2024-2025学年山东省淄博市周村区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含答案）

2024-2025学年山东省淄博市周村区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分）
1．（4分）榫卯是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（　　）
A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm
3．（4分）图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）
A．58° B．72° C．40° D．50°
4．（4分）如图，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝80，则S1的值为（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
5．（4分）△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝1：2：2 B．∠A+∠B＝2∠C
C．c2﹣a2＝b2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
6．（4分）如图，点P在∠AOB的内部，点C，D分别在OA，OB上，且OC＝OD，添加下列一个条件后，不能判定△OPC≌△OPD的是（　　）
A．PC＝PD B．∠OCP＝∠ODP＝90°
C．OP平分∠AOB D．PO平分∠CPD
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，则BC＝（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．（4分）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB＝2米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD刚走到离门间距CB＝1.2米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（　　）
A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
9．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝4，AB＝6，若AC平分∠BAD，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．12 B．18 C．20 D．24
10．（4分）如图所示，点H是△ABC内一点，要使点H到AB、AC的距离相等，且S△ABH＝S△BCH，点H是（　　）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分）
11．（4分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠F的度数为　 　 ．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则CE的长为 　 　 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若AD＝6cm，CD＝3cm，则图中阴影部分的面积是　 　 cm2．
14．（4分）如图，若∠E＝50°，则∠A+∠B+∠C+∠D＝　 　 °．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 　 　 ．
三、解答题．解答要写出必要的文字说明或演算步骤．（共90分）
16．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
（1）若a＝5，b＝12，求c的值；
（2）若a：b＝3：4，c＝10，求b的值．
17．如图，在正方形网格中，有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）和直线l．请在网格中按要求画图：
（1）画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）在直线l上找一点P，使得△PBC的周长最小，并标出点P．
18．图1、图2中每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的正方形．
19．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D、C两点，CE＝6，DE＝5．过D作DF⊥AB于F．DF＝4．
（1）求AE的长；
（2）求△ACD的面积．
20．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；
（2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长．
21．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数．
22．【问题初探】（1）如图1，点B在线段AC上，DA⊥AC于点A，EC⊥AC于点C，DB⊥BE，且DB＝BE．求证：AC＝AD+CE；
【问题改编】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将边CA绕点C顺时针旋转90°得到CE（即CE＝CA，∠ACE＝90°），将边CB绕点C逆时针旋转90°得到CD（即CD＝CB，∠BCD＝90°）．连接DE，延长BC交ED于点F．求证：点F是ED的中点．
23．数学课上，老师出示了如下栏中的题目：
如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
小华与同桌小明讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况入手探索：
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE　 　 DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）一般情况进行论证：
对原题中的一般情形，二人讨论后得出（1）中的结论仍然成立，并且可以通过构造一个三角形与△EBD全等来证明．以下是他们的部分证明过程：
证明：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．…（请完成余下的证明过程）
（3）应用结论解决问题：
在边长为3的等边三角形ABC中，点E在直线AB上，且AE＝1，点D在直线BC上，ED＝EC，求EC2的值（直接写出结果即可）．
2024-2025学年山东省淄博市周村区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C C D C B C A
1．解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．解：∵AC＝BC＝18cm，
∴0＜AB＜36，
∴折叠凳的宽AB可能为25cm，
故选：D．
3．解：如图，
由三角形内角和定理得∠2＝180°﹣58°﹣72°＝50°，
由全等三角形的性质可得∠1＝∠2＝50°．
故选：D．
4．解：∵以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，
∴，，，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
即S2+S3＝S1，
又S1+S2+S3＝80，
∴2S1＝80，
∴S1＝40，
故选：C．
5．解：A．∵a：b：c＝1：2：2，
∴设a＝k，b＝2k，c＝2k，
∴a2+c2＝k2+（2k）2＝5k2，b2＝（2k）2＝4k2，
∴a2+c2≠b2，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝60°，
∴不能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵c2﹣a2＝b2，
∴a2+b2＝c2，
∴∠ABC＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C180°＝75°，即△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
6．解：A．PC＝PD，可根据SSS，判定△OPC≌△OPD，故A选项正确，不符合题意；
B．∠OCP＝∠ODP＝90°，可根据HL判定Rt△OPC≌Rt△OPD，故B选项正确，不符合题意
C．OP平分∠AOB，可根据ASA判定△OPC≌△OPD，故C选项正确，不符合题意；
D．PO平分∠CPD，没有AAS，不能判定△OPC≌△OPD，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
