必修一第四章指数函数与对数函数单元测试卷（培优卷）（含解析）

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必修一第四章指数函数与对数函数
单元测试卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．的值为（　　）
A． B． C． D．
2．若，则（　　）
A．2 B．4 C．5 D．10
3．函数的零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　）．
A． B． C． D．
5．已知函数，则（　　）
A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减
6．函数的零点个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知函数 ，若正实数m，n（ ）满足 ，且 在区间 上的最大值为4，则 （　　）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若方程 有三个不同的实根，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．已知函数 ， 且 的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．下列选项中正确的有（　　）
A．函数（且）的图象过定点
B．已知函数的定义域是，则函数的定义域是
C．已知函数是定义在上的奇函数，当时，则当时，的解析式为
D．若，则
11．任何一个正整数 可以表示成 ，此时， .
真数 2 3 4 5 6 7 8
常用对数（近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903
下列结论正确的是（　　）
A． 是 位数
B． 是 位数
C． 是48位数
D．一个 位正整数的 次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5
三、填空题(共3题；共15分)
12．计算：　 　．
13．已知，则　 　.
14．设关于 的方程 的不同实数解的个数为 ，当实数 变化时， 的可能取值组合的集合为　 　．
四、解答题(共5题；共77分)
15．
（1）已知，，试用a，b表示；
（2）求值：．
16．已知函数 的定义域为 .
（Ⅰ）证明：函数 是偶函数；
（Ⅱ）求函数 的零点.
17．已知函数 （ ，且 ）是指数函数．
（1）求k，b的值：
（2）求解不等式 ．
18．已知是对数函数.
（1）求a的值.
（2）函数，，是否存在正实数k，使得有解？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由.
19．已知函数 （ ，且 ）的图象经过点 ．
（1）若函数 在区间 内存在零点，求实数m的取值范围；
（2）若函数 ，其中 为奇函数， 为偶函数，若 时， 恒成立，求实数t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】利用换底公式进行计算可得答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】∵，
∴.
∴
∴.
故答案为：C
【分析】 根据条件，把指数式化成对数式，结合对数运算性质可得答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数的单调性和零点存在性定理，进而得出函数的零点所在的区间。
4．【答案】A
【解析】【解答】因为，，，
所以.
故答案为：A.
【分析】化简，，，进而得到的大小关系，得到答案.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：由题知，则，
将代替代入可得：
，
，
，
故为奇函数，
，
单调递增，
单调递增，
故在上单调递增.
故答案为：B
【分析】根据奇偶函数的定义可判断出的奇偶性，再根据指数函数的单调性可判断出答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】本题转化为函数和函数的交点个数，做出两个函数的图象，如图，
根据图像可得两个函数交点的个数为个，所以函数的零点个数为个.
故答案为：C.
【分析】 条件转化为函数和函数的交点个数，作出函数图象，数形结合即可求出答案.
7．【答案】B
【解析】【解答】∵ ，正实数 ， （ ）满足 ，
∴ ，且 ，∴ ，
∴ ，解得 ，
又∵ 在区间 上的最大值为4，
∴ 或 ，即 或 ，
解得 或 ，
当 时，由 可得 ，此时 ；
当 时，由 可得 ，这与 矛盾，应舍去．
故答案为：B．
【分析】利用对数的运算法则结合函数在给定区间最值的求解方法，用已知条件求出n-m的值。
8．【答案】B
【解析】【解答】当 时， ，解方程 ，即 ，解得 ；
由于方程 有三个不同的实根，则方程 在 时的唯一实根，
当 时， ，解方程 ，得 ，解得 .
由题意可得 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为：B.
【分析】解出方程 在 时的两根，可得出方程 在 时的唯一根 ，由此可得出实数 的取值范围.
9．【答案】C,D
【解析】【解答】由指数函数图象可知： ， A不符合题意，B不符合题意，D符合题意；
由 得： ，C符合题意.
故答案为：CD.
【分析】根据题意由已知条件结合指数函数的图象和性质，对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】A：令，解得，所以函数经过定点，A符合题意；
B：由，可得，，可得，B不符合题意；
C：当时，，由条件可知，C符合题意；
D：构造，由指、对数函数的单调性可知在上是减函数，即，所以，
所以，又因为单调递增，即，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】利用对数函数过定点的性质进行判断A；结合函数奇偶性的性质求解解析式，可判断B；根据对数的性质进行求解，可判断C；构造函数，利用函数的单调性进行判断D.
11．【答案】A,C,D
【解析】【解答】 ，
由于10是两位数，则x是n＋1位数，A符合题意，B不正确；
设 ，则 ，
，所以 是 位数，C符合题意；
对于D，只需要说明 是否为一个11位数正整数，
若 ，则
则 ，
故 为一个11位数正整数，D符合题意.
