深圳市红桂中学2024届初中学业水平模拟测试数学试卷（含答案）

2024年广东省深圳市红桂中学初中学业水平测试模拟数学试题
一、单选题
1．如果与互为倒数，那么的值是（ ）
A．2024 B． C． D．
2．“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A． B． C． D．
3．手撕钢是一种超薄不锈精密带钢，具有良好的微观组织和性能．国产手撕钢的厚度仅有0.000015米，创造了新的世界纪录，广泛应用于航空航天、高端电子、新能源等．将数据0.000015用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是某班1~8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A．每月阅读数量的中位数是32 B．每月阅读数量的众数是73
C．每月阅读数量的平均数是46 D．每月阅读数量的极差是55
6．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．能说明命题“对于任意实数，．”是假命题，其中可取的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
8．如图，将一副常规的三角板按如图方式放置，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之：余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且.有下列结论：①；②为等边三角形；③；④.其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
二、填空题
11．分解因式： ．
12．定义：任意两个数a、b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若，，并比较b，c的大小，b c．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝ ．
14．如图，在矩形中，，是半径为2的的切线，切点为E，则 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，交于点D，若，的面积为2，则k的值为 ．

三、解答题
16．计算：．
17．“减轻学生课业负担，提升作业质量”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校九年级学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为、、、四个等级．：1.5小时以内，：1.5小时~2小时，：2小时~3小时，：3小时以上．根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
(1)该校共调查了 学生；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)表示等级的扇形圆心角的度数是 ；
(4)在此次问卷调查中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业时间都是3小时以上，从这4人中任选2人去参加座谈，用列表或画树状图的方法求选出的2人来自同一班级的概率．
18．如图，各顶点的坐标分别为
(1)请画出先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到的；
(2)请画出绕点逆时针旋转后得到；
(3)若与关于某点成中心对称，且，请写出对称中心的坐标_____________．
19．综合与实践
中国旅游研究院2024年1月5日发布的“2024年冰雪旅游十佳城市”中，哈尔滨位列榜首，火爆出圈，其中帽儿山的滑雪运动深受欢迎．滑雪爱好者小李为了得出滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系，以便更好地享受此项运动所带来的乐趣，他在滑道A上设置了若干个观测点，收集一些数据，如下表所示：
点位1 点位2 点位3 点位4 点位5 点位6 点位7
滑行时间 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
滑行距离 0 1.625 4.5 8.625 14 20.625 28.5
(1)请你在平面直角坐标系中描出表中数据所对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们；
(2)观察由（1）所得的图象，请你依图象选用一个函数近似地表示与之间的函数关系，并求出这个近似函数的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)若另一名滑雪爱好者小张在小李出发5秒后沿着滑道B滑行（两条滑道互相平行，且起点在同一直线上），他的滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）可近似地看成二次函数，当小李滑行距离为384m时，他比小张多滑行的距离不超过160m，求的最小值．（参考数据：）
20．5G时代，万物互联，互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力网络经济发展，共建智慧生活，某手机店准备购进一批国产5G手机，经调查，用8万元购进A型手机的数量和用6万元进购B型手机的数量一样，一部A型手机的进价比一部B型手机的进价高800元．
(1)求一部A、B两种型号手机的进价分别是多少元？
(2)若手机店购进A、B两种型号手机共30部进行销售，其中A型手机的数量不少于10部，且不超过B型手机的数量，已知A型手机的售价为每部4200元，B型手机的售价为每部2800元，且全部售出，设购进A型手机m部，全部售完两种手机后获得的利润为w元，求w与m之间的函数关系式，并求出销售这批5G手机获得的最大利润．
21．【问题提出】如图1，在中，，，，则的面积为________；
【问题探究】
如图2，在中，，，．点是三个内角角平分线的交点．点在边上，且．在边找一点，使得四边形面积是面积的．求出此时的长度；
【问题解决】
如图3，某开发区将设计改造一块五边形空地．已知，，按照设计需求，且满足．现设计规划在阴影部分区域种植花卉．公司为了节约成本，满足设计需求，种植花卉阴影部分即区域的面积尽可能小．请你计算出种植花卉面积的最小值．
22．（1）【操作发现】如图1，四边形都是矩形，，，小明将矩形绕点C顺时针转，如图2所示．
①若的值不变，请求出的值，若变化，请说明理由．
②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，画出图形并求出的长度．
