人教A版（2019）必修第二册 8.6.2.2 直线与平面所成角 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
8.6.2.2直线与平面所成的角
直线和平面所成角
1) 斜线:
2) 斜足:
3) 斜线在平面内的射影:
和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线
斜线和平面相交的交点
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影.
☆平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做直线和平面所成的角.
规定:①若直线垂直平面，则直线和平面所成的角为90°
②若直线与平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角为0 °
☆直线和平面所成角的取值范围为
α
P
l
A
O
新知讲解
直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角的最小角.
如果AB是平面α内的任意一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是什么？
PA与直线AB所成的角大于直线PA与这个平面所成的角．
最小角定理:直线与平面所成的角是该直线与平面内任意一条直线所成的角中最小的角
例1 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面BB1C1C所成的角
（2）A1B与面A1B1CD所成的角
典例解析
（4）30o
（3）45o
O
典例解析
O
例1（2）A1B与面A1B1CD所成的角
解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.
设正方体的棱长为a.
正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，
∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1， ∴BC1⊥平面A1DCB1.
∴A1O是A1B在平面A1DCB1内的射影.
∴∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.
∴ A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
∴BO= A1B，∠BA1O=30°.
在Rt△A1BO中， A1B= a，BO= a.
求斜线和平面所成的角的一般步骤：
1．作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足
和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为
斜线和平面所成的角；
2．证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；
（注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影）
3．求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小
4. 下结论
【练习】过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，则下列结论正确的有（ ）
A．线段PA，PB，PC，PO中，线段PO最短；
B．若PA=PB=PC，则OA=OB=OC；
C．若OA=OB=OC，则PA=PB=PC；
D．若PA=PB=PC，则PA，PB，PC和平面α所成的角相等．
过平面外一点，作平面的垂线段和斜线段
（1）垂线段和斜线段中，垂线段最短；
（2）若斜线段长相等，则斜线在面内的射影长相等；
（3）若斜线在面内的射影长相等，则斜线段长相等．
ABCD
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
O

a
A
P
已知 PO、PA分别是平面 的垂线、斜线，AO是PO在平面 上的射影。a ，a⊥AO.
求证：a⊥pA
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
A
O
a
α
已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜
线，AO是PO在平面 的射影,a ,a
⊥PO求证：a ⊥AO
三垂线定理的逆定理
【练习】过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，
1．若PA=PB=PC，则点O为△ABC的 心；
2．若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的 点；
3．若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O为△ABC的 心．
（3）在三棱锥 中,有下列结论:
①若,则点在平面 内的射影为 的外心;
②若点到,,的距离相等,则点在平面内的射影为 的
内心;
③若,,则点在平面内的射影为 的垂心.
【练习】正四面体的侧棱与底面所成的角的正弦值为： .
探究点一 求直线与平面所成的角
例1 如图，在三棱柱中，底面 是等边三角形，且
底面，若，，求直线与平面
所成角的正弦值.
例1 如图所示,在三棱柱中,侧棱 底面 ,且各
棱长均相等,为 的中点.
（1）证明: 平面 ;
证明:因为底面是正三角形,为 的中点,
所以 .
因为侧棱 底面, 平面 ,
所以 ,
又,所以 平面 .
（2）求直线与平面 所成角的正弦值.
解:在平面内,过点作 ，交
的延长线于点,连接 .
因为 平面,所以 ,
又,所以 平面 ,所以
为直线与平面 所成的角.
设三棱柱的各棱长均为,可得,由 ,易得
.
在中,可得 ，
所以直线与平面所成角的正弦值为 .
例3 如图，和都垂直于平面 ，且
，，是 的中点.
（1）求证：平面 ；
证明：因为和都垂直于平面 ，
所以，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
（2）求证： 平面 .
证明： 如图，取的中点，连接， .
在中，，分别为， 的中点，
所以， ，
又， ，
所以， ，
所以四边形 为平行四边形，
则 .
因为，为 的中点，所以 .
因为 平面， 平面 ，
所以，又 ，
所以 平面 ，
所以 平面 .