15.4等腰三角形 同步练习（含答案）

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15.4 等腰三角形
一、单选题
1．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（　　）
①是的平分线；
②；
③点在的垂直平分线上；
④若，则点到的距离是；
⑤；
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，在中，，，，和的平分线交于点，过点作分别交，于，，则的周长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．在下列说法中，正确的是（　　）
A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某直线成轴对称；
B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形；
C．等腰三角形是关于一边中线成轴对称的图形；
D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形
4．等腰三角形的两条边长分别是6和3，则它的周长是（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．以上都不对
5．如图，已知，点Р在边OA上，，点M，N在边OB上，．若，则OM的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
6．如图，中，，，，则　 　．
7．如图，是等边的边上一点，是延长线上一点，连接交于点，，过点作于点，，则线段的长度为　 　．
8．如图所示，，BD平分，若，则　 　．
9．如图，是等边的角平分线，，则　 　．
10．如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点D，则的度数是　 　．
11．如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为　 　．
三、计算题
12．如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．
（1）当t为何值时，为等边三角形？
（2）当t为何值时，为直角三角形？
13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，，点D、E可在槽中滑动，若，求的度数．
四、解答题
14．如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，．
（1）求度数；
（2）求的周长．
15．如图，在中，以AB为边作等边△ABD（点C、D在边AB的同侧），连接CD．若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度数．
五、综合题
16．已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A、E在BC的同侧．
（1）如图1，点D在BC上，写出线段AC、CD、CE之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，若点D在BC的延长线上，其它条件不变，直接写出AC、CD、CE之间的数量关系．
17．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB边的垂直平分线EF交BD于点E，连AE
（1）比较∠AED与∠ABC的大小关系，并证明你的结论
（2）若△ADE是等腰三角形，求∠CAB的度数．
18．如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P.
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度数.
六、实践探究题
19．【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC　 　（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；
（3）【概念应用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；内错角的概念
3．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
6．【答案】7
【知识点】含30°角的直角三角形
7．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质
8．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
9．【答案】5
【知识点】等边三角形的性质
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
11．【答案】60°
【知识点】等边三角形的性质
12．【答案】（1）
（2）或
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题
13．【答案】．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
14．【答案】（1）解：，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴，
又∵为的中点，
∴平分，
∴，
故度数为
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的周长，
∵，，
∴的周长
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
15．【答案】30°
【知识点】等边三角形的性质
16．【答案】（1）解：CD+CE=AC．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
∵△ADE为等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD+DC=CE+CD，
∴AC=CD+CE；
（2）解：CE﹣CD=AC．理由如下：
与（1）的证明方法一样可得到△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD﹣CD=CE﹣CD，
∴AC=CE﹣CD
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
17．【答案】（1）解：∠AED=∠ABC．
证明：∵EF垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA，
∴∠DEA=∠EBA+∠EAB=2∠EBA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBA，
∴∠DEA=∠ABC；
（2）解：∵△ADE是等腰三角形，
∴∠EAD=∠DEA，
∵∠DEA=∠ABC，
设∠DBC=x°，
∴∠ABD=∠DBC=∠BAE=x°，
∴∠ABC=2x°；
∴∠CAB=∠BAE+∠DAE=3x°，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴2x°+3x°=90°，
解得：x=18°，
∴∠CAB=3x°=54°．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
18．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABE与△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：由（1）知△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°.
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
19．【答案】（1）是
（2）解：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°，
∴∠BCD=∠B=∠ACD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°，
在△ABC和△ACD中，
∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，
∴△ABC与△ACD互为“形似三角形”
∴CD为△ABC的等腰分割线.
（3）解：105°或112.5°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
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