深圳市红桂中学2025届九年级下学期中考模拟数学试卷（含答案）

2025年广东省深圳市红桂中学中考数学模拟试题
一、单选题
1．观察如图所示的几何体，从左面看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．2025年1月11日，发布了官方，累计使用量迅速呈现指数级增长，截至2月9日下载量已超1.1亿次，日活跃用户数最高达4541万，成为全球增速最快、用户规模第二的应用．45410000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程，配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，和相交于点O，点A，B之间的距离为1.2米，，根据图2中的数据可得点C，D之间的距离为（　　）
A．0.8米 B．0.86米 C．0.96米 D．1米
5．铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美，铜钱外部的圆半径为a，正方形边长为b，下列表示铜钱阴影部分的面积的式子是（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，平分交于点E、交于点G，过E作于点F、交于点H，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若则的值是 ．
10．已知，则 ．
11．为测量广场上一棵树的高度，数学小组在阳光下测得广场上一根高的灯柱的影长为，在同一时刻，他们测得树的影长为，则该树的高度为 ．
12．如图，反比例函数的图象与矩形的边分别相交于点E、F，点C的坐标为，将沿翻折，C点恰好落在上的点D处，则k的值为 ．
13．如图，在中，，，D是的中点，E是上的点，连接，的平分线交于点F，连接．若，，则的长为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．先化简，再求值：，其中
16．综合与实践
“为自己和他人的生命健康与安全加一份保障”．某校为了解学生对急救护理知识的掌握情况，开展了急救护理知识的测试，现从参试的全校名学生中随机抽取若干名学生的测试成绩（百分制），并对其进行整理，描述和分析（成绩用表示，共分成组：．；．；．；．），给出了如图所示的部分信息．
(1)该校共抽查了______人？
(2)根据调查结果，请估计全校学生成绩在组的有多少人．
(3)现从组中成绩最好的名男生和名女生中随机抽取名学生，对全校进行宣传讲解，请用画树状图或列表的方法，求恰好选取男生，女生各一名的概率．
17．某初中学校要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场地的长和宽分别为28米和16米；②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场地及安全区域的总面积为．
(1)求安全区域的宽度．
(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
18．如图，在中，点为斜边上一点，以为直径的交于点，交于点，且点是的中点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长度．
19．【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示．

【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．

【数形结合 深度探究】
（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．
20．【知识技能】（1）如图1，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，延长至点M，使得，连接．求证：．
【数学理解】（2）如图2，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接．求证：
【拓展探索】（3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心，的长为半径的圆上运动，直线与直线交于点G，连接，在点D的运动过程中，的长度存在最大值．若，求的长度的最大值．
参考答案
1．C
2．C
3．A
4．C
5．B
6．D
7．C
8．C
9．
10．48
11．
12．
13．/
14．
15．解：原式
当时，原式
16．（1）解：该校共抽查了：（人），
故答案为：；
（2）解：由（）得，该校共抽查了人，
∴估计全校学生成绩在组的有：（人），
答：估计全校学生成绩在组的有人；
（3）解：画出树状图如下，
共有种等可能的结果，恰好选取男生，女生各一名的结果数有种，
∴恰好选取男生，女生各一名的概率是．
17．（1）设安全区域的宽度为米，由题意得，
整理得，
解得（不符合题意，舍去），
答：安全区域的宽度为2米；
（2）设每次降价的百分率为，由题意得，
，
解得（舍去），，
答：每次降价的百分率为．
18．（1）证明：如图，连接，
点是的中点，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
是的半径，
为的切线；
（2）解：如图，连接，交于点，
点是的中点，
，
为的切线，
，
又，
四边形是矩形，
设的半径为，则，，
在中，，
，
解得，
．
19．（1）在矩形中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴，∴．
∵，点是的中点，∴．
在中，，
∴．∴．
∴关于的表达式为：．
（2）取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称．
理由如下：
若为图像上任意一点，则．
设关于原点的对称点为，则．
当时，
．
∴也在的图像上．
∴当取任意实数时，的图像关于原点对称．
函数图像如图所示．

（3）根据函数图象可得①函数值随的增大而增大，故①正确，
②由(1)可得函数值，故函数值的范围为，故②错误；
③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故③错误；
④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形，故④正确；
故答案为：①④．
（4）关于的函数表达式为；
当取任意实数时，有如下相关性质：
当时，图像经过第一、三象限，函数值随的增大而增大，的取值范围为；
当时，图像经过第二、四象限，函数值随的增大而减小，的取值范围为；
函数图像经过原点；
函数图像关于原点对称；
20．解：（1）证明：为的中线，
．
在和中，
．
．
．
．
（2）证明：如答题图，延长至点，使得，连接．
由旋转的性质可知，．
，
．
由（1）得，
．
在和中，
．
．
，
．
（3）解：如答题图，延长至点，使，连接．
在和中，
．
．
．
．
，
．
．
，
．
在和中，
．
．
，
．
．
．
点在以为直径的上运动，当且仅当三点共线时，的长度取得最大值，此时．
为的中点，，
．
在中，由勾股定理，得．
在中，为斜边的中点，
．
的长度的最大值为．