即CP是线段DE的垂直平分线，
∴CD＝CE＝BC+BE＝7，
故选：C．
10．解：∵ABC是等边三角形，，BP＝1，CP＝2，
∴AC＝AB，∠BAC＝60°．
如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AP′B，连接PP′，
∴∠APC＝∠AP′B，，
∴△PAP′是等边三角形，
∴．
在△P′PB中，，即PB2+P′P2＝P′B2，
∴△P′PB是直角三角形且∠BPP′＝90°．
取BP′的中点H，连接PH，则，
∴PH＝BH＝BP，
∴△BPH是等边三角形，
∴∠PBH＝60°，
∴∠PP′P＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AP′B＝60°+30°＝90°，
∴∠AP′B＝60°+30°＝90°，
∴∠APC＝∠AP′B，
∴S△APCAP CP2．
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．解：∵三角形两边的长分别为3和2，第三边的长为x，
∴3﹣2＜x＜3+2，即1＜x＜5，
故答案为：1＜x＜5．
12．解：∵∠A＝100°，∠E＝25°，△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴∠A＝∠D＝100°，∠B＝∠E＝25°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝55°，
故答案为：55
13．解：在2×2的正方形网格中，与△ABC全等的格点三角形共有4个（包含△ABC本身），
在3×3的正方形网格中，一共有4个2×2的正方形网格，
∴在3×3的正方形网格中，与△ABC全等的格点三角形共有4×4＝16个（包含△ABC本身），
∵不含△ABC本身，
∴与△ABC全等的格点三角形共有16﹣1＝15个，
∴n＝15，
故答案为：15．
14．解：在△ABC中，BD是角平分线，如图，在AB上截取线段BE，使BE＝BC，连接DE，
∴∠EBD＝∠CBD，
在△EBD和△CBD中，
，
∴△EBD≌△CBD（SAS），
∴BE＝BC＝3，∠BED＝∠C，∠BDE＝∠BDC，
设∠BDE＝∠BDC＝α，则∠C＝2α，∠BED＝2α，∠CDE＝2α，
∴∠BED＝∠CDE＝2α，∠ADE+∠CDE＝180°，∠AED+∠BED＝180°，
∴∠ADE＝∠AED＝180°﹣2α，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD＝5，
∴AB＝AE+BE＝5+3＝8，
故答案为：8．
15．解：作PD⊥EF，PH⊥BF，PG⊥AC，连接PC，
由角平分线性质可知：PD＝PG，PD＝PH，
∴PH＝PG，
∴CP平分∠ACB，
作点M关于CP的对称点M′，连接PM′，BM′，则点M′在线段AC上，PM′＝PM，CM'＝CM，
∴PM+PB＝PM′+PB≥BM′，当P，B，M′共线时等号成立，
∴（PB+PM）2的最小值等于BM′2．
∵M为BC的中点，BC＝6，
∴，
∴BM′2＝BC2+CM′2＝62+32＝45，
∴（PB+PM）2的最小值为45，
故答案为：45．
三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）
16．解：（1）结合平行线的性质可知①②③④均能说明“三角形的内角和是180°”．
故答案为：①②③④；
（2）选择方法①，
∵EF∥AB
∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠BCF，
∴∠A+∠ACB+∠B＝∠ACE+∠ACB+∠BCF，
∵∠ACE+∠ACB+∠BCF＝180°，
∴∠A+∠ACB+∠B＝180°．
17．解：（1）BC＝DE；理由如下：
∵∠CAE＝∠BAD＝20°
∴CAE+∠EAB＝∠BAD+∠EAB，
∴∠CAB＝∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△CAB≌△EAD（SAS），
∴BC＝DE；
（2）∵△CAB≌△EAD，
∴∠B＝∠D＝20°，
∴∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∵∠C＝40°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣20°＝120°，
∴∠EAB＝∠CAB﹣∠CAE＝120°﹣20°＝100°．
18．解：连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴，
，
∵AD＝12，CD＝13，AC＝5，122+52＝132，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°，
∴，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36，
