湖北省黄石市第三中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学（文）试题

黄石三中2015－2016学年下学期期末考试高二年级
数
学　试　卷（文史类）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合，则A∩B＝
A．(－1，1)
B．{－1，0，1}
C．{0，1，2}
D．(0，2)
2．设i是虚数单位，则复数
A．3＋3i
B．3＋i
　　　　C．－1＋3i
D．－1＋i
3．抛物线y2＝8x的焦点坐标为
A．（2，0）
B．（4，0）
C．（0，4）
D．（0，2）
4．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S为
A．119
B．4949
C．719
D．600
5．已知x，y满足约束条件，则z＝－2x＋y的最大值是
A．－1
B．－2
C．－5
D．1
6．下列函数中，在定义域上既是奇函数又存在零点的函数是
A．
B．
C．y＝ex－e－x
D．y＝cosx
7．已知向量满足，且，则向量与的夹角为
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A．720
B．960
　　C．1200
D．1440
9．已知函数f
(x)＝3x3－ax2＋x－5在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是
A．
B．
C．
D．
10．同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称”的一个函数是
A．
B．
C．
D．
11．下列有关命题的叙述错误的是
A．对于命题，则
B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件
12．已知f
(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有f
(x＋6)＝f
(x)＋2f
(3)，且f
(0)＝3，则f
(2016)＝
A．1
B．2
C．3
D．4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题—第24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若，且为第三象限角，则的值等于__________．
14．函数的定义域为__________．
15．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为__________．
16．若在区间(0，2)内任取两数，则椭圆的离心率大于的概率为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知等差数列{an}，满足a2＝2，a4＝4．
⑴求数列{an}的通项公式；
⑵求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）某校为了响应《
( http: / / www.21cnjy.com )中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》精神，落实“生命—和谐”教育理念和阳光体育行动的现代健康理念，学校特组织“踢毽球”大赛，某班为了选出一人参加比赛，对班上甲乙两位同学进行了8次测试，且每次测试之间是相互独立的.成绩如下：（单位：个/分钟）
甲
80
81
93
72
88
75
83
84
乙
82
93
70
84
77
87
78
85
⑴用茎叶图表示这两组数据；
⑵从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加比赛合适，请说明理由；
⑶分别估计该班对甲乙两同学的成绩高于79个/分钟的概率．
（参考数据：
）
19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC＝2AB＝2，且BC1⊥A1C．
⑴求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；
⑵设D是线段BB1的中点，求三棱锥D－ABC1的体积．
20．（本小题满分12分）已知函数．
⑴求函数g(x)在x＝e处的切线方程；
⑵a为何值时，函数y＝f
(x)的图像与函数y＝g(x)的图像有三个不同的交点．
21．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，且，该椭圆的离心率为，以M(－3，2)为圆心，r为半径的圆与椭圆C交于A，B两点．
⑴求椭圆C的方程；
⑵若A，B两点关于原点对称，求圆M的方程；
⑶若点A的坐标为(0，2)，求△ABM的面积．
请考生从第22、23、24题中任选一题作答，多答，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点.
⑴证明：EF∥BC；
⑵若AG等于⊙O的半径，且，求四边形EBCF的面积．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：，直线l的参数方程：(t为参数)，两曲线相交于M，N两点．
⑴写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
⑵若，求的值.
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数，的最小值为m．
⑴求m的值；
⑵当时，求的最小值．
高二数学数学（文史类）答案
1．C
2．B
3．A
( http: / / www.21cnjy.com )4．C
5．A
6．C
7．C
8．C
9．B
10．D
11．B
12．C
13．
14．
15．
16．
17．解：⑴设等差数列的公差为d，则
解得，
∴，故an＝n．
…………………………………6分
⑵，
…………………………………8分
故
=
=．
……………12分
18．解：⑴
……………4分
⑵
由于甲乙的平均成绩相等，而甲的方差较小，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适
…8分
注：本小题的结论及理由不唯一，如果考生从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分；如派甲比较合适，理由如下：甲获得79个/分钟以上的概率为，乙获得79个/分钟以上的概率为.∵P1＞P2，所以派甲参赛比较合适.
