人教A版（2019）必修第二册 8.2 立体图形的直观图 课件（共28张PPT）

第8章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图.
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识。



观察：
如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形。
矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？
一、直观图
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示，因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同。在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。
要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
2
斜二测画法画平面图形
画轴:横不变、纵斜450或1350
画线：平行保持不变
取长度：横不变、纵减半
例１．用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。
（1）建立坐标系
（2）画坐标轴上的点（横不变，纵减半），
平行坐标轴的线段（平行关系不改变）
（3）连线,
擦去辅助线。
在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.
跟踪训练1　已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图.
解　画法：
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).
如何根据斜二测画法画出的直观图还原出原图？
思考：
例2．下图是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图△A’B’ C’ ， 其中A’O’=O’B’ ,请画出这个图形的真实图形；设S△ABC=S，求直观图△A’B’ C’的面积S’ 。
（1）建坐标系
（2）画坐标轴上的点（平行于x/轴的线段长度不变，平行于y/轴的线段长度加倍）画平行于坐标轴的线段（本题无）；
（3）连线,擦去辅助线
若一个多边形的面积为 ????原，它的直观图的面积为 ????直，则有 ????直=????????????原， ????原=????????????直.（只适用于多边形面积关系）
?
直观图还原成原平面图形时出错
坑①
一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，求这个平面图形的面积.
【解析】画出直观图如图所示：
x′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????
?
????
?
????
?
????+????
?
方法一：直观图的面积 ????′=12×1+1+2×22=1+22,
?
平面图形的面积 ????=22????′=2+2
?
方法二：把直观图还原成原来的梯形，如图所示：
x
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????+????
?
所以这个平面图形是直角梯形，它的面积
????=12×1+1+2×2=2+2
?
如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是______，其面积为___________.
菱形
解析　如图，在原图形OABC中，
CD＝C′D′＝2 cm，
所以OA＝OC＝BC＝AB，
故四边形OABC是菱形.
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可.
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴y′轴垂直，并且平行于z轴的线段平行性和长度都不变，连线成图.
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示.
用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
4
斜二测画法画空间几何体
例题1 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
联想水平放置的平面图形的画法，并注意高的处理.
D′
A
B
C
D
A′
B′
C′
画法：①画轴.画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy=45°，
∠xOz=90°.
②画底面.以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=____cm；在y轴上取线段PQ，使PQ=_____cm，分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
4
1.5
③画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.
④
口诀：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，
眼见为实遮为虚，空间观感好体现
练习：用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.
x
y
O
z
A
B
C
D
E
F
A'
B'
C'
D'
E'
F'
提示：1.画出正六棱柱下底面的直观图；
2.画出与z轴平行的六条棱，并截取相同的长度；
3.顺次连接上底面的各顶点；
4.整理成图。
X
Z
O
A
B
X’
A’
B’
O’
O
S
O’
X
A
B
X’
A’
B’
斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，关于其中的线段下列说法错误的是（ ）
题①
原来相交的仍然相交
原来垂直的仍然垂直
原来平行的仍然平行
原来共点的仍然共点
【解析】如图所示，以右图为例，可知B错误，其他选项正确
利用斜二测画法得到的直观图有以下结论，其中正确的是（ ）
题②
①三角形的直观图是三角形
②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形
④菱形的直观图是菱形
A. ①② B. ① C. ③④ D. ①②③④
在用斜二测画法画水平放置的ΔABC的直观图时，若在直角坐标系中的∠A的两边分别平行于 ???? 轴，???? 轴，则在直观图中∠A’等于（ ）
?
题③
【解析】如图所示，可知∠A’的度数是45°或者135°，选D
A. 45° B. 135° C. 90° D. 45°或135°
x
?
????
?
????
?
????
?
????
?
x
?
????
?
????
?
????
?
????
?
x′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
x′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可以
是选项中的（ ）
题④
【解析】根据原图的90°可以变成直观图中的45°或135°，原图中大
于90°才可以变成直观图中的90°，可知选C
x′
?
????′
?
????′
?
给出以下关于斜二测画法得到的直观图的结论，其中正确的个数是( )
题⑤
①角的水平放置的直观图一定是角
②相等的角在直观图中仍相等
③相等的线段在直观图中仍相等
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________.
解 由题意知正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，
故原图形的周长为2×(1＋3)＝8(cm).
8 cm
课堂小结