∴四边形ABCD的面积为36．
19．解：（1）∵AB＝7，BC＝2，
∴5＜AC＜9，
∵AC的长度是是奇数，
∴AC＝7；
（2）①∵C△ABD＝AB+BD+AD＝16，AB＝7，
∴BD+AD＝16﹣7＝9，
∵BD是中线，
∴AD＝CD，
∴BD+CD＝9，
∴C△CBD＝CB+BD+CD＝9+2＝11，
∴△BCD的周长为11；
②延长线段BD到点E，使得BD＝ED，连接AE，
在△EDA和△BDC中
∵AD＝CD，∠ADE＝∠BDC，ED＝BD，
∴△EDA≌△BDC，
∴AE＝BC＝2，
在△AEB中，AE＝2，AB＝7，
∴5＜BE＜9，
即5＜2BD＜9，
∴，
即中线BD的取值范围为．
20．解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，
（2）如图所示，点P即为所求，
连接A′C，
由轴对称的性质可知A′C经过点P，∠APN＝∠A′PN，
∵∠CPM＝∠A′PN，
∴∠APN＝∠CPM（等量代换）；
（3）如图所示，点Q即为所求，
当B，C，Q共线时，|BQ﹣CQ|最大．
21．解：（1）由题意得：AF＝t，AE＝15﹣2t，
则，当AE＝AF时，△AEF是等边三角形，
∴15﹣2t＝t，解得：t＝5，
∴经过5s时，△AEF为等边三角形；
（2）△AEF的形状能为直角三角形．
分两种情况，理由如下：
①如图1，当∠AFE＝90°时，
因为，∠A＝60°，
所以，∠AEF＝30°，
因为，，
所以，，
所以，；
②如图2，当∠AEF＝90°时，∠AFE＝30°，
所以，，
所以，．
所以，t＝6，
∴当运动时间为或6s时，△AEF为直角三角形．
22．解：（1）如图（1），AD即为所求；
（2）如图（2），BE和点P即为所求；
由四边形ACBK是正方形可知，CM平分∠ACB，
∵AD是等腰直角三角形ABC的角平分线，
∴BE平分∠ABC；
∵BC垂直平分AH，
∴AD＝HD，
∴∠DAC＝∠DHC，
∵∠ACM＝∠HCN＝45°，AC＝CH，
∴△ACM≌△HCN（ASA），
∴CM＝CN．
∵∠BCM＝∠BCN＝45°，BC＝BC，
∴△BCM≌△BCN（SAS），
∴∠CBE＝∠CBF，
∵BC＝BC，∠BCE＝∠BCF＝90°，
∴△BCE≌△BCF（ASA），
∴BE＝BF，∠CBF＝∠CBE＝∠ABE，
∴∠BEC＝∠BFC．
∵∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∠ABF＝∠ABC+∠CBF，
∴∠BEC＝∠ABF，
∴∠BFC＝∠ABF，
∴AB＝AF，
∵AP平分∠BAC，
∴，
∴．
∵∠ACD＝∠BCE，AC＝BC，∠CAD＝∠CBE＝22.5°，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE，
∴．
23．解：【问题呈现】∵在正方形ABCD的边CD上取一动点E，在CB的延长线上取一动点F，使DE＝BF，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF＝90°，
在△ABF和△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（AAS），
∴AE＝AF．
故答案为：AE＝AF；
【问题探索】（1）EG＝BG+DE；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF＝90°，
，
∴△ABF≌△ADE（AAS），
∴∠BAF＝∠DAE，AE＝AF，
∵∠EAG＝45°，
∴∠DAE+∠BAG＝45°，
∴∠BAF+∠BAG＝45°，
∴∠FAG＝∠EAG，
在△AFG和△AEG中，
，
∴△AFG≌△AEG（AAS），
∴FG＝EG，
∵DE＝BF，
∴EG＝BG+BF＝BG+DE；
（2）设GE＝x，
∵点G为BC的中点，BC＝6，
∴BG＝GC＝3，
∵GE＝DE+BG，
∴DE＝BF＝GF﹣BG＝GE﹣BG＝x﹣3，
∴EC＝CD﹣DE＝6﹣（x﹣3）＝9﹣x，
在Rt△GEC中，由勾股定理可得：GC2+CE2＝GE2，
∴32+（9﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴GE的长度为5；
【问题解决】GP⊥AE于点P，如图（3），过点P作MN⊥AD于点M，MN⊥BC于点N，
∴∠AMP＝∠PNG＝90°，
∵∠EAG＝45°，
∴△EAG＝∠AGP＝45°，∠APM+∠NPG＝90°，
∴AP＝GP，
∵∠PGN+∠NPG＝90°，
∴∠APM＝∠PGN，
在△APM和△PGN中，
，
∴△APM≌△PGN（AAS），
∴AM＝PN，PM＝NG，
设PN＝m，则AM＝m，NG＝PM＝6﹣m，
∴MD＝AD﹣AM＝6﹣m，
∴CN＝MD＝6﹣m，
∴CG＝NG+CN＝6﹣m+6﹣m＝12﹣2m＝3，
解得：，
∴S△FGP．
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