（2）【类比探究】如图3，中， ， ，G为中点，D为平面内一个动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则四边形面积的最大值为 ．（直接写出结果）
参考答案
1．D
与互为倒数，
，
，
故选：D．
2．C
解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，即看到的图形如图所示：
，
故选C．
3．A
解：0.000015用科学记数法表示为．
故选：A．
4．B
解：A、与不是同类项，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：B．
5．D
解：A．将8个数据由小到大排列为：18，26，32，48，48，60，65，73，中位数是，故本选项说法错误，不符合题意；
B．出现次数最多的是48，众数是48，故本选项说法错误，不符合题意；
C．该班学生去年月份全班同学每月的课外阅读数量的平均数是，故本选项说法错误，不符合题意；
D．每月阅读数量的极差是，故本选项说法正确，符合题意．
故选：D．
6．B
，
由①得：
，
由②得：，
，
．
在数轴上表示为．
故选：B．
7．A
解：A.当时，，符合题意
B.当时，，不符合题意
C.当时，，不符合题意
D.当时，，不符合题意
故选：A
8．D
解：∵，
∴．
故选：D．
9．B
解：由题意可得，，
故选：B．
10．A
解：如图，连接，
∵，点是的中点，
∴，，，
∴是的中垂线，
∴，而，
∴，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴而，
∴是等边三角形，故②正确；
如图，延长至，使，则点关于的对称点为，连接，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．故③正确；
过点A作，在上截取，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．故④正确．
所以其中正确的结论是①②③④．
故选：A．
11．
解：
．
故答案为：
12．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
解： ，
如图，连结
由作图可得：是的垂直平分线，
故答案为：
14．/
解：如图所示，连接，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∵是半径为2的的切线，
∴，
∴四点共圆，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
15．//
解：连接，过点D分别作轴于点G，轴于点E，过点C作轴于点F，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，轴，轴，
∴四边形为矩形，
，
设点D的坐标为，则，，，
∴所以点C的坐标为，则有，
，
，，
，
又，
，
，
故答案为：．
16．12
原式，
17．(1)200人
(2)见解析
(3)
(4)
（1）解：该校共调查的学生数为：
（人）．
故答案为：200．
（2）C等级的人数为：（人），补全条形统计图，如图所示：
（3）等级A的扇形圆心角α的度数为：
．
故答案为：108°．
（4）设甲班学生为、，乙班学生、，画出树状图，如图所示：
∵共有12种等可能的情况，2人来自同一班级的情况数有4种，
∴2人来自同一班级的概率为（来自同一班级）．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）解：作出点A、B、C平移后对应点、、，顺次连接，则即为所求作的三角形，如图所示：
（2）解：作出点A、B、C绕点逆时针旋转后对应点、、，顺次连接，则即为所求作的三角形，如图所示：
（3）解：∵与关于某点成中心对称，
∴对称中心为的中点，
∵点，，
∴的中点坐标为，
即的中点坐标为，
∴对称中心的坐标为．
故答案为：．
19．(1)图见解析
(2)
(3)11
（1）解：根据表格数据，描点，连线如图：
（2）由图象可知，图象近似为二次函数的图象，
∴设解析式为，将表格中的点位1，点位3，点位5的坐标代入得：
，解得：，
∴；
（3）∵，
∴当时，，解得：（负值已舍去）；
∴小张的滑行时间为，
∵，
∴当时，，
由题意，得：，解得：，
∴的最小值为：11．
20．(1)一部A、B两种型号手机的进价分别是3200元、2400元
(2)；销售这批5G手机获得的最大利润为21000元
（1）解：设A型手机进价为x元，则B型手机进价为元，
由题意得：，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
答：一部A、B两种型号手机的进价分别是3200元、2400元；
（2）根据题意得：
，
∵A型手机的数量不少于10部，且不超过B型手机的数量，
∴，
解得，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w最大，最大值为，
∴w与m之间的函数关系式为；销售这批5G手机获得的最大利润为21000元．
21．问题提出：；问题探究：；问题解决：当时，有最小值为
解：问题提出
如图，过点作交的延长线于点，
则，
，
故答案为：．
问题探究
如图，连接，，，过点作于点，作于点，作于点，
点是三个内角角平分线的交点，
设，
；
四边形面积是面积的
，解得，
，
问题解决
如图，延长交的延长线于点，连接，设，则，过点作交的延长线于点，
，，，
四边形为菱形，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
同理可得，
由问题提出的结论知可得，，
，
即，
当时，有最小值为．
22．（1）①不变，；②图见解析，或；（2）24
解：（1）①的值不变，理由如下：
如图1，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2中，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图1，连接，
∵四边形都是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2﹣1中，当点E在线段上时，连接，过点C作于J．
∵，
∴，
∴， ，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图2﹣2中，当点E在的延长线上时，连接，过点C作于J．
∵，
∴，
∴， ，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
综上所述，的长为或．
（2）如图3中，连接，过点G作于点H．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，
当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值，
∴的面积的最大值为16，
∴四边形的面积的最大值．
故答案为：24．