湖北省黄石市第三中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学（理）试题

黄石三中2015－2016学年下学期期末考试高二年级
数
学　试　卷（理工类）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合A＝，则
A．(1，3)
B．(2，3)
　　C．(1，4)
D．(2，4)
2．复数=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是
4．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S为
A．119
B．4949
C．719
D．600
5．抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的
距离为
A．1
B．
C．2
D．
6．已知||＝1，||＝2，与的夹角为，则＋在上的投影为
A．1
B．
2
C．
D．
7．如果将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于直线对称，则的最小值是
A．
B．
C．
D．
8．下列四个结论：
①命题“若p则q”的逆命题是“若q则p”．
②设是两个非零向量，则“”是“”成立的充分不必要条件．
③某学校有男、女学生各500名．为了解男
( http: / / www.21cnjy.com )、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样．
④设某大学的女生体重y
(单位：kg)与身高x
(单位：cm)具有线性相关关系，回归方程为，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg．
其中正确的结论个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
9．已知f
(x)是定义在R上的偶函数，对任意，都有f
(x＋6)＝f
(x)＋2f
(3)，且f
(0)＝3，则f
(2016)＝
A．1
B．2
C．3
D．4
10．黄石市为办好“矿冶文化旅游节”，组委
( http: / / www.21cnjy.com )会特向全市招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号．现从中任意选取4人，再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是
A．90
B．24
C．21
D．16
11．已知实数x，y满足
( http: / / www.21cnjy.com )，若直线将可行域分成面积相等的两部分，则实数k的值为
A．－3
B．3
C．－
D．
12．在正项等比数列{an}中，存在两项am、an，使得＝4a1，且a7＝a6＋2a5，则的最小值是
A．
B．1＋
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题—第21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22题—第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(x－2)(x－1)5的展开式中所有项的系数和等于
．
14．如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(3，9)，函数f
(x)＝x2，
若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等
于
．
15．定义在R上的函数f
(x)，若对任意
( http: / / www.21cnjy.com )的实数a、b都有f
(a)＋f
(b)＝f
(a＋b)－3ab(a＋b)，则称f
(x)是“负3倍韦达函数”，则f
(x)＝
时，f
(x)是一个“负3倍韦达函数”(只须写出一个)．
16．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知＝.
⑴求的值；
⑵若，△ABC的周长为14，求b的长．
18．（本小题满分12分）
( http: / / www.21cnjy.com )某校为了响应《中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》精神，落实“生命—和谐”教育理念和阳光体育行动的现代健康理念，学校特组织“踢毽球”大赛，某班为了选出一人参加比赛，对班上甲乙两位同学进行了8次测试，且每次测试之间是相互独立的.成绩如下：（单位：个/分钟）
甲
80
81
93
72
88
75
83
84
乙
82
93
70
84
77
87
78
85
⑴用茎叶图表示这两组数据；
⑵从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加比赛合适，请说明理由；
⑶若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩高于79个/分钟的次数为，求的分布列及数学期望.
（参考数据：
）
19．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．
⑴证明：；
⑵若AB＝2，PA＝2，求二面角E—AF—C的余弦
值．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，为椭圆上异于，的点，和的斜率之积为．以为圆心，为半径的圆与椭圆C交于A，B两点．
⑴求椭圆C的方程；
⑵若A，B两点关于原点对称，求圆M的方程；
⑶若点A的坐标为(0，2)，求△ABM的面积．
21．（本小题满分12分）已知函数.
⑴求f
(x)的单调区间；
⑵证明：，有；
⑶若，证明：，有.
请考生从第22、23、24题中任选一题作答，多答，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点.
⑴证明：EF∥BC；
⑵若AG等于⊙O的半径，且，求四边形EBCF的面积．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴
为极轴的极坐标系中，曲线C：，直线l的参数方程：
(t为参数)，两曲线相交于M，N两点．
⑴写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
⑵若，求的值.