⑶甲获得79个/分钟以上的概率为，乙获得79个/分钟以上的概率为．
…………………………12分
19．⑴证明：在直三棱锥ABC—A1B1C1中，有A1A⊥面ABC，而面ABC，
∴A1A⊥AB，又A1A=AC
∴A1C⊥AC1，又BC1⊥A1C，，
BC1∩AC1＝C1
∴A1C⊥面ABC1，而，则面ABC1⊥面A1ACC1
………6分
⑵在直三棱锥ABC—A1B1C1中，有A1A⊥面ABC，而面ABC，
∴A1A⊥AB，由⑴知A1C⊥面ABC1，A1C⊥AB，故AB⊥面，AB⊥AC，
则有AC⊥面ABB1A1，因为是线段的中，则．
…………………………12分
20．⑴由得g(e)=4，，
，
故函数g(x)在x=e处的切线方程为y－4=(x―e)
即．
…………………………4分
⑵令h(x)=g(x)―f
(x)=4lnx+x2―6x+a
(x>0)
则
=，
令
(x>0)
则
02，
令
(x>0)
则
1故h(x)在(0，1)上递增，(1，2)上递减，(2，+∞)上递增．
…………………………8分
要使的图像与函数的图像有三个不同的交点
则，
即解得，
故5………………………………12分
21．⑴由题意可知2a=4，即a=2，又，则，b2=4，
即椭圆C的方程为．
…………………………………4分
⑵因为A，B两点关于原点对称，所以O是AB的中点，由垂径定理可知MO⊥AB，又M(－3,2)，所以直线MO的斜率为－，故直线AB的斜率为，则直线AB的方程为y=x，联立解得，由勾股定理得r2=MA2=MO2+OA2=9+4+，
所以圆M的方程为(x+3)2+(y－2)2＝．
……………………………8分
⑶显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+2，联立得(1+3k2)x2+12kx=0，
则B()，线段AB的中点为E()，直线ME的斜率为
，∵AB⊥ME，∴·k=－1
∴(k－1)(2k2－k+1)=0，解得k=1，所以直线AB的方程为y=x+2，
B(－3,－1)，所以|AB|=3，点M到直线AB的距离为，
故△ABM的面积为．
………………………………12分
22．解：⑴由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线，
又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，
从而EF∥BC．
……………………5分
⑵由⑴知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为
⊙O的弦，所以O在AD上，连结OE，OM，则OE⊥AE，
由AG等于⊙O的半径，得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°，
因此△ABC和△AEF都是等边三角形，
因为，所以AO＝4，OE＝2，
因为OM＝OE＝2，，所以OD＝1，
于是AD＝5，，
所以四边形EBCF的面积为．
……………………10分
23．⑴曲线C的直角坐标方程为y2=4x，直线l的普通方程为x－y－2＝0．
……………………5分
⑵直线l的参数方程（t为参数）代入y2=4x，得到t2－12t＋48＝0，得M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=12，t1t2=48>0，
∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．
……………………10分
另解：由联立解得：．由两点间距离公式，得：|PM|＋|PN|＝12．
……………………10分
24．⑴f
(x)=|x－4|+|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|=1
(3≤x≤4时取等号)
故f
(x)的最小值为1，即m=1．
……………………5分
⑵(a2+b2+c2)·(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1，
故a2+b2+c2
当且仅当a=，b=，c=时取等号，
∴a2＋b2＋c2的最小值为．
……………………10分
正视图
侧视图
俯视图
B
D
·
C1
A1
B1
A
C
G
A
E
F
O
N
D
B
C
M
甲
乙
3
9
3
8
4
3
1
0
8
2
4
5
7
5
2
7
0
7
8