2.5 有理数的乘法与除法 课件(共56张PPT）2025-2026学年数学苏科版（2024）七年级上册

(共56张PPT)
第2章 有理数
2.5 有理数的乘法与除法
第2章 有理数
2.5 课时1 有理数的乘法
1.掌握有理数的乘法法则并能进行熟练地运算.
2.理解倒数的概念，会求一个有理数的倒数.
3.能应用有理数乘法解决简单的实际问题．
甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米，4天后甲、乙水库的水位的总变化量各是多少？
0
500
1000
1500
-500
-1000
-1500
问题1:如图，若小车一直以每分钟500个单位长度的速度向右行驶，3分钟之后它在什么位置？
（+500）
×
（+3）
= +1500
为了区分方向，规定：向右为正，向左为负.
为了区分时间，规定：现在之后为正，现在之前为负.
0
500
1000
1500
-500
-1000
-1500
问题2:如图，若车一直以每分钟500个单位长度的速度向左行驶，3分钟之后它在什么位置？2分钟之后呢？1分钟之后呢？
（-500）
×
（+3）
= -1500
（-500）
×
（+2）
= -1000
（-500）
×
（+1）
= -500
问题3:若小车一直以每分钟500个单位长度的速度向右行驶到达原点，那么3分钟之前它在什么位置？2分钟之前呢？1分钟之前呢？
0
500
1000
1500
-500
-1000
-1500
（+500）
×
（-3）
= -1500
（+500）
×
（-2）
= -1000
（+500）
×
（-1）
= -500
通过问题2，3，我们得到下面几个式子：
（-500）×（+1） = -500
（- 500）×（+3） = -1500
（-500）×（+2） = -1000
（+500）×（-2） = -1000
（+500）×（-3） = -1500
（+500）×（-1） = -500
负数×正数
=负数
=负数
正数×负数
思考：根据上面的计算，你对一个负数乘一个正数有什么发现？
异号两数相乘，积为负，积的绝对值等于两个数的绝对值相乘.
问题4:如图，若小车一直以每分钟500个单位长度的速度向左行驶到达原点，那么3分钟之前它在什么位置？2分钟之前呢？1分钟之前呢？
0
500
1000
1500
-500
-1000
-1500
（-500）
×
（-3）
= +1500
（-500）
×
（-2）
= +1000
（-500）
×
（-1）
= +500
通过问题4，我们得到3个式子：
（-500）×（-3）= +1500
（- 500）×（-2）= + 1000
（-500）×（- 1）= +500
思考 根据上面的计算，你对两个负数相乘有什么发现？
同号两数相乘，积为正，积的绝对值等于两个数的绝对值相乘
负数×负数
=正数
问题5:如图，若小车一直以每分钟500个单位长度的速度运动，那么0分钟时它在什么位置？
0
500
1000
1500
-500
-1000
-1500
（-500）
×
0
= 0
（+500）
×
0
= 0
正/负数×零
=0
发现：任何数与0相乘，积仍为0.
归纳总结
有理数乘法法则：
1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
2.任何数与0相乘，仍得0.
有理数乘法的符号法则
(1) 如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负，反之亦然，即： ab>0 a>0， b>0 或 a<0， b<0.
(2) 如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负，反之亦然，即： ab<0 a>0， b<0 或 a<0， b>0.
(3) 如果两个数的积为 0，那么这两个数中至少有一个数是 0，反之亦然，即： ab=0 a=0 或 b=0.
快速抢答：确定下列两数积的符号并给出结果.
负号，=-10
负号，=-12
正号，=14
正号，=
（1） 5×（- 2）
（2）（- 3）×4
（3）（- 2）×（- 7）
（4）
例1 计算：
(1)(-3)×7；(2)0.1×(-100)；(3)(-6)×(-)；(4)(-)×(-).
解：(1)(-3)×7=-(3×7)=-21.
(2)0.1×(-100)=-(0.1×100)=-10.
(3)(-6)×(-)=+(6×)=1.
(4)(-)×(-)=+(×)=.
有理数乘法的求解步骤:
先确定积的符号；
再求绝对值的积.
(-6)×(-)=1这两个数有什么特点？
互为倒数
结论:
如果两个数的乘积是1，那么我们称这两个有理数互为倒数，其中一个数称为另一个数的倒数.
说一说：说出下列各数的倒数：
１，－１， ，－ ，５，－５，0.75，－
1，
－1，
3，
-3，
归纳总结
（1）求一个数的倒数，不能改变它的性质符号，即一个正数的倒数是正数，一个负数的倒数是负数；
（2）求小数或带分数时的倒数时，先将小数或带分数化为分数或者假分数，再颠倒其分子和分母的位置.
例2 甲水库的水位每天升高3 cm，乙水库的水位每天下降5 cm，4天后，甲、乙水库水位总的变化量各是多少？
答：甲、乙水库水位总的变化量分别为甲水库水位上升12cm，乙水库水位下降20cm.