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数，的最小值为m．
⑴求m的值；
⑵当时，求的最小值．
高二数学数学（理工类）答案
1．B
2．D
3．A
4
( http: / / www.21cnjy.com )．C
5．B
6．B
7．D
8．C
9．C
10．C
11．D
12．A
13．0
14．
15．
16．
17．解：(1)由正弦定理，及A＋B＋C＝π，
得：(cos
A－3cos
C)sin
B＝(3sin
C－sin
A)cos
B，
化简可得：sin(A＋B)＝3sin(B＋C)．所以sin
C＝3sin
A，因此＝．
………6分
(2)由＝得c＝3a．由余弦定理及cos
B＝
得：b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋9a2－6a2×＝9a2．
所以b＝3a．又a＋b＋c＝14．从而a＝2，因此b＝6．
……………………………6分
18．解：⑴
……………………………4分
⑵
由于甲乙的平均成绩相等，而甲的方差较小，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适
…8分
注：本小题的结论及理由不唯一，如果考生从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分；如派甲比较合适，理由如下：甲获得79个/分钟以上的概率为，乙获得79个/分钟以上的概率为．∵P1>P2，所以派甲参赛比较合适．
⑶由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3
由表格可知，高于79个/分钟的频率为，则高于79个/分钟的概率为，则
P(ξ=0)=(1－)3=，P(ξ=1)=，
P(ξ=2)=，P(ξ=3)=．
……………………10分
分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P
∴
…………………………12分
19．解：⑴证明：由四边形ABCD为菱形，，可得为正三角形．
因为为的中点，所以．
又，因此．
因为平面，平面，所以．
而平面，平面，且，
所以平面PAD，又平面PAD，
所以．
……………………………6分
⑵解法一：因为平面，平面，所以平面平面ABCD．
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，
则∠ESO为二面角E—AF—C的平面角，在Rt△AOE中，，
，又F是PC的中点，在Rt△ASO中，
，
又，
在中，，
即所求二面角的余弦值为．
…………12分
解法二：由⑴知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，
所以，
，所以．
设平面AEF的一法向量为，则因此
令，则，因为，，，
所以平面AFC，故为平面AFC的一法向量．又，
所以．
因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．
……………………12分
20．⑴由题意可知2a=4，即a=2，设P(x0，y0)，A1(－2，0)，A2(2，0)
，
即12－
又P(x0，y0)在椭圆上，故b2=4，即椭圆C的方程为．
……………………………4分
⑵因为A，B两点关于原点对称，所以O是AB的中点，由垂径定理可知MO⊥AB，又M(－3,2)，所以直线MO的斜率为－，故直线AB的斜率为，则直线AB的方程为y=x，联立解得，由勾股定理得r2=MA2=MO2+OA2=9+4+，
所以圆M的方程为(x+3)2+(y－2)2=．
……………………………8分
⑶显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+2，联立得(1+3k2)x2+12kx=0，
则B()，线段AB的中点为E()，直线ME的斜率为
，∵AB⊥ME，∴·k=－1
∴(k－1)(2k2－k+1)=0，解得k=1，所以直线AB的方程为y=x+2，
B(－3,－1)，所以|AB|=3，点M到直线AB的距离为，
故△ABM的面积为．
………………………………12分
21．⑴
令>0，又x＞－1，则x＞0，令<0，又x＞－1，则－1故f
(x)的递减区间是(－1,0)，递增区间是(0，+∞)
……………………4分
⑵设x=，则，
由⑴知：f
(x)=ln(1+x)－，f
(0)＝0，当x∈(0，1)时，f
(x)单调递增，∴f
(x)＞0，即．
再来证明：当x∈(0，1)时ln(1+x)构造函数m(x)=ln(x+1)－x
x∈(0，1)，则，
故m(x)在(0，1)上递减
∴当x∈(0,1)时，m(x)综上可知：有．
……………………8分
⑶由⑵的结论知，有
所以
所以an>an+1
又
=ln2+ln
综上，有an>an+1>0
……………………12分
22．解：⑴由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线，
又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，
从而EF∥BC．
……………………5分
⑵由⑴知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为
⊙O的弦，所以O在AD上，连结OE，OM，则OE⊥AE，
由AG等于⊙O的半径，得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°，
因此△ABC和△AEF都是等边三角形，
因为，所以AO＝4，OE＝2，
因为OM＝OE＝2，，所以OD＝1，
于是AD＝5，，
所以四边形EBCF的面积为．
……………………10分
23．⑴曲线C的直角坐标方程为y2=4x，直线l的普通方程为x－y－2＝0，
……………………5分
⑵直线l的参数方程（t为参数）代入y2=4x，得到t2－12t＋48＝0，得M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=12，t1t2=48>0．
∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12
……………………10分
另解：由联立解得：
．由两点间距离公式，得：|PM|＋|PN|＝12．
……………………10分
24．⑴f
(x)=|x－4|+|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|=1
(3≤x≤4时取等号)
故f
(x)的最小值为1，即m=1
……………………5分
⑵(a2+b2+c2)·(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1
故a2+b2+c2
当且仅当a=，b=，c=时取等号．
∴a2＋b2＋c2的最小值为
……………………10分
A
B
C
D
（第3题图）
f
(x)＝x2
C
D
A
B
O
x
y
P
B
E
C
D
F
A
G
A
E
F
O
N
D
B
C
M
甲
乙
3
9
3
8
4
3
1
0
8
2
4
5
7
5
2
7
0
7
8
P
B
E
C
D
F
A
y
z
x