7．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△BAD中，∠B＝30°，AD＝4cm，
∴BD＝2AD＝8cm，∠ADB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴DC＝AD＝4cm，
∴BC＝BD+CD＝8+4＝12（cm），
故选：C．
8．解：如图，过点D作DH⊥AB于点H．
∵∠DCB＝∠B＝∠DHB＝90°，
∴四边形CDHB是长方形，
∴BC＝DH＝1.2米，CD＝BH＝1.5米，
∵AB＝2米，
∴AH＝AB﹣BH＝2﹣1.5＝0.5（米），
∴（米）．
故选：B．
9．解：过C点作CE⊥AD于E点，如图，
∵∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，
∴CE＝CB＝4，
∴四边形ABCD的面积，
故选：C．
10．解：如图：
∵AD平分∠BAC，点H在AD上，
∴点H到AB、AC的距离相等，
∵BE是AC边上的中线，
∴S△ABE＝S△BCE，S△AHE＝S△CHE，
∴S△ABE﹣S△AHE＝S△BCE﹣S△CHE，
∴S△ABH＝S△CBH，
∴点H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点，
故选：A．
二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分）
11．解：∵△ABC≌△DEF，
∴根据全等三角形的性质得∠F＝∠C，
∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
∴∠F＝50°，
所以∠F的度数为50°．
故答案为：50°．
12．解：由题意可知，BD＝BC＝3，AE＝AD，
∴AE＝AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2，
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC4，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣2＝2，
故答案为：2．
13．解：∵△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，BC＝2CD＝6cm，
∴△CEF和△BEF的面积相等，
∴S阴影＝S△ABD，
∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACDS△ABC，
∵BC＝6cm，AD＝6cm，
∴S△ABCBC AD6×6＝18cm2，
∴S阴影＝18÷2＝9cm2．
故答案为：9．
14．解：分别延长CE、DE与AB交于点M、N．
由已知∠E＝50°，即∠CED＝50°．
则∠MEN＝∠CED＝50°（对顶角相等）．
∵∠EMN＝∠A+∠C，∠ENM＝∠B+∠D，
∴∠EMN+∠ENM＝∠A+∠C+∠B+∠D，
∵∠EMN+∠ENM＝180°﹣∠MEN＝180°﹣50°＝130°，
∴∠A+∠C+∠B+∠D＝130°．
故答案为：130°．
15．解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H．
∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称，
∴点Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH，
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5， AC BC AB CH，
∴CH＝2.4，
∴CP+PQ≥2.4，
∴PC+PQ的最小值为2.4．
故答案为：2.4．
三、解答题．解答要写出必要的文字说明或演算步骤．（共90分）
16．（1）由题意可知，在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴，
所以b的值为13；
（2）∵a：b＝3：4，
∴可设a＝3k，则b＝4k，
在△ABC中，∠C＝90°，c＝10，
∴a2+b2＝c2，即（3k）2+（4k）2＝102，
∴k＝2（负值舍去），
∴b＝8，
所以b的值为8．
17．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
18．解：如图1，△ABC的面积是3，即为所作；
如图2，正方形DEFG的面积为22+12＝5，即为所作．
19．解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠DAB，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE＝5；
（2）如图，过D作DG⊥AC于G，
又∵DF⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DG＝DF＝4，
∵CE＝6，
∴AC＝AE+CE＝5+6＝11，
∴△ACD的面积AC×DG11×4＝22．
20．解：（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACB＝40°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°；
（2）连接OA，OB，OC，
∵△ADE的周长7cm
∴AD+DE+EA＝7（cm），
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝7（cm）；
∵△OBC的周长为15，
∴OB+OC+BC＝15，
∵BC＝7，
∴OB+OC＝8，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．
21．证明：（1）∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝40°，
∴∠C＝∠EDC＝70°，
∴∠BDE＝∠C＝70°．
22．证明：（1）∵DA⊥AC，EC⊥AC，DB⊥BE，
∴∠BAD＝∠DBE＝∠BCE＝90°，
∴∠DBA＝90°﹣∠CBE＝∠BEC，
在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AB＝EC，AD＝CB，
∵AC＝CB+AB，
∴AC＝AD+CE；
（2）过点E作EG∥CD，交BF的延长线于点G，如图2，
∵∠ABC＝90°，∠BCD＝90°，
∴AB∥DC，
∴EG∥AB∥CD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EGF＝∠DCF＝90°＝∠ABC．
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠ECG＝∠CEG，
又∵AC＝CE，
在△ABC和△CGE中，
，
∴△ABC≌△CGE（AAS），
∴CB＝EG，
∵CB＝CD，
∴CD＝EG，
又∵∠GFE＝∠CFD，∠EGF＝∠DCF，
∴△EGF≌△DCF（AAS），
∴EF＝DF，
即点F是ED的中点．
23．（1）解：在等边三角形ABC中，点E在AB上，点E为AB的中点，点D在CB的延长线上，ED＝EC，
∴∠ABC＝60°，BE＝AE，，∠D＝∠BCE＝30°，
∵∠ABC为△BDE的外角，
∴∠ABC＝∠D+∠BED＝60°，
∴∠BED＝30°，
∴∠D＝30°＝∠BED，
∴BD＝BE，
∴AE＝BD，
故答案为：＝；
（2）证明：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠AEF＝∠ABC＝60°，∠FEC＝∠ECB，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∴∠EFC＝∠EBD＝120°，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，且∠ECB＝∠FEC，
∴∠EDB＝∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠AEF＝∠ABC＝60°，∠FEC＝∠ECB，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∴∠EFC＝∠EBD＝120°，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，且∠ECB＝∠FEC，
∴∠EDB＝∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD；
（3）解：∵边长为3的等边三角形ABC中，点E在直线AB上，AE＝1，
分两种情况讨论：
第一种情况：当点E在AB时，如图3，过C点作CG⊥AB交AB于点G，
∴，
在直角三角形ACG中，由勾股定理得：，
∵AE＝1，
∴，
在Rt△EGC中，由勾股定理得：，
第二种情况：当点E在BA的延长线上时，如图4，过C点作CG⊥AB交AB于点G，
∵AE＝1，
∴，
在Rt△EGC中，由勾股定理得：，
综上所述，EC2值为7或13．
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