2024-2025人教版（2019）高中数学选择性必修二5.2导数的运算 题型总结（含解析）

5.2导数的运算题型总结
【题型1 基本初等函数的导数】
【例1】已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】下列求导运算结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】下列求导运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 导数的四则运算法则】
【例2】下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】已知函数，求（ ）
A．0 B． C． D．120
【题型3 复合函数的求导方法】
【例3】下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】设定义在上的函数的导函数为，且，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【变式3-2】下列求导不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】
【例4】曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知，则在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】曲线在处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】若函数的图象在处的切线与轴垂直，则函数的图象在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 已知切线（斜率）求参数】
【例5】若直线是曲线的切线，则（ ）
A． B． C．1 D．e
【变式5-1】已知函数，在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知，若直线 是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A． B． C．26 D．28
【题型6 函数图象的判断及应用】
【例6】函数的导数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】若函数的图象的顶点在第三象限，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】设函数的导函数为，则图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】下列四个图象中，有一个图象是函数的导数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 导数运算的新定义问题】
【例7】给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率，则曲线在点处的曲率为（ ）
A．0 B． C． D．
【变式7-2】对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题：
(1)求函数的“拐点”A的坐标；
(2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值.
【变式7-3】给出以下三个材料：
①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，；
②若，定义；
③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式.
例如在点处的泰勒展开式为
根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的泰勒展开式；
(2)用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位；
(3)现已知，试求的值.
5.2导数的运算题型总结答案
【题型1 基本初等函数的导数】
【例1】已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求导，通过赋值逐项判断即可.
【解答过程】因为，所以，
则，所以，
则，所以.
故选：C.
【变式1-1】下列求导运算结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案.
【解答过程】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：A.
【变式1-2】下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据基本初等函数的导数公式计算可得.
【解答过程】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D．
【变式1-3】下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】直接基本初等函数求导法则计算即可.
【解答过程】因为，，，.
故选：C.
【题型2 导数的四则运算法则】
【例2】下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可.
【解答过程】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
【变式2-1】已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】令，解得，对函数求导，令，解得，即可求得.
【解答过程】令，得，解得，
所以，
令，得，解得，
所以，所以，所以.
故选：D.
【变式2-2】下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据求导公式逐个分析判断.
【解答过程】对于A，，所以A错误，
对于B，，所以B错误，
对于C，，所以C错误，
对于D，，所以D正确.
故选：D.
【变式2-3】已知函数，求（ ）
A．0 B． C． D．120
【解题思路】令，则，求导后赋值即可.
【解答过程】令，则，两边求导得到，令，得到.
故选：B.
【题型3 复合函数的求导方法】
【例3】下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用导数运算法则及求导公式，逐项求导判断即可.
【解答过程】对于A：，A错误；
对于B，令，B正确；
对于C：，C正确；
对于D：，D正确.
故选：A.
【变式3-1】设定义在上的函数的导函数为，且，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【解题思路】两边求导，运用复合函数导数规则，再结合累乘计算即可.
【解答过程】两边对求导，得，即，
所以，累乘可得．
故选：D.
【变式3-2】下列求导不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用求导公式分别求出各个选项的导数，即可得出答案．
【解答过程】对于A，，故A正确；
对于B，是常数，导数为0，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：C．
【变式3-3】设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，依次求出,...,寻找出规律即可.
【解答过程】因为，
所以,
,
,
,
...
因为,
所以.
故选：C.
【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】
【例4】曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求导后由导数的意义求切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可；
【解答过程】求导可得，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，即，
故选：B.
【变式4-1】已知，则在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出函数的导函数，再把点的横坐标代入求解即可.
【解答过程】因为，
所以，
所以函数在点处切线的斜率为，
故选：D.
【变式4-2】曲线在处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，求得，得到且，进而求得切线方程，得到答案.
【解答过程】由函数，可得，
则且，即切点为，切线的斜率为，
所以函数在处的切线方程为.
故选：A.
【变式4-3】若函数的图象在处的切线与轴垂直，则函数的图象在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由函数在处的切线与轴垂直，可求得，再根据导数的几何意义求解即可.
【解答过程】解：因为，
所以，
又因为函数在处的切线与轴垂直，
所以，
解得，
所以，
所以，
即切点为，
又因为，
所以在处的切线的斜率，
所以在处的切线方程为：，
即，.
