广东省深圳市南山为明学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)

广东省深圳市南山区为明学校2024—2025学年上学期九年级10月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
3．已知线段a，b，c，d是一组成比例线段，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（ ）
A．10m B．8m C．6m D．4m
5．如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田．现需在试验田中修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状不可能是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形
7．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB=2：1，下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．AD AB=AE AC
8．如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
二、填空题
9．已知，且，则 ．
10．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是 ．
11．如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为 m．

12．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为 ．
13．如图，在中，E是的中点，F是上的一点，，延长交的延长线于点G，若，则 ．

三、解答题
14．解下列方程：
(1)；
(2)．
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．

(1)请画出；
(2)请直接写出各顶点的坐标；
(3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________．
16．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高米，请根据以上数据求出城楼的高度．
17．如图，在菱形中，对角线交于点O，，，连接，交于点F．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
18．请根据表中提供的背景、素材，探索完成任务．
背景：因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，东部华侨城景区成为深圳著名旅游“网红打卡地”．
素材 东部华侨城景区在年“十一”长假期间，共接待游客达万人次，预计在年“十一”长假期间将接待游客达万人次．
素材 东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为元．
素材 根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯价格降低元，则平均每天可多销售杯．年“十一”期间，店家决定进行降价促销活动．
问题解决
任务 根据素材，求东部华侨城景区至年“十一”长假期间接待游客人次的平均增长率．
任务 根据素材、素材，求在降价促销活动中，当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额？
19．阅读下面材料：
小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形．
探究方程是否存在常数根．
小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．
请回答：　 　．

参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图1，若，，则正方形的关联方程为 　 　；
（2）正方形的关联方程是，则正方形的面积=　 　．
20．在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点．
(1)如图1，若四边形是正方形，
①求证：；
②当G是中点时，________________度；
(2)如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长；
(3)如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长为__________________________．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A B A C D C
1．A
【详解】解：，
移项得：，
配方得：．
故选：A
2．A
【详解】解：∵，
∴方程有两个相等实数根，
故选：．
3．A
【详解】解：∵线段a，b，c，d是一组成比例线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A
4．B
【详解】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4m，FD=16m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又
∴△EDC∽△CDF，
∴，即DC2=ED FD=4×16=64，
解得CD=8m（负值舍去）．
故选：B．
5．A
【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意有：．
故选：A．
6．C
【详解】解：∵点为矩形的对称中心，
∴，，
当点从点出发沿向点运动时，由锐角直角钝角变形，且仅当点到达点时，，
∴四边形形状的变化依次为平行四边形菱形平行四边形矩形，不可能是正方形，
故选：．
7．D
【详解】∵DE∥BC，AD：DB=2：1，
∴△ADE∽△ABC，
∴，，
∴，
∴A、B、C正确，
故选D．
8．C
【详解】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故选：C．
9．8
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：8．
10．
【详解】把x=2代入原方程得22＋5×2－m=0，解得m=14，
∴原方程为
解得x1=-7,x2=2,
故另一个解为.
故答案为：．
11．16
【详解】解：根据题意，,,
．
即
故；
那么该古城墙的高度是，
故答案为：16．
12．/
【详解】解：∵P为的黄金分割点，，
∴，
∵的长度为，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【详解】解：延长交延长线于点H，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，

∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
解得： ．
故答案为：
14．(1)，
(2)，
【详解】（1），
，
，
，
，
∴，；
（2）
，
，
∴或，
∴，．
15．(1)见解析
(2)，，
(3)
【详解】（1）解：如图，即为所求．

（2）解：由图可得，，，．
（3）解：由题意可得，点的坐标为．
故答案为：．
16．米
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
依题意，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴城楼的高度为米
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵在菱形中，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，，
∴菱形的面积．
18．任务：；任务：元．
【详解】解：任务：设平均增长率为，
由题意得，，
解得（不合，舍去），，
答：平均增长率为；
任务：设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额，
由题意得，，
整理得，，
解得，，
∵要让顾客获得最大优惠，
∴，
答：当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额．
19．阅读下面材料：1（1）（2）36
【详解】解：阅读下面材料：
如图：

∵四边形是正方形，
∴，
∵把绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴，，
∴共线，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，即，
∴关于的一元二次方程有一个根是，
∴．
故答案为：1；
（1）如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
由阅读材料知，，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
而，
∴正方形的关联方程为，
化简整理，可得．
故答案为：；
（2）如图：

由阅读材料知，正方形的关联方程存在常数根，
∴，
解得，
∴正方形的关联方程是，
∴，，，
设正方形的边长为，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴正方形的边长为6，
∴正方形的面积为36．
故答案为：36．
20．(1)①证明见解析；②67.5
(2)
(3)或或2
【详解】（1）解：①∵正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
②连接，则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）取的中点，连接，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∵菱形中，，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
经检验：是原方程的解，
∴；
（3）∵矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
当点为直角顶点时，如图：
设，
则：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：或；
经检验或是原方程的解，
∴或；
当点为直角顶点时，如图：过点作，
则：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
综上： 或或．