人教A版（2019）必修第二册 6.4.3.1 余弦定理 课件（共23张PPT）

6.4.3.1 余弦定理
1、了解向量法证明余弦定理的推导过程；
2、掌握余弦定理及其推论；
3、能用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题；
4、通过学习向量的有关概念，提升数学抽象素养；通过判断与向量有关命题的真假，提升逻辑推理素养.
重点：余弦定理及其推论
难点：余弦定理的推导过程及其应用
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三边：????????、????????、????????
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三角：∠????、∠????、∠????
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思考：你还记得与三角形有关的哪些知识点？
①内角和定理(三个角)
②直角三角形：勾股定理(三条边)
③直角三角形：锐角三角函数(边与角)
④大边对大角，小边对小角
⑤面积公式
⑦全等三角形的判定(????????????,????????????,????????????,????????????)
?
⑥相似三角形的判定
边角的定量关系
边角的定性关系
三角形全等的这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.
????????????：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
?
思考：若已知三角形的两边和其夹角，这个三角形唯一吗？
思考：三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？
探究：在?????????????中，三个角????、????、????所对的边分别是????、????、????，怎样用????、????和????表示????？
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因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究.
定性
定量
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如图，设????????=????，????????=????，????????=????，
那么????=?????????，则|????|2=?????????=(?????????)?(?????????)
=?????????+??????????2?????????
=????2+????2?2|????||????|?????????????????.
所以????2=????2+????2?2?????????????????????????.
?
同理????2=????2+????2?2?????????????????????????，
????2=????2+????2?2?????????????????????????.
?
思考：如何用文字语言叙述上述边角关系？
余弦定理(??????????????????????????????????????????????????) 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即
????2=????2+????2?2??????????????????????????，
????2=????2+????2?2??????????????????????????，
????2=????2+????2?2??????????????????????????.
?
利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边.
思考：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题吗？
?????????????????=????2+????2?????22????????
?????????????????=????2+????2?????22????????
?????????????????=????2+????2?????22????????
?
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系.你能说说这两个定理之间的关系吗？
如果?????????????中有一个角是直角，例如，????=90°，这时?????????????????=0.
由余弦定理可得????2=????2+????2，这就是勾股定理.
由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例.
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思考：你还能用其他方法证明余弦定理吗？
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法二(坐标)：以????为原点建系如图，
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则????(0,0)，????(????,0)，
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????(????????????????????,????????????????????)，
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无论????为锐角、直角还是钝角，由三角函数的定义可得
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由两点间的距离公式得：????????2=(?????????????????????????)2+(?????????????????????0)2
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即????2=????2????????????2?????2?????????????????????????+????2+????2????????????2????
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所以????2=????2+????2?2?????????????????????????
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以????、????为原点建系，同理可得：????2=????2+????2?2??????????????????????????，
????2=????2+????2?2?????????????????s?????.
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法三(几何)：当?????????????为锐角三角形时，
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过点????作????????⊥????????，垂足为????，
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则????????2=????????2+????????2=(?????????????????)2+????????2
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=????????2?2?????????????????+????????2+????????2
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=????????2?2????C?????????+????????2
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=????????2?2?????????????????????????????????+????????2
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所以????2=????2+????2?2?????????????????????????
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当?????????????为钝角三角形时，过点????作????????的垂线，垂足为????，
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则????????2=????????2+????????2=(????????+????????)2+????????2
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=????????2+2?????????????????+????????2+????????2
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=????????2+2?????????????????+????????2
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=????????2+2?????????????????????????????(?????????)+????????2
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=????????2?2?????????????????????????????????+????????2
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易证当?????????????为直角三角形时，上式成立
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例题：在?????????????中，已知????=23，????=6+2，????=45°，求边????和角????、????.
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解：由余弦定理得：????2=????2+????2?2??????????????????????????
=(23)2+(6+2)2?2×23×(6+2)?????????????45°=8，
所以????=22.
由推论得：????????????????=????2+????2?????22????????=(22)2+(6+2)2?(23)22×22×(6+2)=12，所以????=60°，所以????=180°?(????+????)=75°.
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一般地，三角形的三个角????，????，????和它们的对边????，????，????叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
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1、(2)在?????????????中，已知????=5，????=2，????=????3，求????.
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教材P44
2、在?????????????中，已知????=2，????=2，????=3+1，解三角形.
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“知a,c及一角C”：(余C)构造关于b的一元二次方程
3、在?????????????中，已知????=5，????=5，????????????????=910，求????.
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19
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????=45°，????=30°，????=105°
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解：????2=????2+????2?2??????????????????????????，即5=25+????2?9????，
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即????2?9????+20=0
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思考：利用余弦定理及其推论，可以解决哪几类解三角形问题？
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两边一角，求第三边和其他两个角；
（2）已知三边，求三个角．
例题：在?????????????中，2????????????????????=????，则该三角形一定是( ).
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.不能确定
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解：由2????????????????????=????和余弦定理得：2?????????2+????2?????22????????=????，
所以????2+????2?????2=????2，即????2=????2，
因为????>0，????>0，所以????=????