故选：B.
【题型5 已知切线（斜率）求参数】
【例5】若直线是曲线的切线，则（ ）
A． B． C．1 D．e
【解题思路】利用导数，根据切点及切线的斜率求得正确答案.
【解答过程】，，
依题意，直线是曲线的切线，
设切点为，则，，
通过对比系数可得，则.
故选：B.
【变式5-1】已知函数，在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由导数的几何意义可得出，即可求得实数的值.
【解答过程】因为，则，
因为函数在点处的切线方程为，则，解得，
且，则点在直线上，合乎题意.
因此，.
故选：D.
【变式5-2】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出曲线在点处的切线方程,设切线与曲线的切点为，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.
【解答过程】的导数，令，则，
所以曲线在处的切线方程为，
即
的导数，设直线与曲线切于点，
则曲线在点处的切线方程为，
即，所以解得．
故选：D.
【变式5-3】已知，若直线 是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A． B． C．26 D．28
【解题思路】根据题意，分别设出与曲线以及与曲线的切点坐标，然后结合导数的几何意义，代入计算，即可求解.
【解答过程】设直线与曲线相切于点 ，与曲线相切于点.
由知，又两曲线的公切线斜率为，则，解得或（舍去）.
所以，解得.
由知，又两曲线的公切线斜率为，则，即，故，整理得，故，
所以，故.
故选：C.
【题型6 函数图象的判断及应用】
【例6】函数的导数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除.
【解答过程】因为，所以，
令，，则，
所以函数是奇函数，故A，C错误；
又，故B错误.
故选：D.
【变式6-1】若函数的图象的顶点在第三象限，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】依题意可得，再求出，即可判断.
【解答过程】因为函数的图象的顶点在第三象限，
则，所以，又，则的图象单调递增，且与轴交于正半轴.
故选：C.
【变式6-2】设函数的导函数为，则图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求导数得，再根据奇偶性舍去B,C，根据过原点，舍去A.即可得结果.
【解答过程】因为，所以，所以，
所以函数是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以选项B，C错误；又因为其图象过原点，所以舍去A.
故选：D.
【变式6-3】下列四个图象中，有一个图象是函数的导数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出函数的导数，由导函数的特性确定函数图象，进而求出a值作答.
【解答过程】函数，求导得，
于是函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，①②不满足，
又，即函数的图象对称轴不是y轴，④不满足，因此符合条件的是③，
函数的图象过原点，且，显然，从而，
，所以.
故选：D.
【题型7 导数运算的新定义问题】
【例7】给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给出的导数新定义逐项判断即可.
【解答过程】对于A：，，，
则在上恒有，故A错误；
对于B：，，，
则在上恒有，故B错误；
对于C：，，，
则在上恒有，故C错误；
对于D：，，，
则在上恒有，故D正确.
故选：D.
【变式7-1】曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率，则曲线在点处的曲率为（ ）
A．0 B． C． D．
【解题思路】
根据曲线的曲率定义，对函数求导得出，再对求导得出，将代入求解即可.
【解答过程】对函数求导，得，
对求导，得，所以，
所以曲线在点处的曲率.
故选：D.
【变式7-2】对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题：
(1)求函数的“拐点”A的坐标；
(2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值.
【解题思路】（1）根据“拐点”的定义求出的根，然后代入函数解析式可求出“拐点” 的坐标．
（2）设出点的坐标，根据中心对称的定义即可证明，利用对称性可得结果.
【解答过程】（1）∵，，∴令，
得.
有，∴“拐点”A为.
（2）证明：设，是图像上任意一点，则.
，是关于“拐点”的对称点为.
把点坐标代入得左边，
右边，∴左边＝右边.
∴点在的图像上.
∴关于“拐点”A对称.
由对称性可得
.
【变式7-3】给出以下三个材料：
①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，；
②若，定义；
③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式.
例如在点处的泰勒展开式为
根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的泰勒展开式；
(2)用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位；
(3)现已知，试求的值.
【解题思路】（1）利用阶泰勒展开式的定义，可求，
（2）由（1）可求；
（3）由（1）可得，进而可得，结合已知可得结论.
【解答过程】（1），，，，
所以，，，，
由
所以
（2）由（1）可得
（3）因为 ①，
对，
两边求导可得：，
所以，
所以②，
比较①②中的系数，可得：
，
所以.