第一章 特殊平行四边形 单元试卷（含答案）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学九年级上册
一、选择
下列给出的条件中，不能判断一个四边形是矩形的是
A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角
B．有 个角是直角
C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形
D．一组对边平行且相等，且两条对角线相等
如图，菱形 中，，则
A． B． C． D．
如图，在平行四边形 中，点 为边 上一点，连接 ，将 沿 翻折，点 的对应点 落在边 上，，，则边 的长是
A． B． C． D．
如图，在矩形 中，点 的坐标是 ，则 的长是
A． B． C． D．
如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的 处．若 ，则 等于
A． B． C． D．
如图，在正方形 中，，，那么 等于
A． B． C． D．
如图，在菱形纸片 中，对角线 ， 长分别为 ，，折叠纸片使点 落在 上，折痕交 于点 ，则 的长为
A． B． C． D．
如图，延长正方形 的 边至点 ，使 ，则 度．
A． B． C． D．
如图，菱形 中，，，点 ，， 分别在 ，， 上，，，当 为直角三角形时， 的长为
A． 或 B． C． 或 D． 或
如图，菱形 中，点 ， 分别是 ， 上的动点，，， 与 相交于点 ，则下列结论中，正确的个数有
① ；② 是等边三角形；③ ．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题
如图，在菱形 中，， 是对角线，如果 ，那么 等于 ．
如图，在 中，，点 是 的中点，，则 ．
如图，以 为边在正方形内部 内部作等边 ，连接 ，，则 ．
如图，矩形 中，，，对角线 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，，连接 ，则 的长为 ．
如图，矩形 面积为 ，点 在边 上，，，垂足分别为 ，．若 ，则 ．
已知：如图， 为坐标原点，四边形 为矩形，，，点 是 的中点，点 在边 上运动，当 是腰长为 的等腰三角形时，则 点的坐标为 ．
如图，将正方形 沿 折叠，点 恰好落在 上的点 处，若 ，，则折痕 的长度为 ．
如图，矩形 中，，，点 是 边上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点 落在点 处．当 为直角三角形时， 的长为 ．
三、解答题
如图，在菱形 中，点 是对角线 的中点，过点 的直线 与边 、 交于点 ，，，连接 、 ．
(1) 求证：四边形 是矩形．
(2) 若 ，，直接写出四边形 的面积．
如图，将矩形 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于点 ．
(1) 求证：；
(2) 若 ，，求图中阴影部分的面积．
在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ． 过点 且与 分别相交于点 ，．
(1) 如图①，求证：；
(2) 如图②，若 ，垂足为 ，求证：四边形 是菱形．
如图，在 中，点 是 的中点，点 是线段 的延长线上的一动点，连接 ，过点 作 的平行线 ，与线段 的延长线交于点 ，连接 ，．
(1) 求证：四边形 是平行四边形．
(2) 若 ，，则在点 的运动过程中：
①当 时，四边形 是矩形，试说明理由；
②当 时，四边形 是菱形．
如图，四边形 是正方形，点 是 边上的点，，且 交正方形外角的平分线 于点 ．
(1) 如图①，当点 是 边上任一点（不与点 ， 重合）时，求证：．
(2) 如图②，当点 是 边的延长线上一点时，（）中的结论还成立吗？ （填成立或者不成立）．
(3) 当点 是 边上任一点（不与点 ， 重合）时，若已知 ，那么 的度数是否发生变化？证明你的结论．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】C
2. 【答案】D
【解析】 四边形 是菱形，
，，
，
，
，
．
故选D．
3. 【答案】A
【解析】如图，设 与 的交点为 ．
四边形 是平行四边形，
，．
将 沿 翻折，
，，．
，
，
，
，
，
四边形 是菱形，
则 ，，，
，
．
故选A．
4. 【答案】C
【解析】连接 ．
四边形 是矩形，
，
点 的坐标是 ，
，
．
5. 【答案】C
【解析】 四边形 是矩形，
，
由折叠的性质得 ，，