故答案为：ACD。
【分析】利用表中数据，从而结合常用对数求值的方法，再利用已知条件任何一个正整数 可以表示成 ，此时， ，再利用对数的运算法则，从而求出x的值，进而确定x是几位数和 的位数，再利用指数与对数的互化公式，得出一个 位正整数的 次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5 。
12．【答案】1
【解析】【解答】
。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则，进而化简求值。
13．【答案】21
【解析】【解答】因为，所以，即，
所以，。
故答案为：21。
【分析】利用已知条件结合完全平方和公式、立方法公式，进而得出的值。
14．【答案】
【解析】【解答】由题意知： 为 与 交点的个数，
在平面直角坐标系中画出 与 的图象，如图，
①当 时，该方程没有实数根， ；
②当 时，该方程恰有两个实数解， ；
③当 时，该方程有四个不同的实数根， ；
④当 时，该方程有三个不同的实数根， ；
⑤当 时，该方程有两个不同的实数根， ；
的可能取值组合的集合为 。
故答案为 。
【分析】由题意知： 为 与 交点的个数，在平面直角坐标系中画出 与 的图象，再利用分类讨论的方法结合两函数交点的横坐标与方程的根的等价关系，从而求出n的可能取值组合的集合。
15．【答案】（1）解：因为，
而，，所以．
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对数的运算法则，从而用a，b表示。
（2）利用已知条件结合指数幂的运算法则和对数的运算法则，进而化简求值。
16．【答案】解：（Ⅰ）由 ，解得 ，
所以函数的定义域为 关于原点对称，
又∵ ，
∴ 是偶函数.
（Ⅱ） .
令 ，
∴ ，解得 （经检验符合题意）.
∴函数 的零点为 和 .
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义，进而证出函数 是偶函数。
（2）利用已知条件结合函数零点的定义，再利用指数式与对数式的互化公式，进而求出函数的零点。
17．【答案】（1）解：由 ( ，且 )是指数函数，知 ， .故 ，
（2）解：由(1)得 ( ，且 ).
①当 时， 在R上单调递增，
则由 ，得 ，可得 ，解得 ；
②当 时， 在R上单调递减，
则由 ，得 ，可得 ，解得 .
综上①②可知，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为
【解析】【分析】(1)根据指数函数的定义列出方程，即可得解；
(2)分a>1和018．【答案】（1）解：因为是对数函数，所以，
解得.
（2）解：由（1）知，
，，
令，因为，，
所以t在上单调递增，且.
令，因为在上单调递增，
所以，.
因为有解，所以，
解得，即k的取值范围为.
【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义及定义域得， 解得；
（2） 由（1）知，，，令，由二次函数的性质得t在上单调递增，且，令，根据对数函数单调性得，计算计算求解即可.
19．【答案】（1）解：因为 的图象经过点 ，
则 ，所以 ，故
因为 ，所以 ，
设 ，则
函数 在区间 内存在零点，
即函数 在区间 内有零点．
所以 ，即 ，解得 ．
所以实数m的取值范围是
（2）解：由题意，函数 ，其中 为奇函数， 为偶函数，
可得 ，即 ，
解得 ．
因为 ，
所以 ．
设 ，因为 ， 为增函数，
所以 ．
所以 ．
因为 当且仅当 ，即 时等号成立．
所以 ，即t的取值范围为
【解析】【分析】（1）利用函数 （ ，且 ）的图象经过点 结合代入法，进而求出a的值，进而求出函数的解析式，再利用零点存在性定理，进而求出实数m的取值范围。
（2） 由题意，函数 ，其中 为奇函数， 为偶函数， 再利用奇函数与偶函数的定义建立关于函数g(x)和函数h(x)方程组，在解方程组求出函数g(x)和函数h(x)的解析式，再利用若 时， 恒成立， 结合不等式恒成立问题求解方法，得出 ，所以 ，设 ，因为 ，再利用增函数的定义，进而判断出函数 为增函数， 进而求出实数a的取值范围，再结合均值不等式求最值的方法，进而求出实数t的取值范围。
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 68.0(45.3%)
主观题（占比） 82.0(54.7%)
题量分布 客观题（占比） 13(68.4%)
主观题（占比） 6(31.6%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (31.6%)
2 容易 (42.1%)
3 困难 (26.3%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 函数解析式的求解及常用方法 6.0(4.0%) 10
2 对数函数的概念与表示 17.0(11.3%) 18
3 指数函数单调性的应用 15.0(10.0%) 17
4 函数零点存在定理 22.0(14.7%) 3,19
5 指数函数的概念与表示 15.0(10.0%) 17
6 函数的奇偶性 20.0(13.3%) 5,16
7 指数函数的图象与性质 6.0(4.0%) 9
8 函数的最大（小）值 5.0(3.3%) 7
9 基本不等式在最值问题中的应用 17.0(11.3%) 19
10 有理数指数幂的运算性质 28.0(18.7%) 4,12,13,15
11 对数函数的单调性与特殊点 6.0(4.0%) 10
12 奇偶性与单调性的综合 17.0(11.3%) 19
13 换底公式及其推论 15.0(10.0%) 1,2,4
14 对数函数的值域与最值 5.0(3.3%) 7
15 指数式与对数式的互化 26.0(17.3%) 2,11,16
16 分段函数的解析式求法及其图象的作法 5.0(3.3%) 14
17 对数的性质与运算法则 18.0(12.0%) 4,15
18 元素与集合的关系 5.0(3.3%) 14
19 指数函数的单调性与特殊点 5.0(3.3%) 5
20 函数的零点与方程根的关系 15.0(10.0%) 6,8,14
21 函数的零点 15.0(10.0%) 16
22 函数的定义域及其求法 6.0(4.0%) 10
23 函数单调性的性质 17.0(11.3%) 18
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