所以?????????????为等腰三角形
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A
练习：在?????????????中，????????????2????2=?????????2????，则?????????????的形状为( ).
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
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B
练习：在?????????????中，若????2=????2+????2?2????????，且????=2????，则?????????????为( ).
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形
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C
解析：∵sin2????????＝????－????????????????????＝????－????????????，∴cos A＝????????＝????????＋????????－????????????????????，∴a2＋b2＝c2，
满足勾股定理.故选B.
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解析：由a2＝b2＋c2－????bc，得????????＋????????－????????????????????＝????????，即cos A＝????????.
∵A∈（0，π），∴A＝????????，∴B＝2A＝????????，则C＝A＝????????，
∴△ABC为等腰直角三角形.故选C.
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利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即用转化的思想解决问题，一般有两个思路：
（1）化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系；
（2）化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系.
一般地，若遇到的式子含角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理.
练习：在锐角?????????????中，????=1，????=2，则????的取值范围为( ).
A.1?
C
解析：若a为最大边，则b2＋c2＞a2，即a2＜5，∴0＜a＜????，
若c为最大边，则a2＋b2＞c2，即a2＞3，∴a＞????（负值舍去），
故????＜a＜????.故选C.
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余弦定理(??????????????????????????????????????????????????) 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即
????2=????2+????2?2??????????????????????????，
????2=????2+????2?2??????????????????????????，
????2=????2+????2?2??????????????????????????.
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?????????????????=????2+????2?????22????????
?????????????????=????2+????2?????22????????
?????????????????=????2+????2?????22????????
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一般地，三角形的三个角????，????，????和它们的对边????，????，????叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
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1、(1)在?????????????中，若????=23，????=6+2，????=45°，求????及????.
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(2)在?????????????中，若????=120°，????=7，????+????=8，求????，????.
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解：(1)由余弦定理得:????2=????2+????2?2?????????????????????????=8，∴????=22.
由?????????????????=????2+????2?????22????????=(22)2+(6+2)2?(23)22×22×(6+2)=12.
∵0°?
解：(2)由余弦定理得:????2=????2+????2?2????????????????????????? =(????+????)2?2????????(1+?????????????????)，
∴49=64?2????????(1?12)，即????????=15.
由????+????=8????????=15，解得????=3????=5或????=5????=3.
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4
4
思路4：△ABC中求cosB→?????????????????→????????????=????????(????????+????????)????
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2、在?????????????中，已知????????=9，????????=7，????????=8，求????????边上的中线长.
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思路1：(余A)△ABC中求cosA→(余A)△ABD中求BD
思路2：(余C)△ABC中求cosC→(余C)△BCD中求BD
思路3：????????????∠????????????+????????????∠????????????=0→求????????????
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?????????????????=????????2?????????2
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极化恒等式
7
3、在?????????????中，已知(????+????+????)(????+?????????)=3????????，且?????????????????=2??????????????????????????????????，试确定?????????????的形状.
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解：∵(????+????+????)(????+?????????)=3????????，∴????2=????2+????2?????????.
而????2=????2+????2?2?????????????????????????，∴2?????????????????=1.∴?????????????????=12，∴?????=60°.
又?????????????????=????????????(????+????)=??????????????????????????????????+??????????????????????????????????=2??????????????????????????????????，
∴?????????????????????????????????????????????????????????????????????=0，
即????????????(?????????)=0，∴????=????.
又????+????=120°，∴????=????=????=60°.
故?????????????为等边三角形.
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4、在?????????????中，????????=????，AC＝b，????，????是方程????2－23????＋2＝0的两个根，且2????????????(????+????)=1.
（1）求角????的度数； （2）求????????的长度.
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解：(1)cos C＝cos [π－（A＋B）]＝－cos（A＋B）＝－????????，
又0°＜C＜180°，所以C＝120°.
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(2)因为a，b是方程x2－2????x＋2＝0的两个根，所以&????＋????=????????，&????????=????.
所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C
＝b2＋a2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab＝（2????）2－2＝10.
所以AB＝????????.
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5、在?????????????中，角????，????，????所对的边分别为????，????，????，已知cos?????+(cos??????3sin????)cos?????＝0.
（1）求角????的大小；
（2）若????+????=1，求????的取值范围.
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解：(1)由已知，得－cos（A＋B）＋cos Acos B－????sin A·cos B＝0，
即有sin Asin B－????sin Acos B＝0.
因为sin A≠0，所以sin B－????cos B＝0，
又cos B≠0，所以tan B＝????.又0＜B＜π，所以B＝????????.
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解：(2)因为a＋c＝1，cos B＝????????，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝3????－????????????＋????????.
又0＜a＜1，于是有????????≤b2＜1，
即有????????≤b＜1，所以b的取值范围是????????，????.
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5、在?????????????中，角????，????，????所对的边分别为????，????，????，已知cos?????+(cos??????3sin????)cos?????＝0.
（1）求角????的大小；
（2）若????+????=1，求????的取值范围.