解：3×4=12(cm)
-5×4=-20(cm)
1.计算 ( - 1 ) × 3 的结果是( )
A. -3 B. - 2 C. 2 D. 3
2.下列计算正确的有( )
①(-3)×(-4)=-12； ②(-2)×5=-10；
③(-41)×(-1)=-41； ④24×(-5)=120.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
A
A
3.下列各组数中互为倒数的是( )
A. 5与 － ( － 5) B. － (+5)与－ | － |
C. +( － ) 与－ | | D. +( － 5)与－ (－ )
4.在 2， 3， － 5， 7 这四个数中，任取两个数相乘，得到的积最小的是( )
A. 6 B. 35
C. － 21 D. － 35
B
D
第2章 有理数
2.5 课时2 有理数的乘法运算律
1.掌握有理数的乘法运算律，并利用运算律简化乘法运算；
2.掌握多个有理数相乘的符号法则.
乘法交换律：ab=ba,
乘法结合律：(ab)c=a(bc).
乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac.
你能叙述下小学学过的乘法运算律吗？
(1) (-2)×4=_______ ， 4×(-2)=________.
(-5)×(-7)=_______ ，(-5)×(-7)=_______ .
问题1：在有理数的范围内，乘法的交换律和结合律是否仍然适用？
-8
-8
6
-24
12
-24
乘法交换律仍然成立
乘法结合律仍然成立
(2) [(-2)×(-3)]×(-4)=_____×(-4)=______ ，
(-2)×[(-3)×(-4)]=(-2)×_____=_______.
[(-15)×(-)]×(-10)=_____×(-10)=______ ,
(-15)×[(-)×(-10)]=(-15)×_____=_______.
35
35
3
-30
2
-30
例1:计算：
(1)(－0.25) ×(－)×(－4) ；(2)100× ×(－8) ×(－0.1).
解：(1)原式=(－0.25)×(－4)×(－)
＝[(－0.25)×(－4) ]×(－)
＝1×(－)
＝－
(2)原式=100×(－0.1)× ×(－)
＝[100×(－0.1)]×[×(－)]
＝(－10)×(－)
＝15
运用交换律
运用结合律
问题2：在有理数的范围内，乘法对加法的分配律是否仍然适用？
(1) (-6)×[4+(-9)]=(-6)×______=_______，
(-6)×4+(-6)×(-9)=____+____=_______;
(2) 5×[(-8)+(-3)]=5×_______=_________.
5×(-8)+5×(-3)=____+____=________.
-5
30
-24
54
30
-11
-55
-40
-15
-55
乘法对加法的分配律（简称分配律）
仍然成立
归纳总结
有理数乘法的运算律：
（1）乘法交换律：两个有理数相乘，交换两个因数的位置，积不变．ab=ba
（2）乘法结合律：三个有理数相乘，可以先把前面两个数相乘，
再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变. (ab)c=a(bc)
（3）乘法分配律：一个有理数同两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. a(b＋c)=ab+ac
例2:计算：－ ×(10－ － ) .
解：原式= (－)×10＋ (－)× ＋(－)×( － )
=－6＋1＋
=－.
例3:用简便方法计算：(－ 47.65)× 2 +37.15× 2 +10.5×(－ 7 ).
解：原式 =［( － 47.65) +37.15］ × 2 +10.5× (－ 7 )
= (－ 10.5) × 2 +10.5×( － 7
= (－ 10.5) × (2 +7 )
= (－ 10.5) × 10
= － 105.
快速说出结果：
（2）2×3×4×(-5)
（3）2×3×(-4) ×(-5)
(4) 2×(-3) ×(-4) ×(-5)
(5) (-2) ×(-3) ×(-4) ×(-5)
=-120
=+120
=-120
=+120
（1）2×3×4×(5)
=+120
通过上面的计算填写下表.
算式 (1) (2) (3) (4) (5)
负因数的个数
积的符号 ﹢ - ﹢ - ﹢
0
1
2
4
3
思考：观察上面填写的结果，积的符号与负因数的个数有什么关系
积的符号与负因数的个数之间的关系
（1）当负因数的个数是偶数时,积是正数;
几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定：
（2）当负因数的个数是奇数时,积是负数.
注意：多个有理数相乘，有一个因数为0时，积为0.
归纳总结
例3:计算:(1) (-6)×(-5)×3 (2)(-4)×(-3)×(-2 )
解：(1)原式=6×5×3
=90
(2)原式=-(4×3×2）
=-24
(3) -20×0.15×(-1.2)×(-3)
(3)原式=-(20×0.15×1.2×3)
=-10.8
(4)
(4)原式=
归纳总结
利用多个有理数相乘的法则，先确定符号，再计算绝对值的乘积 .