，
．
6. 【答案】C
【解析】过 作 交 于 ，
则 ，
四边形 是正方形，
，，，
，，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
7. 【答案】A
【解析】设 点的对应点为 ，连接 ，
由折叠的性质可得：，，
四边形 是菱形．
，，，
，
设 ，则 ，，，
在 中，，
即 ，解得：，即 ，
．
8. 【答案】C
【解析】连接 ，
四边形 为正方形，，
， 平分 ，
，
在等腰三角形 中，
，
故选：C．
9. 【答案】A
10. 【答案】D
【解析】（）因为 ，四边形 是菱形，
所以 ，
所以 ；
（）因为 ，
所以 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 是等边三角形；
（）由②知 ，
所以 ，
所以 ．
二、填空题（共8题）
11. 【答案】
【解析】 四边形 是菱形，
，
，
，
．
12. 【答案】
【解析】 ， 为 中点，
（直角三角形中，斜边中线等于斜边一半）．
13. 【答案】
【解析】 在正方形 中 是等边三角形，
，，
，
，
，
．
14. 【答案】
【解析】连接 ，
， 互相垂直平分，
四边形 是菱形，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中，
，
，
．
15. 【答案】
【解析】 ， 交于 点，
．
，
，
．
．
16. 【答案】 或 或
【解析】（） 是等腰三角形的底边时， 就是 的垂直平分线与 的交点，此时 ；
（） 是等腰三角形的一条腰时：
①若点 是顶角顶点时， 点就是以点 为圆心，以 为半径的弧与 的交点，
在直角 中，，则 的坐标是 ．
②若 是顶角顶点时， 点就是以点 为圆心，以 为半径的弧与 的交点，
过 作 于点 ，
在直角 中，，
当 在 的左边时，，则 的坐标是 ；
当 在 的右侧时，，则 的坐标是 ．
故 的坐标为： 或 或 ．
17. 【答案】
【解析】过 作 于 ，连接 ，
则 ，
将正方形 的一角折向边 ，使点 与 上一点 重合，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
．
18. 【答案】 或
【解析】当 为直角三角形时，有两种情况：
①当点 落在矩形内部时，如答图 所示．连接 ，
在 中，，，
，
沿 折叠，使点 落在点 处，
，
当 为直角三角形时，只能得到 ，
点 ，， 共线，即 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处，
，，
，
设 ，则 ，，
在 中，
，
，解得 ，
；
②当点 落在 边上时，如答图 所示．
此时 为正方形，
．
综上所述， 的长为 或 ．
三、解答题（共5题）
19. 【答案】
(1) 四边形 是菱形，
，
，
，．
是 中点，
．
在 和 中 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，．
，
，
，，
，
四边形 是矩形．
(2)
【解析】
(2) 四边形 是矩形，
，
，
，，
．
四边形 是菱形，
，
设 ，则 ，
，解得 ，
，
，
．
20. 【答案】
(1) 由翻折性质知：，，
四边形 为矩形，
，，
，，
在 和 中，
．
(2) ，
，
设 ，则 ，
在 中，，
即 ，解得 ，
，
阴影部分的面积为 ．
21. 【答案】
(1) 四边形 是平行四边形，
，，
，
在 与 中，
，
；
(2) ，，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
22. 【答案】
(1) ，
，，
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
四边形 是平行四边形．
(2) ①
当四边形 是矩形时，，
，
，
，
．
②
【解析】
(2) 四边形 是菱形时，，
，
，
是等边三角形，
．
23. 【答案】
(1) 在 边取一点 ，使 ，连接 ，
四边形 是正方形，
，，，
，即 ，
，，
，，
，
， 平分 ，
，
，
，
．
(2) 成立
(3) 不发生变化．
在 边取一点 ，使 ，连接 ，分别过点 ， 作 ，，垂足分别为点 ，，
，
由（）中知，，，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
．
【解析】
(2) 在 的延长线上取点 ，使得：，连接 ，
四边形 为正方形，，
，，
为等腰直角三角形，
，
又 为正方形的外角平分线，
，
，
，
，
又 ，
，
，
在 和 中，
，
．
故答案为：成立．