1.计算(-2)×(3-)，用乘法分配律计算过程正确的是 ( )
A.(-2)×3+(-2)×(- )
B.(-2)×3-(-2)×(- )
C.2×3-(-2)×(- )
D.(-2)×3+2×(- )
A
2.有2024个有理数相乘，如果积为0，那么这2020个有理数( )
A.全部为0 B.只有一个因数为0
C.至少有一个为0 D.有两个数互为相反数
3.下列算式中，积为负数的是( )
A.(－2)×(－5) B. 2×(－3.5)×(－6.5)
C.(－1.5)×(－2)×(－3) D.(－1)×(－ ) × 0
C
C
4.下列计算(-55)×99+(-44)×99-99正确的是( )
A.原式=99×(-55-44)=-9 801
B.原式=99×(-55-44+1)=-9 702
C.原式=99×(-55-44-1)=-9 900
D.原式=99×(-55-44-99)=-19 602
C
5.计算.
(1)-2×3×(-5)； (2)-6×(-5)×(-7)；
(3)0.1×(－0.001)×(－1)； (4)(－15)×(－49)×0×(－12)×37.
解：(1)原式＝2×3×5＝30；
(2)原式＝30×(－7)＝－210；
(3)原式＝－0.0001×(－1)＝0.0001；
(4)原式＝0.
有理数乘法的运算律
有理数乘法的运算律
多个有理数相乘的符号法则
乘法交换律： ab=ba
乘法结合律：(ab)c=a(bc)
乘法分配律： a(b＋c)=ab+ac
几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数个时，积是正数；负因数的个数是奇数个时，积是负数.
几个数相乘，如果有一个因数为0，积就为0.
第2章 有理数
2.5 课时3 有理数的除法
1.理解并掌握有理数的除法法则；
2.能运用有理数的除法法则进行运算.
小学中你学过的除法运算法则是什么？
除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算.除法是乘法的逆运算.
该法则对有理数也适用吗？
试着填空：
（1）8×9=72，72÷9=_______，72× = _______；
（2）2×(-3)=-6，(-6)÷2=_______，(-6)× =_______；
（3）(-4)×2=-8，(-8)÷(-4)=_______，(-8)×( )=_______．
8
8
-3
-3
2
2
观察下列算式你有什么发现？
（1）72÷9=8，72× =8；
（2）(-6)÷2=－3 ，(-6)× =8；
（3）(-8)÷(-4)=2，(-8)×( )=2．
72÷9= 72× ，
（-6）÷2=（-6）× ，
（-8）÷（-4）=（-8）×（ ）．
有理数的除法可以转化为乘法吗？怎样转化？
有理数的除法法则一
除以一个数(不等于0)等于乘这个数的倒数.
这个法则也可以表示成
a÷b=a·(b≠0)
观察下面各组算式的结果，回答问题：
（1）18 ÷ 2=9，（－18）÷（－2）= 9，
（2） 18÷（－2） =－ 9 ，18÷（－ 9） =－2 ，（－18） ÷9 =－2，
（3） 0 ÷ 2= 0 ，0 ÷ a=0 （ a≠0 ）.
（1）同号两数相除，商的符号怎样确定，结果等于什么？
同号两数相除，商为正，商的绝对值等于两个数的绝对值相除．
（2）异号两数相除，商的符号怎样确定，结果等于什么？
异号两数相除，商为负，商的绝对值等于两个数的绝对值相除．
（3）0除以任何一个不等于0的数，结果等于什么？
0除以任何一个不等于0的数，结果等于0.
有理数的除法法则二
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不等于0的数都得0.
在进行两个有理数的除法运算时，既可以先确定商的符号，再将绝对值相除，也可以将除法转化为乘法来进行．
例1:计算.
(1)（-2）÷0.25
(3) 14÷（-2） （4）0÷（-8）
解：
(1)原式=（-2）×4
=-8
(2)原式=()×=
(3)原式=-(14÷2)
=-7
(4)原式=0
例2:计算.
(1)(-)÷(-6)÷(-)；(2)( － － + ) ÷(－ ).
a÷b÷c=(a÷b) ÷c
解：(1)原式=(-)×(-)×(-)
=-( × × )
=-
(2)原式=(－－＋)×(－24)
=(-)×(－24)－×(－24)
=12＋20－9
=23
1.下列计算正确的是( )
D
2.下面结论中正确的有(　　)
①若一个负数比它的倒数大，则这个负数的范围在－1与0之间
②若两数和为正，商为负，则这两个数异号，且负数的绝对值较小
③0除以任何数都得0
④任何整数都大于它的倒数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
3.下列运算中，错误的是（　　）
A．÷（-4）=4×（-4） B．-5÷（-）=-5×（-2）
C．7-（-3）=7+3 D．6-7=（+6）+（-7）
4.计算 100÷10÷，结果正确的是（　　）
A．1 B．-1 C．100 D．-100
A
D
5.计算:（1）（-18）÷9÷(-2)
解：（1）（-18）÷9÷(-2)
=（-2）÷（-2）= 1